《有限元分析》课程教学资源（PPT课件，第五讲 固体力学线弹性问题）

第五讲固体力学-线弹性问题有限元分析元计算技术部元计算ElementComputingTechnologyCo.,Ltd

第五讲 固体力学-线弹性问题有限元分析 元计算技术部

市元计算元计算科技发展有限公司ElementComputingTechnology.Co,Ltdwww.yuanisuan.cn线弹性力学作为固体力学的一个重要分支，研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础。广泛应用在建筑、机械、化工、航天等工程领域。本讲将对该分支，从其物理模型，有限元弱形式推导，以及ELAB.1.0有限元分析、ELAB1.0有限元软件公式库实现等各个方面进行介绍。基本方程ELAB1.0模型向导实现有限元脚本文件分析

线弹性力学作为固体力学的一个重要分支，研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和 内力，它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础 。广泛应用在建筑、机械、化工、航 天等工程领域 。本讲将对该分支，从其物理模型，有限元弱形式推导，以及ELAB.1.0有限元分析、 ELAB1.0有限元软件公式库实现等各个方面进行介绍。 基本方程 ELAB1.0模型向导实现 有限元脚本文件分析

市元计算元计算科技发展有限公司ElementcomputingTechnologyCo,Ltdwww.yuanisuan.cn>线弹性问题的基本方程从静力学、几何学和物理学方面考虑得到线弹性稳态问题对应的数学物理方程为：平衡方程：0m00+00=+f,=0本构方程：axaConConCa+f,=0axOydo+da.do.o6.+J.=0arOdeog6,a.6.E几何方程：CuCwrS.-So,0.5-v(1+v)(1-2v)Sy:yt6s6.0.51avOeCu6y6=a-0.5-V八6,3aaxOauoyS"CS"aytar其中0Cy、Oz表示直角坐标系下三个方向的正应力，xy表示对应的正应变，y、xzOyz表示直角坐标系下三个剪应力，exy、8xz、eyz表示对应的剪应变，U、V、W表示直角坐标系下三个方向的位移，E表示杨氏模量，V表示泊松比

➢线弹性问题的基本方程 从静力学、几何学和物理学方面考虑得到线弹性稳态问题对应的数学物理方程为： 平衡方程： 0 0 0 xx xz xy x xy yy yz y xz yz zz z f x y z f x y z f x y z             + + + =       + + + =       + + + =    几何方程： xx yz yy xz zz xy u w v x y z v w u y x z w u v z y x          = = +       = = +       = = +    本构方程： 1 1 1 (1 )(1 2 ) 0.5 0.5 0.5 xx xx yy yy zz zz yz yz xz xz xy xy E                                 −       −     − =   + − −     −     −     其中σxx、σyy、σzz表示直角坐标系下三个方向的正应力 ，εxx、εyy、εzz表示对应的正应变 ， σxy、σxz、 σyz表示直角坐标系下三个剪应力 ， εxy、εxz、εyz表示对应的剪应变 ，u、v、w表示直角坐标系下三个方 向的位移 ，E表示杨氏模量 ，ν表示泊松比

市元计算元计算科技发展有限公司ElementComputingTechnologyCo,Ltdwww.yuanisuan.cn边界条件：第一类边界条件：Vw-wouo=VoT=f2T=fsT=f第二类边界条件：T, = fz(u,v,w)T = f(u,y,w)第三类边界条件：T=f(u,v,W)>有限元分析运用迦辽金有限元法求位移，由上面的平衡方程可得：00m00m00a0ya.00Jyf.)ou+f.)ovaxayazaxay0z=000r00=a0f.)owdv+Ozaxay

边界条件： u = u0 v = v0 w = w0 第二类边界条件： 1 2 3 T f T f T f x = y = z = 第三类边界条件： ( , , ) ( , , ) ( , , ) Tx = f 1 u v w Ty = f 2 u v w Tz = f 3 u v w 第一类边界条件: ➢有限元分析 ( ) ( ) 0 ( ) xx xz xy xy yy yz x y V xz yz zz z f u f v x y z x y z f wdV x y z                   + + + + + + +       =    + + + +     运用迦辽金有限元法求位移，由上面的平衡方程可得：

市元计算元计算科技发展有限公司mentComputingTechnologyCo,Ltdwww.yuanisuan.cn其中ou、ov、ow表示三个方向的虚位移。对上式进行分部积分化为弱形式可得：oudeodetodeoetoeoedVffou+f,+f.ow+Tou+,o+Tow将本构方程带入到上面的弱形式，得到求解位移的最终弱形式表达式：EEEJ, .- 1+a-2m(-nd+J,s (+d-2m(md +JJ,-(+v/-2)(v)dvEEE+-2+J-2ma-+-2Ek+I, .- ++l-2)(0d+J,s. 1+l-2m(md +/,s.- (+/-2m(-davEEE(0.5+J,+2++J,5 (1+v/1-2)(0fofofooo

其中σu、σv、σw表示三个方向的虚位移。 对上式进行分部积分化为弱形式可得： xx xx yy yy zz zz yz yz xz xz xy xy V x y z x y z V dV f u f v f wdV T u T v T wd                    + + + + + = + + + + +     将本构方程带入到上面的弱形式，得到求解位移的最终弱形式表达式： (1 ) ( ) ( ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) ( ) (1 ) ( ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) ( ) (1 )(1 2 ) xx xx xx yy xx zz V V V yy xx yy yy yy zz V V V zz xx zz yy V E E E dV dV dV E E E dV dV dV E dV                                      − + + + − + − + − + + − + + − + − + − + + + −        ( ) (1 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) (0.5 ) (0.5 ) (0.5 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) zz zz V V yz yz xz xz xy xy V V V x y z x y z V E E dV dV E E E dV dV dV f u f v f wdV T u T v T wd                               + − + − + − + − + − + − + − + − + − = + + + + +        