同心圆柱套筒间接触热阻研究(Ⅰ):数学模型

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1996.04.019 第18卷第4期 北京科技大学学报 Vol.18 No.4 1996年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1996 同心圆柱套筒间接触热阻研究(I):数学模型 殷晓静) A.Degiovanni 2) I)北京科技大学热能系，北京10O0832)LEMTA-INPL-France 摘要建立了同心圆柱套简表面间相互接触的粗糙单元体的三维稳态导热数学模型，给出了数 学解析方法和接触热阻的解析表达式.结果表明，单元体的稳态热传导可表达为一个由接触缝 隙间流体的热阻、粗糙热阻和收缩热阻构成的模拟电网络. 关键词接触热阻，热传导，数学模型 中图分类号TK.124 迄今为止，绝大部分的研究工作是针对两个平板间的接触热阻进行的，并且取得了许 多重要成果)，而两个曲面间接触热阻的研究尚不多见).本文提出了同心圆柱套筒间接 触热阻的三维稳态传热数学模型.根据这个模型一方面可以用来将两个曲面间的接触热阻 简捷地表达为3个特殊热阻的传热网络，另一方面可以分析材料的力学性能、几何参数及热 物性参数对接触热阻的影响 1数学描述 当两个固体表面接触时，由于粗糙的存在，接触点之间被孔隙隔开，在多数情况下， 这些孔隙是充满流体的.几何上，两个同心圆柱表面间的接触可以模化为许许多多的单元 体间的接触；在每个单元体中，将实际接触表面定义为单元体中心，非接触部分被流体隔 开.图1中给出了文中所用到的几何参数符号， 单元体中的稳态热传导过程由以下偏微分方程组描述： 器+0+0-k=1风<r<风+4=2风+4<风+4+00 Ti=T (r=Ro) (1a) T2=T.(r=R+l1+2) (1b) A(OT,/or)= -Φ(0<8≤6,0<z≤b,r=R。+1k=1,2) -中'(0<0<0，b<z<a:8'<0<60<z≤b:r=R+41,k=1,2)(1c) aT/0z=0(z=0,z=a,k=1,2) (1d) 0T4/08=0(日=0,0=0。，k=1,2) (1e) 1995-09-04收稿 第一作者女39岁博上副教授

第 1 8卷 第 4期 1 9 9 6年 8 月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U o i v e r s iyt o f S e i e n c e a n d T e e h n o l o yg B e ij ni g V o l . 1 8 N 0 . 4 A u g . 1 9 96 同心 圆柱套筒 间接触热阻 研究 ( 工) : 数学模 型 殷晓 静 ’ ) 注 . D 塔 i o v a n n i ’ ) l) 北京科技大学 热能 系 , 北京 10 0 0 8 3 2 ) L EM T ^ 一则p L 一 F arn e e 摘要 建 立了 同心 圆柱套 筒表面 间相互接 触的粗糙单元 体的三维稳 态导热数学模 型 , 给出 了数 学解析方 法和 接 触热阻 的解 析表达式 . 结果表 明 , 单元体 的稳态热 传 导可 表达为 一个由接触缝 隙间流体的热阻 、 粗糙热阻和 收缩热阻构成的模拟 电网络 . 关键词 接触热阻 , 热传导 , 数学模型 中图分类号 T K . 12 4 迄 今 为止 , 绝 大部 分 的研 究 工 作是 针 对 两个 平 板 间 的接 触 热 阻进 行 的 , 并且 取得 了 许 多重要 成 果 {l, “ 〕 , 而两 个 曲面 间接 触热 阻 的研究 尚不多 见 3[] . 本文 提 出 了同心 圆柱套筒 间 接 触热 阻 的 三 维稳 态 传 热 数 学模 型 . 根 据这 个 模 型 一方 面可 以 用 来将 两个 曲面 间的 接触 热 阻 简捷 地表 达 为 3 个特 殊 热阻 的传 热 网络 , 另 一方 面 可 以 分析材 料 的力 学性 能 、 几 何参数及 热 物性参数 对接 触 热 阻的影 响 . 1 数学描述 当两个 固体 表 面 接 触 时 , 由于 粗 糙 的存 在 , 接 触 点之 间被 孔 隙 隔 开 , 在多 数 情 况下 , 这 些孔 隙是 充 满 流 体 的 . 几 何 上 , 两 个 同 心 圆柱 表 面 间 的接 触 可 以 模 化 为 许许 多 多 的单元 体 间 的接 触 ; 在 每 个 单元 体 中 , 将 实 际 接触 表 面定 义 为 单元 体 中心 , 非 接 触 部分 被 流体 隔 开 . 图 l 中给 出 了文 中所 用到 的 几何 参数 符 号 . 单元 体中 的稳 态 热传 导过 程 由以 下偏 微分 方程 组 描述 : 刁, kT l 己兀 l 己,兀 己, 兀 - 不 -二犷 十 : 丁戈一 如 十 - 二 -又二: 二 + - 不 , 气二 二 口 r ` I 口 r r ` 口口 ` 口艺` } 几 巾( 0 < 口 ` 口 o ( k = l : R 。 < r < R 。 + I L,. k = 2 : R 。 + l ; < r < R 。 丰 l , + 几) ( 1) T , = 不 ( r = R。 ) ( l a ) = eT ( r = R 。 + 1 . + 1 2 ) ( l b ) 几k (己兀 / 己r ) = , 0 < z ` b , r = R o + 一 中 (0 < e < 氏力 < , < a ;0 < 0 < l , , k = l , 2 ) 0 。 , 0 < z ` b : r = R 。 + 1 1 , k = l , 2 ) ( I c ) 己爪/ 。 z = o ( z = o , z 一 a , k 一 l , 2 ) 刁几 / 己o = o (0 = o , 口 = 0 。 , k = l , 2 ) ( l d ) ( l e ) 19 9 5 一 0 9 一 0 4 收稿 第一 作者 女 39 岁 博 士 副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1996. 04. 019

·384· 北京科技大学学报 1996年No.4 介质22) 介质1a) 1/4单元体 rZ断面 r-0断面 图1粗糙单元体几何参数示意图 两层介质间的连续方程： T,-T2=中 学0学3 2 (2) (0<0≤8,0<z≤b,r=R。+l) p+兰ntt80<0<8,b<z<a,0'<0<0,0<z≤6sr (3) 其中仁1或2，代表内层或外层介质；1入，和f分别为内层、外层以及夹层中流体的导热系数. 模型的假设条件是：(1)为了求解方便，交界面上的接触面和非接触面的热流为常数；(2)交 界面上的接触面以及非接触面上的热量传递是径向一维的，连续方程中的温度为接触面和 非接触面上的平均温度，这样可将两种介质耦合传热问题作为两个独立的系统来求解， 2接触热阻的解析表达式 两种介质中温度场的解析解可以分别表达为由式(4)和(5)所示的3项之和的形式： T(c8,zT+ΦF,,0,z)+Φ'F,,0,z) (4) T(,8,z)=T。+ΦF,r,9,z)+中F,r,日，z） (5) 在求解温度场的基础上，进而可以计算两种介质交界面上的平均温度，将其代入连续方 程(2)和(3)后可得： T-T。=Φ[x+Ya邱+R']+中'[-X+Y1-a)] (6) T-T=[-Xa邱/(1-ap+Yap]+Φ'[Xa邱/(1-ap+1-a8)+R·] (7) 其中： y-8+4+'4+'nR+5t与 (8) R。+I, 。2 (9) g实晚号 (10)

. 3 8 4 . 北 京 科 技 大 学 学 报 1 99 6年 N o . 4 介质 2认 2 ) 介质 1林 , ) 巍娜断 1/ 4单元 体 r 一 Z 断面 图 1 粗糙单元体 几何 参数示 意图 r 刁 断面 两层 介质 间的连 续方 程 : _ r R 。 + l , 天 。 + 2 . 天 。 + 2 1 T一 关 二 中 ! = 长一 I n 二一井二一二二 + L 人 1 式。 + l , 一 0 1 = 七 凡一2 R _ + 1 . + 占 . I n = 气 , 牛 , 止 入。 + l - (2 ) ( o < 0 ` 0 , o < : ` b , r = R 。 + l , ) _ _ _ , 凡 十 l , . 凡 + l , 十 久 _ _ _ , _ _ _ _ , _ 1 . 一 1 , 二 甲 - - - 万- - ID 二尸尸一寸` 一川户 ( U < 仃 < 仃 八 . 口 < Z < a : 仃 < 口 < 仃~ U < 2 S D 二r = 式 。 十 l , , 人 r 人 。 + l一 0 2 ’ 汀 ( 3 ) 其 中=k 1 或 2 , 代 表 内层或 外层 介 质 ; 又1 、 礼和 脸别 为 内层 、 外层 以 及夹 层 中流 体 的 导热 系数 · 模型 的假设条 件 是 : (l ) 为 了 求解 方便 , 交 界 面上 的 接触 面 和 非接 触 面 的热 流 为常 数 ; (2) 交 界 面上 的 接 触 面 以 及 非接 触 面 上 的热量 传递 是径 向一 维 的 , 连续 方 程 中 的温 度 为接 触 面和 非接 触 面上 的平 均 温度 , 这 样可 将两 种 介质祸 合 传热 问题 作 为 两个独 立 的系 统来 求解 . 2 接触热阻 的解析表达式 两 种 介质 中温 度 场的 解析解 可 以 分 别表 达 为 由式 ( 4) 和 (5) 所示 的 3 项 之和 的形 式 : T l ( r , 0 , z ) 一 iT + 中F : ( r , 0 , z ) + 巾 ’ 凡( r , 0 , z ) ( 4 ) (zT r,e , )z 一 eT + 巾凡(r, e,z 卜 中 ’ 习 r,e ,)z (5) 在求 解温 度 场的基础 上 , 进 而 可 以计算 两种 介质交 界 面上 的平 均温 度 , 将其代人 连 续方 程 (2 ) 和 (3) 后 可 得 : 、少、./刃. J J 少 6 ,入à少nn 了.、 、.了、 .了、 卜 eT = 叫 x + 撇声+ R ’ 〕 + 巾 ’ 卜 X + l(Y 一 峭)] 不一 eT 一 叫 一 撇户l(/ 一 峭+) aY 川 + 中 ’ {爪明 / l( 一 峭卜 l(Y 一 峭) + R ’ 其中 : 卜 导 in 丫 · 丫 I n 签黔 “ ’ 州 nI 瓦公气万 十 赞 I n 等护 R 。 + 1 . R 。 + l , + d , R 率 = — 1 1 二井一 : 一 产 凡 r 入 。 + 1 1 一 o - ( 10 )

Vol.18 No.4 殷晓静等：同心圆柱套筒间接触热阻研究(I)力：数学模型 ·385· 9a9 含29然8+受+号 (11) vine abe 上述式中Y为单位面积介质的热阻；R'为单位面积介质接触部分的粗髓热阻；R·是孔隙内 单位面积流体的热阻；X为单位面积的收缩热阻；H,HH,(i=I,2)是a、B、v、0。入a、 12/a的函数，且有：a=0Bo,B=ba,-0(R。+1)b,y,=lm/0o,n4=km/a,1=1,2,…,o, k=1,2,…,0. 接触热阻可以定义为两种介质实际接触时单元体总热阻？，与理想接触时单元体总热阻 6的差值，即： re=rT-ro (12) 根据总热阻的定义，则： rr=(T,-T)/{4ΦR。+19'b+4φ(R。+1)[8(a-b)+(8。-6')a]} (13) r。=Y14(R+1)9a] (14) 由式(6)和式(7)解出Φ和Φ'后代入式(12)即可获得接触热阻的表达式： 4,+19,am.=`二g+R'a8+RR1-9 R'a1-a)+R(1-2+X (15) 对于工程问题所研究的接触表面，不等式α邱≤0.1，即1-邱≈1是可以满足的.进而， 又由于流体的导热系数通常总是小于或等于固体的导热系数，因此有： XRa邱<XR*(I-) 基于这两点讨论，单元体接触热阻可以表达为： re=rra+r)/(r+ra+r) (16) 其中r=R·/S是夹层中流体的热阻；r,=R'/S′为粗糙热阻；r4=X/S'为收缩热阻 S=4(R。+I)9a为单元体表观面积；S′=4(R。+1,)9'b为单元体实际接触面积. 显然，单元体中的稳态热传导可表达为一个由3个热阻构成的模拟电网络（图2）：粗糙 热阻与收缩热阻串联后，与夹层中流体的热阻并联，每个热阻都具有十分明确的物理含义. 值得提出的是在粗糙热阻的支路上了出现 rt 另一种热阻一收缩热阻.从传热学角度 而言，一个局部的三维传热问题被转化为 一个总体上的一维传热问题. 图2小粗糙单元体的热阻网络 3收缩热阻 从物理概念上，收缩热阻是由于接触表面的粗糙而引起热流线变形造成的.热流流经 两个相互接触的表面时，实际接触的表面的热阻远小于被流体填充的孔隙的热阻，热流线 发生变形和扭曲.其程度取决于实际接触面积与单元体表观面积的比值（心*=SS,且变形 和扭曲的程度越大收缩热阻的值也就越大，收缩热阻是接触单元的几何参数和材料导热系 数的函数.本文建议用函数A来描述收缩热阻，根据定义，单位表观面积上的收缩热阻可表

V 0 1 . 1 8 N 0 . 4 殷 晓静等 : 同心圆 柱套筒 间接触 热阻研究 ( 工:) 数 学模型 . 3 8 5 . 艺 Z s i n , (刁kb )e 户 1 。觅o o a b 鱿 ; 从 * 、 子 t 、 二一` 十 二一 ] 十 夕 流 1 凡: ` 昌 Z s i n Z v( 刀 ` ) (R 。 + 1 1 ) b v ) e o a 口 H : , 城 , 、 t , 二 es + 二` 、 ] 十 肉 九 ` 子 寻 4 s i n Z v( 刀 ` ) s i n , (刀 * b )( R 。 + l : ) 0 ` H l* 从 * 、 忌忌一- , 而不丽一一一 可L + 育’ ( 1 1) 上 述 式 中 Y为 单位 面 积介 质 的热 阻 ; R ` 为单 位 面积 介 质接 触 部 分 的粗 糙 热阻 ; R , 是孔 隙 内 单位 面积 流体的热 阻 ; X 为单 位面 积 的收缩 热 阻 ; 拭 。 凡 、 代 , ( i一 l , 2) 是 a 、 户 、 , 、 0 、 又 , a/ 、 礼a/ 的 函 数 , 且 有 : a =0 ’ 0/ 。 , 月一 b a/ , 间 ’ (R 。 + 人)乃 , v , 一 玩 / 0 , 。 * 一 玩 / a , l 一 1 , 2 , 一 , co , k = 1 , 2 , … , co . 接 触 热阻 可 以 定义 为 两种 介质 实 际接 触 时单 元体总 热 阻 r T 与 理想 接触 时单元 体总 热 阻 佗的差值 , 即 : r 。 = r : 一 r o ( 12 ) 根 据总 热 阻的定 义 , 则 : rT 一 (不一 爪) / { 4 中 (R 。 + 1 1 )0 ` b + 4 中 ’ (尺。 + 2 1 ) [ 0 ’ ( a 一 b ) + (e 。 一 e ’ ) a ]} ( 1 3 ) r0 一 Y / [ 4 ( R。 + 1 1 ) o o a ] ( 14 ) 由式 (6 ) 和 式 ( 7) 解 出 中 和 中 ` 后代 人 式 ( 12) 即可获 得 接触 热阻 的表 达式 : 4 (R 。 + 1 1 )o o a cr = XR ’ ( l 一 峭) + XR ` 峭 + R ` R ’ ( l 一 峭) R ’ 叨( l 一 峭) + R ’ ( 1 一 峭) 2 + X 对于工 程 问题 所 研究 的接 触表 面 , 不 等式 叨 ` 0 . 1 , 即 l 一 叨 二 ( 15 ) l 是 可 以满 足 的 . 进而 , 又 由于 流体 的 导热系 数通 常总是 小 于 或等 于 固体 的导热 系 数 , 因此 有 : xR ’ 叨 < XR ’ (l 一 峭) 基 于这 两 点讨论 , 单 元体 接触 热阻 可 以 表 达为 : cr = r 荞 r c t + r 。 ) / ( r f + cr t + r公 ( 16 ) 其 中 ; f一 R ’ / s 是 夹 层 中 流 体 的 热 阻 ; ; : 一 R ` / s ` 为 粗 糙 热 阻 ; : c t 一 x / s ` 为 收 缩 热 阻 S 一 4( R 。 +l ; )0 。 为单 元体 表观 面积 ; S ` =4 (R 。 + 汽)e ` b 为单 元 体实际接 触 面积 · 显 然 , 单 元体 中的稳态 热传 导可 表 达为 一个 由 3 个 热 阻构 成 的模拟 电网络 ( 图 2) : 粗 糙 热 阻 与 收缩 热 阻串联 后 , 与 夹层 中流 体 的 热阻 并联 , 每个 热 阻都 具有 十分 明确 的 物理 含义 . 值得 提 出的是 在 粗糙 热 阻 的支路 上 了 出现 另 一 种 热 阻 — 收 缩 热 阻 . 从 传 热 学 角 度 而 言 , 一 个局 部 的三 维传 热 问题 被 转化 为 一 个总 体上 的一 维传热 问题 . 图2 小粗糙单元体的热阻网 络 3 收 缩热阻 从物 理概 念 上 , 收缩 热 阻 是 由于 接 触 表 面 的 粗 糙 而 引起 热 流 线 变形 造 成 的 . 热 流 流 经 两个相 互 接 触 的表 面 时 , 实 际 接触 的 表 面的 热 阻远 小 于被 流 体填 充 的孔 隙 的 热阻 , 热流 线 发生 变形 和 扭 曲 . 其程度 取决 于 实际接 触 面 积 与单 元体 表 观 面积 的 比值 ( : ’ = s 均 , 且 变形 和扭 曲 的程 度 越大 收缩 热 阻 的值 也 就 越 大 . 收缩 热 阻 是 接 触单 元 的 几何 参数 和 材 料 导热 系 数 的 函 数 . 本文 建 议 用 函数 A 来 描述 收缩 热 阻 . 根据 定 义 , 单位 表观 面 积上 的收 缩 热阻 可表

·386· 北京科技大学学报 1996年N0.4 示为： R=X/s·=(1/1+1/元)AVSIs·V元 (17) 对比式(11)，A可以表示为18)式.函数A为量纲为一的函数，代表了热流线变形对接触热 阻的影响，因此对收缩热阻的研究转化为对函数A研究 A= {2受受+容受受+ 福2云@受号路 (18) 4 结论 建立了同心圆柱套筒表面间相互接触时粗糙单元体的三维稳态导热数学模型，并在交 界面处接触面以及非接触面上的热量传递是径向一维的条件下，导出了接触热阻的解析表 达式.结果表明，单元体的稳态热传导可表达为一个由接触缝隙间流体的热阻、粗糙热阻和 收缩热阻构成的模拟电网络.文中给出了能表征收缩热阻特性的函数A的定义式. 参考文献 1 Madhusudana C V,Fletcher L S.Contact Heat Transfer-The last decade.AIAA Journal,1985, 24(3:510~523 2 Fletcher L S.Recent Developments in Contact Conductance Heat Transfer.J Heat Transfer, 1988,110:1059~1070 3 Wang J C Y,Nowak E S.Solution of Thermal Constriction Resistance in Cylindrical Surfaces with an Isothermal Condition at the Contact Land.ASME paper,81WA/HT,1981.5 Study of Contact Thermal Resistance Between Two Coaxial Cylindrical Layers (I):Mathematical Model YIN Xiaojing)A.Degiovanni2) 1)Department of Energy Engineering.USTB,Beijing 100083,PRC 2)LAMTA-INPL-France ABSTRACT A mathematical model of three-dimensional steady-state heat conduction in the contact surface between two coaxial cylindrical layers is developed and an analysed solution of thermal resistance of contact is obtained.It is shown that the heat conduction in the rugosity unit cell may be reduced to an arrangement of the fluid thermal resistance,the rugosity thermal resistance and the constriction thermal resistance. KEY WORDS thermal contact resistance,heat transfer.mathematical model

. 3 8 6 . 示 为 : 北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 6年 N o . 4 尺 c , 一 x / s 一 ( l / 、 , + l / 又2 ) , 行下 店 ’ 石 ( 17 ) 对比 式 l( 1) , A 可 以 表示 为 (l 8) 式 . 函 数 A 为量 纲 为一 的 函 数 , 代 表 了热 流线变 形 对接 触热 阻 的影 响 , 因此 对 收缩 热 阻的研 究 转化 为对 函数 A 研 究 . f l a 矛 s i n , (哪 ` ) H l* 从 * 、 l 召石 导 s i n Z (玩a ) , H ; , . 凡 , 、 . A = 亏止嘴一 涪一 ) — (二竺 + 二竺 、 + 二二匕 二七二 ) 一一一一 二; 一 (二二 + 二二 ) + 〔 “ 沙石 户 l 尸 、 又, ’ 又2 ” 尸 护 自 尸 、 “ , ’ 几2 ” , 、 几 吕 异 s i n , (玩召、 s i n , (玩 a ) 万 , , 。 拭 , ` 〕又 ,又 , 上 犷二份 》 > -一 一一一 - 二下下二- 而 一 ( = 二二 + = 二二 飞卜 止 ` 一 〔18 ) 丫 叩仁 1昌 犷扩 、 人 1 凡: ` J 凡 1 十 丸 4 结论 建 立 了 同心 圆柱 套筒 表 面 间相 互 接触 时粗糙 单元 体 的三 维 稳态 导 热 数学 模 型 , 并 在交 界 面 处接 触 面 以 及 非 接触 面 上 的热 量 传递 是 径 向一 维 的条 件 下 , 导 出了 接 触 热 阻 的解 析表 达式 . 结果 表 明 , 单 元 体 的稳 态热 传导可 表 达 为一个 由接 触缝 隙间流 体 的热 阻 、 粗糙 热 阻和 收缩 热 阻构 成 的模拟 电网 络 . 文 中给 出 了 能表 征 收缩 热阻 特性 的 函 数 A 的定义 式 . 参 考 文 献 M a dh u s u d a n a C V , F l e t e h e r L 5 . C o n at e t H e a t T r a n s fe r 一 T h e l a s t d e e a d e . A IA A J o l l r l l a l , 1 9 8 5 2 4 ( 3 ) : 2 F l e t C h e f 5 1 0 一 5 2 3 L 5 . R e c e n t D e v e l o P m e n t s i n C o n at e t C o n d u e at n e e H e a t T anr s fe r . J H e a t T r a n s fe r , 1 9 8 8 . 1 10 : 10 5 9 ~ 10 7 0 3 W a n g W iht J C Y , N o w ak E 5 . S o l u t i o n o f T h e rm a l C o n s itr e ti o n R e s i s at n e e a n I s o th e rm a l C o n d i t i o n a t ht e C o n at e t L a n d . A S M E P a P e r , 8 IWA 月汪T , 一n C y l in 面 e a l S u ir 臼c e s 1 9 8 1 . 5 S ut d y o f C o n t a c t T h e mr a l R e s i s t a n e e B e wt e e n T w o C o a x i a l C y li n d r i e a l L a y e r s ( I ) : M a th e m a t i e a l M o d e l 刀胃 Xi a oj i n g ’ ) A . D 塔i o v a n 。 i ’ ) l ) D e P ’aIt m e n t o f E n e r g y E n g i n e e r i n g , U S T B , B e ij i n g 10 0 0 8 3 , p R C Z ) L A M T A 一 NI p L 一 F r an e e A B S T R A C T A m a t h e m a t i e a l m o d e l o f th r e e 一 d im e n s i o n a l s t e a d y 一 s t a t e h e a t e o n d u e t i o n in ht e e o n ta e t s u rfa e e b e tw e e n tw o e o a x i a l e y li n d r i c a l l a y e r s 1 5 d e v e l o P e d an d a n an a ly s e d s o l u t i o n o f ht e r l n a l r e s i s t a n e e o f e o n 协e t 1 5 o b ta i n e d . It 1 5 s h o w n t h a t th e h e a t c o n d u e t i o n i n ht e ru g o s ity u n it e e ll m a y b e r e d u e e d t o a n ar an g e m e n t o f th e fl u id ht e rm a l r e s i s ta n e e , th e ur g o s iyt ht e mr a l r e s i s t a n e e a n d t h e e o n s tr i e t i o n ht e mr a l r e s i s t a n e e . K E Y W O R D S ht e mr a l e o n at e t r e s i s t a n e e , h e a t tr a n s fe r , m a th e m a t i e a l m o d e l