在发☑ σ-代数的生成：例子 1951 例2.1.4●2={w1,w2,·,w4},S={w},{w2,w3}。 则：由S生成的σ-代数为： o(S)={0,2,{w1},{w2,w3,w4}, {w1,w2,w3},{w4}, {w2,w3},{w1,w4} 22/126 ●如果S={w},{w2}。则：由S生成的o-代数为： o(S)={0,2,{w1},{w2,w3,w4}, {w1,w2},{w3,w4}, {w2},{w1,w3,w4} ●思考：当S不同时，产生的σ-代数的区别的意义是什 么？？ GoBack FullScreen Close Quit
22/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit σ-ìÍ)§: ~f ~ 2.1.4 • Ω = {ω1, ω2, · · · , ω4}, S = {{ω1}, {ω2, ω3}}" KµdS)§σ-ìÍèµ σ(S) = {∅, Ω, {ω1}, {ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω2, ω3}, {ω4}, {ω2, ω3}, {ω1, ω4}} • XJS = {{ω1}, {ω2}}"KµdS)§σ-ìÍèµ σ(S) = {∅, Ω, {ω1}, {ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω2}, {ω3, ω4}, {ω2}, {ω1, ω3, ω4}} • gµSÿ”ûß)σ-ìÍ´Oø¬¥ü oºº
数在 可测空间 1951 ●2与其上的一个σ-代数F形成的二元组（①，F)称为一个可 测空间。F中的任意集合A称为(2，F)中的可测集，或F- 可测集。 ·一句有用的废话：对于一个σ-代数可测的集合A,对于更 小的σ-代数可能会不可测。 23/126 注意：可测空间的定义中，并不需要引入测度。在定义可 测空间之后，我们可以在其上开始定义测度（或概率）， 甚至可以定义多个不同的测度。 GoBack FullScreen Close Quit
23/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit åˇòm • ΩÜŸ˛òáσ-ìÍF/§|(Ω, F)°èòáå ˇòm" F•?ø8‹A°è(Ω, F)•åˇ8ß½F- åˇ8" • òÈk^¢{µÈuòáσ-ìÍåˇ8‹A, Èuç σ-ìÍåU¨ÿåˇ" • 5øµåˇòm½¬•ßøÿIá⁄\ˇ›"3½¬å ˇòmÉß·Çå±3Ÿ˛m©½¬ˇ›£½V«§ß $ñå±½¬ıáÿ”ˇ›"
在， 可测空间 1951 一个比喻：可测空间好比一堆鹅卵石，测度好比我们怎 么去量化这堆石头，我们可以测度她们的质量，也可以 测度她们的个数，还可以测度她们的体积，密度等等。这 些不同的测度方法就类似于我们在可测空间上面，可以 定义不同的测度。 24/126 GoBack FullScreen Close Quit
24/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit åˇòm • òá'íµåˇòm–'òÊŒúߡ›–'·ÇN o˛z˘Êúfiß·Çå±ˇ›®Çü˛ßèå± ˇ›®ÇáÍßÑå±ˇ›®ÇN»ßó› "˘ ÿ”ˇ›ê{“aqu·Ç3åˇòm˛°ßå± ½¬ÿ”ˇ›
在 引入σ-代数的意义 1951 ● 突破古典概率对样本空间的限制，着眼于无穷空间 。选择“可列并'作为突破口，引入可测结构 ·与相关领域（尤其是实分析）中的进展相互印证启发 ·作为现代概率论体系的基石，最终集大成而获得了大数 定律和中心极限定理 25/126 ·为金融信息的“信息流”概念做准备 GoBack FullScreen Close Quit
25/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ⁄\σ-ìÍø¬ • ‚ª;V«È òmÅõßX˙uðòm • ¿J“åø”ä肪ùß⁄\åˇ( • ÜÉ'+ç£cŸ¥¢©¤§•?–Ép<yÈu • äèyìV«ÿNXƒúßÅ™8å§ º åÍ ½Æ⁄•%4Žn • è7K&E“&E6”VgâO
数传在☑ 可测空间（①，F)的性质 1951 1.0∈F 2.对可列交运算封闭，如果A;∈F,for all i=1,2,,则 有 n1A∈F. 3.对有限交封闭，如果A,∈F,for alli=1,2,,! 则有 26/126 U%1A∈下，∩g1A:∈F. 4.对差运算封闭，如果A,B∈F,for alli=1,2,,则有 A-B:=A∩Bc∈F. GoBack FullScreen Close Quit
26/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit åˇòm (Ω, F)5ü 1. ∅ ∈ F 2. Èå$éµ4ßXJAi ∈ F, for all i = 1, 2, ...ßK k ∩ ∞ i=1Ai ∈ F. 3. Èkŵ4ßXJAi ∈ F, for all i = 1, 2, ...ßKk ∪ n i=1Ai ∈ F, ∩ n i=1Ai ∈ F. 4. È $éµ4ßXJA, B ∈ F, for all i = 1, 2, ...ßKk A − B := A ∩ B c ∈ F.