《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案10

?成金娜内素古科技大学INNERMONGOLIAUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY教案课程名称测量平差基础总学时数80学时使用班级测绘专 2013-1、2任课学期2014/2015学年第一学期任课教师燕志明编制时间2014年9月24日

教 案 课程名称 测量平差基础 总学时数 80 学 时 使用班级 测绘专 2013-1、2 任课学期 2014/2015 学年第一学期 任课教师 燕志明 编制时间 2014 年 9 月 24 日

内蒙古科技大学教案课程名称：测量平差基础授课章节$3.7由真误差计算中误差的使用公式目的要求巩固所学知识，掌握计算中误差的使用公式由双观测值之差求中误差重点难点S3.7由真误差计算中误差的使用公式（约15分钟）一、由三角形闭合差求测角中误差设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为",W2…"，它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差为o, = lim [ww]nw, =180°-(α, +β, +y.)(i=1,2,.*, n)9当三角形个数n为有限的情况下，可求得三角形闭合差的方差的估值02 =Ewwln对式（1-8-7)运用协方差传播律，并设测角方差均为β，得02 =6 +0 +0, =3030-lww3n代入式(1-8-8)中，得测角方差为：[ww]6β=±V3n测角中误差为：上式称为菲列罗公式，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。（约30分钟）二、用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式设有一组同精度独立观测值，L，L，它们的数学期望为"，z，"，真误差为，，，有(i =1,2,...,n)A, = μ, - L;观测值一i的方差为[]α = E(^)= lim Ln第10次第1页

内蒙古科技大学教案 课程名称：测量平差基础 授课章节 §3.7 由真误差计算中误差的使用公式 目的要求 巩固所学知识，掌握计算中误差的使用公式 重点难点 由双观测值之差求中误差 §3.7 由真误差计算中误差的使用公式 一、由三角形闭合差求测角中误差 设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的 三角形闭合差分别为 ，它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差为 当三角形个数 为有限的情况下，可求得三角形闭合差的方差 的估值 对式(1-8-7)运用协方差传播律，并设测角方差均为 ，得 代入式(1-8-8)中，得测角方差为： 测角中误差为： 上式称为菲列罗公式，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。 二、用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式 设有一组同精度独立观测值 ，它们的数学期望为 ，真 误差为 ，有 ， 观测值 的方差为 （约 15 分钟） （约 30 分钟） 第 10 次 第 1 页 w w wn , ,., 1 2   n ww n w → = lim 2  180 ( ) wi i i i =  −  +  +  (i = 1，2，，n) n 2  w 2 ˆ  w   n ww w = 2  ˆ 2 ˆ   2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ  w =  +  +  =     n ww 3 ˆ 2   =   n ww 3 ˆ  =  L1，L2，，Ln 1，2，，n 1，2，，n i = i − Li (i = 1,2,  ,n) Li   n E n  =  = → ( ) lim 2 2 

上式是根据一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。现在设，L，L是一组不同精度的独立观测值，的数学期望、方差和权分别为、和 Pi,,=μ,-L。为了求得单位权方差，需要得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差，然后按式（1-8-1）计算。设^i是一组同精度独立的真误差，作如下变换：A, = /p,A,=P-1根据协因数传播律得：Pi-Pip,对于一组不同精度独立的真误差，经变换后，得到一组权为P=1的同精度独立的真4i,A2%。按式（计算单位权方差误差：[A][pA] =E())= lim =lim1>00nn-00n上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权方差的理论值。由于n总是有限的，故只能求得单位权方差%的估值6% - [A]_ [A]1n三、由双观测值之差求中误差（约45分钟）设对量Y，X，…，X，分别观测两次，得独立观测值和权分别为Lj, L, L",L, '., '",PP2.*.,Pn其中观测值Li和i是对同一量1的两次观测的结果，称为一个观测对。在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。例如，在水准测量中对每段路线进行往返观测，在导线测量中每条边测量两次等，这种成对的观测，称为双观测。假定不同的观测对的精度。不同：而同一观测对的两个观测值的精度相同，即一和一的权都为Pi。由于观测值带有误差，对同一个量的两个观测值的差数一般是不等于零的。设第1个量的两次观测值的差数为~,d,=L,-L,(i=1,2,..., n)AdX的真值是i是真误差。设则Aa =(X, -L)-(X, -L)=L-L'=d,1-1+1-2Ai的权：Pa,P:p.L对式运用协因数传播律可得第10次第2页

上式是根据一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。 现在设 是一组不同精度的独立观测值， 的数学期望、方差和权分别 为 、 和 ， 。 为了求得单位权方差 ，需要得到一组精度相同且其权均为 1 的独立的真误差，然 后按式（1-8-1）计算。设 是一组同精度独立的真误差，作如下变换： 根据协因数传播律得： 对于一组不同精度独立的真误差，经变换后，得到一组权为 的同精度独立的真 误差： 。按式（计算单位权方差 上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权方差的理论值。由于 总是有限 的，故只能求得单位权方差 的估值 三、由双观测值之差求中误差 设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权分别为 ， ， 其中观测值 和 是对同一量 的两次观测的结果，称为一个观测对。在测量工作中， 常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。例如，在水准测量中对每段路线进行往返观 测，在导线测量中每条边测量两次等，这种成对的观测，称为双观测。假定不同的观测对 的精度。 不同；而同一观测对的两个观测值的精度相同，即 和 的权都为 。 由于观测值带有误差，对同一个量的两个观测值的差数一般是不等于零的。设第 个 量的两次观测值的差数为 ， 则 是真误差。设 的真值是 。 对式运用协因数传播律可得 的权： （约 45 分钟） 第 10 次 第 2 页 L1，L2，，Ln Li  i 2  i i p i = i − Li 2  0 i  i = pi i  1 1 1 =   i i i p p p pi   1 n  , ,.,  1 2 2  0     n p n E n n  =  =  = → → (( ) ) lim lim 2 2  0 n 2  0 2 0  ˆ     n p n  =  = 2 0  ˆ X1，X2，，Xn L L Ln  ，  ，，  1 2 L L Ln  ，  ，，  1 2 p1，p2，，pn Li  Li  Xi Li  Li  i p i i d di Li Li =  −  (i = 1，2，，n) i d Xi Xi ~ d Xi Li Xi Li Li Li di i  = −  − − ) =  −  = ~ ) ( ~ ( i d pd pi pi pi i 1 1 1 2 = + =

Pa=L2这样，我们就得到了n个真误差4和它们的权Pa。得到由双观测值之差求单位权方差的公式[pdd]: - m PAAl - m !-→2nn-→on当n有限时，其估值为0, - Lpdj2n02=2=02-P;各观测值一和一，的方差为：课堂教学小结：1、由三角形闭合差求测角中误差；2、用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式；3、由双观测值之差求中误差第10次第3页

这样，我们就得到了 个真误差 和它们的权 。得到由双观测值之差求单位权 方差的公式 当 有限时，其估值为 各观测值 和 的方差为： 第 对观测值的平均值 的方差为： 课堂教学小结： 1、由三角形闭合差求测角中误差； 2、用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式； 3、由双观测值之差求中误差 第 10 次 第 3 页 2 i d p p i = n di  di p     n pdd n p n d d d n 2 lim lim 2 0 → → =    = n   n pdd 2 ˆ 2  0 = Li  Li  i L L p i i 2 1 0 2 2   =   =  2 i i i L L X  +  = i L X p i i 2 1 2 2 0 2 2    = = 