对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第五章 泊松过程（Poisson过程）

1951 第五章：Poisson过程 ●3.1 Poisson过程 ·3.2与Poisson过程相联系的若干分布 2/100 ·3.3 Poisson过程的推广 GoBack FullScreen Close Quit

2/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 1 Ÿµ PoissonLß • 3.1 PoissonLß • 3.2 ÜPoissonLßÉÈXeZ©Ÿ • 3.3 PoissonLßÌ2

数传在☑ 泊松过程（一) 1951 一、计算过程与泊松过程 在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密 码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如： ·盖格记数器上的粒子流； ·计算机网络上的（图象，声音)流； ·编码（密码）中的误码流； 3/100 ·交通中事故流； 。细胞中染色体的交换次数，… ●均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,… 定义5.0.1随机过程{N(t),t≥0}称为计数过程(Counting process),如果N(t)表示在[0，t内事件A出现的总次数. 计数过程应满足： GoBack FullScreen Close Quit

3/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit —tLߣò§ ò!OéLßÜ—tLß 3U©ß/nß‘nß)‘ßœ&ßöÆßOéʼnßó ËÆNı+çß—k'uëÅØá6OÍØKßXµ • XÇPÍÏ˛‚f6¶ • Oéʼn˛£„ñß(—§6¶ • ?Ë£ó˧•ÿË6¶ • œ•Ø6¶ • [ú•/⁄NÜgÍ,· · · • ˛§±ûm^S—yØá6A1, A2, · · · ½¬ 5.0.1 ëÅLß{N(t), t ≥ 0}°èOÍLß(Counting process),XJN(t)L´3[0, t]SØáA—yogÍ. OÍLßA˜vµ

在。 (1)N(t)≥0； 1951 (2)N(t)取非负整数值； (3)如果s<t,则N(s)≤N(t); (4)对于s<t,N(t)一N(s)表示时间间隔(s,t内事件出现 的次数. 一类很重要的计数过程是Poisson过程 4/100 GoBack FullScreen Close Quit

4/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (1) N(t) ≥ 0; (2) N(t)öKÍä¶ (3) XJs < tßKN(s) ≤ N(t)¶ (4) Èus < t, N(t) − N(s)L´ûmmÖ(s, t]SØá—y gÍ. òaÈ­áOÍLߥPoissonLß

数在 Poisson过程数学模型 1951 电话呼叫过程：设N(t)为O,t)时间内到达的呼叫次数， 其状态空间为 E={0,1,2,…} 此过程有如下特点： ●1)零初值性：N(0)=0; ·2)独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔内到达的 5/100 呼叫次数相互独立； ·3)齐次性：在(S,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔 长度t一s有关，而与起始时间s无关； ●4)普通性：在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多 GoBack FullScreen Close Quit

5/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit PoissonLßÍÆ. >{
Lß: N(t)è[0, t)ûmSà
gÍ, ŸGòmè E = {0, 1, 2, · · · } dLßkXeA:µ • 1) "–ä5µN(0) = 0; • 2) ’·O˛5µ?ø¸áÿÉ­UûmmÖSà
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gÍ=ÜûmmÖ ›t − sk'ß Ü©ûmsÃ'; • 4) œ5µ3ø©ûmmÖSà
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数在 仅有一次，即对充分小的△t,有 1951 P{N(△t)=0}=Po(△t)=1-入△t+o(△t), P{N(△t)=1}=P(△t)=λ△t+o(△t), 0O P{N(△t)≥2}=>P(△t)=o(△t), k=2 其中入>0. 6/100 例5.0.2(Poisson过程在排队论中的应用)在随机服 务系统中排队现象的研究中，经常用到Poisson过程模型， 例如，到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施的顾客数， 都可以用Poisson过程来描述，以某火车站售票处为例，设 从早上8：00开始，此售票处连续售票，乘客依10人/小时的 平均速率到达，则从9：00到10：00这1小时内最多有5名乘 GoBack 客来此购票的概率是多少？从10：00-11：00没有人来买票的 FullScreen Close Quit

6/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit =kògß=Èø©∆t,k P{N(∆t) = 0} = P0(∆t) = 1 − λ∆t + o(∆t), P{N(∆t) = 1} = P1(∆t) = λ∆t + o(∆t), P{N(∆t) ≥ 2} = X ∞ k=2 Pk(∆t) = o(∆t), Ÿ•λ > 0. ~ 5.0.2 (PoissonLß3¸Ëÿ•A^) 3ëÅ— ÷X⁄•¸ËyñÔƒ•ß²~^Poisson Lß.ß ~X,à>{oÅ
Í8ßà,—÷ñêÍß —å±^PoissonLß5£„ß±,ªê’»¶?è~ß l@˛8:00m©ßd»¶?ÎY»¶ß¶êù10</û ²˛Ñ«àßKl9:0010:00˘1ûSÅık5¶¶ ê5d ¶V«¥ıºl10:00-11:00vk<5Ô¶