在☑ 不可测集合一Many 1951 F={0,2,{1,2},{3,4}. 简单可见：{1}不是F可测集合。 27/126 GoBack FullScreen Close Quit
27/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ÿåˇ8‹ — Many F = {∅, Ω, {1, 2}, {3, 4}}. {¸åѵ{1} ÿ¥F åˇ8‹
数传在☑ 定义2.1.5 设(2，F)是可测空间，P()是定义在F上 1951 的实值函数.如果 (1)P(2)=1; (2)VA∈F,0≤P(A)≤1； (3)对两两互不相容事件A1,A2,·,(即当i卡时， A∩A=0)有 00 28/126 P(UA:)=>P(A) i=1 i=1 则称P是（①，F)上的概率，(2，F,P)称为概率空间，F中的 元素称为事件，P(A)称为事件A的概率。 GoBack FullScreen Close Quit
28/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 2.1.5 (Ω, F)¥åˇòmßP(·) ¥½¬3F˛ ¢äºÍ.XJ (1) P(Ω) = 1¶ (2) ∀A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1; (3) ȸ¸pÿÉNØáA1, A2, · · · ß(=i 6= jûß Ai ∩ Aj = ∅)k P( [ ∞ i=1 Ai) = X ∞ i=1 P(Ai) K°P¥(Ω, F)˛V«ß (Ω, F, P)°èV«òmßF• É°èØáßP(A)°èØáAV«.
数传在 事件的概率有如下性质： 1951 (1)若A,B∈F,则P(AUB)+P(A∩B)=P(A)+ P(B). (2)若A,B∈F,且ACB,则P(B-A)=P(B) P(A)(可减性). (3)若A,B∈F,且ACB,则P(A)≤P(B)(单调 性). 29/126 (4)若An∈F,n≥1，则P(Un>1An)≤∑m>1P(An): (5)从下连续： 若An∈F且An个A∈F,则P(A)=limn→P(An). (6)从上连续： 若An∈F且An↓A∈F,则P(A)=limn→oP(An) GoBack FullScreen Close Quit
29/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ØáV«kXe5üµ (1) eA, B ∈ F,KP(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B). (2) eA, B ∈ F,ÖA ⊂ BßKP(B − A) = P(B) − P(A)(å~5). (3) eA, B ∈ F,ÖA ⊂ BßKP(A) ≤ P(B)(¸N 5). (4) eAn ∈ F, n ≥ 1, KP( S n≥1 An) ≤ P n≥1 P(An). (5) leÎY: eAn ∈ FÖAn ↑ A ∈ FßKP(A) = limn→∞ P(An). (6)l˛ÎY: eAn ∈ FÖAn ↓ A ∈ FßK P(A) = limn→∞ P(An)
在发☑ 例2.1.6设某股票一天的成交笔数为m,基本事件 1951 为{m},样本空间F是2的一切子集组成的集族，则F是一 个2代数.定义P(0)=0,并对A∈F令 P(A- λ入>0. k∈A 证明：P为可测空间(2，F,P)上的概率测度 30/126 GoBack FullScreen Close Quit
30/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 2.1.6 ,¶òU§)Íèm, ƒ Øá è{m}, òmF¥ΩòÉf8|§8xßKF¥ò áΩìÍ. ½¬P(∅) = 0,øÈA ∈ F - P(A) = X k∈A e −λλ k k! , λ > 0. y²µPèåˇòm(Ω, F, P)˛V«ˇ›.
条件概率 1951 定义2.1.7在概率空间(2，F,P)上面，如果A,B∈ F且P(B)>0,则定义 P(AB)= P(AB) P(B) 称为已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率 31/126 条件概率告诉了我们已经给定了一个事件下，另外一个 事件发生的概率。例如下面图片所示，可以设想在一个样本 空间中事件发生就是在平板上方掉落的球。如果球落在了横 板上面，说明该事件就发生了。图片中红色挡板就是事件A, 蓝色的挡板就是的事件B。在给定事件A条件下，事件B的 条件概率就是下落的小球首先已经触碰到红色挡板A的条件 GoBack 下，并且再次触碰到挡板B的概率。该图例的动态演示可以 FullScreen Close Quit
31/126 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ^áV« ½¬ 2.1.7 3V«òm(Ω, F, P)˛°ßXJA, B ∈ F ÖP(B) > 0, K½¬ P(A|B) = P(AB) P(B) . °èÆØáBu)^áeßØáAu)^áV«. ^áV«wä ·ÇƲ⽠òáØáeß, òá Øáu)V«"~Xe°„°§´ßå±é3òá òm•Øáu)“¥3²Ü˛êK·•"XJ•·3 Ó Ü˛°ß`²TØá“u) "„°•˘⁄ Ü“¥ØáA, 7⁄ Ü“¥ØáB"3â½ØáA^áeßØáB ^áV«“¥e·•ƒkƲ>-˘⁄ ÜA^á eßøÖ2g>- ÜBV«"T„~ƒ¸´å±