性质5若行列式D的某一列(行)的元素都是 两数之和 12 1;十 li n 例如D=2 22 2i t aii n n2 (an+an) 则D等于下列两个行列式之和: a In D 21 2n 21 2i 2n n
性质5 若行列式D的某一列（行）的元素都是 两数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如
性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列行对应的元素上去,行 列式不变 n 例如a1 a2n nn …(an1;+ky 21 (a2i+kai) r:+kr n (a.+kai nn K圆四
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nn i j n i j n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nn i j j n i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k 例如
性质7.行列式按行(列)展开法则 6“h14=4≈4,当=小 10,当1≠ 其中δ 1,当i=j, 当i=j 0=1(0,当≠j 24=A=10,当i≠ k=1 下面证明 aik aik=an14n+a12412+…+amn1mn=0,≠ =1 证把行列式A=deta)按第j行展开,有
性质7. 行列式按行（列）展开法则 = = = = 0 , ; , , 1 i j A i j a A A ij n k ki kj 当 当 = = = = 0 , ; , , 1 i j A i j a A A ij n k ik jk 当 当 = = 0 , . 1 , i j i j ij 当 当 ， 其中 下面证明: 0, . 1 1 2 2 1 a A a A a A a A i j i j i j i n j n n k i k j k = + + + = = 证 把行列式 A = det(ai j) 按第 j 行展开，有
In ln nAn+…+aimA4m=: nn 把a换成a(k=1,…,n,可得 K
n nn j jn i in n j j jn jn a a a a a a a a a A a A 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = 把 a jk 换成 aik (k = 1, ,n),可得
11 n n 14n+…+an4/m= 第讠行 相同 i第行 nn 当i≠j时, an4n+a124+…+in14mn=0,(≠j 同理a1;4;+a2142+…+an4n=0,(≠j
n nn i in i in n i j in jn a a a a a a a a a A a A 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = 第 j 行 第 i 行 相同 当 i j 时, 0, ( ). 1 1 2 2 a A a A a A i j i j + i j ++ in jn = 同理 0, ( ). 1 1 2 2 a A a A a A i j i j + i j ++ ni nj =