因子分析因子分析以潜变量/因子解释多个变量之间的相关关系。例2.若干儿童3门课程Classics，French，English考试成绩x1,×210.830.78)x3的相关系数矩阵如右，Spearman（1904)认为同一个人3门1R=0.830.67110.780.67课成绩高度相关是因为一个潜在能力因子f的控制作用：x1 = lf + 81f：公共因子×2= l2f + 82&i:特殊因子/误差fX3 = l2f + &381,82,&3独立。E(f) = 0,var(f)=1因子分析：给定协方差矩阵R，求解载荷参数l1,12,l3以及误差方差2bi = var(εi)一个因子(能力f)影响三个变量x1,×2，X211
11 因子分析 f 1 x 2 x 3 x 3 x 𝑓 𝜀2 𝜀1 𝜀3 1 l 2 l 3 l 一个因子(能力𝑓)影响三个变量𝑥1, 𝑥2, 𝑥2 因子分析以潜变量/因子解释多个变量之间的相关关系。 ൞ 𝑥1 = 𝑙1𝑓 + 𝜀1 𝑥2 = 𝑙2𝑓 + 𝜀2 𝑥3 = 𝑙2𝑓 + 𝜀3 𝑓: 公共因子 𝜀𝑖 : 特殊因子/误差𝑓, 𝜀1, 𝜀2, 𝜀3独立。𝐸(𝑓) = 0, 𝑣𝑎𝑟(𝑓) = 1 因子分析： 给定协方差矩阵𝑅，求解载荷 参数𝑙1, 𝑙2, 𝑙3以及误差方差 𝜓𝑖 = 𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑖) 𝑅 = 1 0.83 0.78 0.83 1 0.67 0.78 0.67 1 例2. 若干儿童3门课程Classics, French, English考试成绩𝑥1, 𝑥2, 𝑥3的相关系数矩阵如右，Spearman (1904)认为同一个人3门 课成绩高度相关是因为一个潜在能力因子𝑓的控制作用：
x1=lf +818i~(0, i), f~(0,1)X2=l2f +&2X3=l2f +83因子模型求方差和协方差：var(x)=var(lif +e)=l?+Φicov(xi,x) = cov(lif + 8i,lif + 8) = li ll1l2( +1lil3(X1)因子模型下的协方差矩阵：varX211l21+212l3(X3/13+3lil312l3(10.830.78)实际数据：R=0.8310.670.7810.67令两者相同：1+=1，1112=0.83，11l3=0.78，l213=0.67→ l1= 0.98,l2=0.84,l3=0.8;±1=0.03,±2=0.29,±3=0.37注：当变量个数大于3时，方程无解，应用LS或极大似然方法12
12 ⇒ 𝑙1 = 0.98, 𝑙2 = 0.84, 𝑙3 = 0.8; 𝜓1= 0.03, 𝜓2 = 0.29, 𝜓3 = 0.37 ൞ 𝑥1 = 𝑙1𝑓 + 𝜀1 𝑥2 = 𝑙2𝑓 + 𝜀2 𝑥3 = 𝑙2𝑓 + 𝜀3 因子模型求方差和协方差： 𝑣𝑎𝑟 𝑥𝑖 = 𝑣𝑎𝑟(𝑙𝑖𝑓 + 𝜀𝑖) = 𝑙 𝑖 2 + 𝜓𝑖 𝑐𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 = 𝑐𝑜𝑣(𝑙𝑖𝑓 + 𝜀𝑖 , 𝑙𝑗𝑓 + 𝜀𝑗) = 𝑙𝑖 𝑙𝑗 𝜀𝑖~(0, 𝜓𝑖), 𝑓~(0,1) 因子模型下的协方差矩阵：𝑣𝑎𝑟 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝑙1 2 + 𝜓1 𝑙1𝑙2 𝑙1𝑙3 𝑙1𝑙2 𝑙2 2 + 𝜓2 𝑙2𝑙3 𝑙1𝑙3 𝑙2𝑙3 𝑙3 2 + 𝜓3 注：当变量个数大于3时，方程无解，应用LS或极大似然方法。 实际数据： 𝑅 = 1 0.83 0.78 0.83 1 0.67 0.78 0.67 1 令两者相同：𝑙 𝑖 2 + 𝜓𝑖 = 1，𝑙1𝑙2 = 0.83，𝑙1𝑙3 = 0.78，𝑙2𝑙3 = 0.67
例1是Spearman研究的下述相关系数矩阵的一部分。Spearman's correlation matrixfor six measures of schooperformance.Thebottom rowshowsthegloadingsPitchClassicsFrenchEnglishMathMusicClassics-French.83.67English.78.67.64Math.70.54.65.45Pitch.66.57.51.51.40Music.63.882.803.750.958.673.646g-loadingPitch:pitchdiscriminationg-loading：载荷，各门课与潜在因子的相关系数13
13 Spearman's correlation matrix for six measures of school performance. The bottom row shows the g loadings Classics French English Math Pitch Music Classics – French .83 – English .78 .67 – Math .70 .67 .64 – Pitch .66 .65 .54 .45 – Music .63 .57 .51 .51 .40 – g-loading .958 .882 .803 .750 .673 .646 例1是Spearman 研究的下述相关系数矩阵的一部分。 Pitch： pitch discrimination g-loading: 载荷，各门课与潜在因子的相关系数