Proof.(数学归纳法) 当n=1结论成立假设结论对-1阶行列式成立则 22 a2n 1(22 nn 1122…a, 0 nn 0 同理下三角行列式2122 122…n n n2 nn K
Proof.（数学归纳法） 当n = 1时结论成立; 假设结论对n−1阶行列式成立,则 nn n n a a a D a 0 22 2 = 11 ( ) = a11 a22ann = a11a22ann nn n n nn a a a a a a a a a 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 同理下三角行列式 =
0 d 特别地对角行列式 2 00 0 0 0 而 不是对角行列式, 00 0 0 M 120 n(n-1) (-1)2412…
n n d d d d d d 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 特别地,对角行列式 = 0 0 0 0 0 0 2 1 n 而 不是对角行列式， n n n n 1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) 0 0 0 0 0 0 − 且 = −
二行列式的性质 12 In 122 12 22 2 记D 2n D n2 n 2n 行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号
二.行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
75 75175715 例如662=-358,662=-662 358662 358538 推论如果行列式有两行列)完全相同则行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D,D=0 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 11 12 In 12 2 a k ai ai2 n n2 nn n2 anm國四
例如 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零. , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8 证明 互换相同的两行，有 D = 0. D = −D, 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 =
推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面 注意与矩阵数乘运算的区别,k4n=kAn 性质4行列式中如果有两行(列)元素成比 例,则此行列式为零 证明 12 12 il i2 i2 k a. k n 2 nn n2
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0. 注意与矩阵数乘运算的区别, . n n kAn = k A