R,( u2+02 2 2 图516自相关函数的性质 KDI
τ Rx (τ) 0 μ2 x μ2 x+σ2 x μ2 x -σ2 x 图5—16 自相关函数的性质 11
自相关函数是偶函数证明 因为R(z)=lim1f o (tx(t+rdt 则R(-z)= limx()x(-)h 令 t-t=v dt=dv t=y+T 上式为R(-)=lim x(v+t)x(vdv T→∞TJ0 令则 R()+10=R()证毕 KDI 12
自相关函数是偶函数证明 因为 0 1 ( ) lim ( ) ( ) T x T R x t x t dt T → = + 则 0 1 ( ) lim ( ) ( ) T x T R x t x t dt T → − = − 令 t v dt dv t v − = = = + ; ; 上式为 0 1 ( ) lim ( ) ( ) T x T R x v x v dv T → − = + 令 v t = 0 1 ( ) lim ( ) ( ) ( ) T x x T R x t x t dt R T → − = + = 则 证毕 12
例5-求正弦函数x(0)= Xo sin(a汁)的自相关函数。初相角φ为一随机变量。 解:此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程,其平均值可用一个周期 内平均值表示。该函数的自相关函数为: R,()=lim x(t)x(t+r)dt xo sin( at +o)sino(t+r)+o]dt T→∞ 式中T0 正弦函数周期 令1=b则h、dO ,于是 R(D)=o rii de 2丌 xo sin osin(0+or) sin Osm(0+or)dE 2丌 C2丌 由 -2sin asin B=cos(a+ B)-cos(a-B) 上式为 R,(T)=4(D[cos(20+or)-cos(or )de 2丌 R,(T)=.coS(OT)2T 2丌 可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在τ=0时具有最大值,它不随τ 的增加而衰减至零。保留了原正弦信号的幅值和频率信息,而丢失了相位信息 KDI 13
例5-1求正弦函数 x (t) = x0 sin (ωt+φ)的自相关函数。初相角φ为一随机变量。 解：此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其平均值可用一个周期 内平均值表示。该函数的自相关函数为: = + = + + + → T T T x x t t dt T x t x t dt T R 0 0 2 0 0 0 sin( )sin[ ( ) ] 1 ( ) ( ) 1 ( ) lim 式中 正弦函数周期 2 T0 = 令 t + = 则 ，于是 d dt = = + = + 2 0 2 0 2 0 2 0 sin sin( ) 2 sin sin( ) 2 ( ) d d x R x x 由 − = + − − 2sin sin cos( ) cos( ) = − + − 2 0 2 0 )[cos(2 ) cos( ) 2 1 ( 2 ( ) d x Rx cos 2 cos( )2 2 ( ) 2 0 2 0 x x Rx = = 可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在τ=0时具有最大值，它不随τ 的增加而衰减至零。保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了相位信息。 上式为 13
性质讨论:x()=x1oo+0)B()S0(O)2n=0 cOS Ot 2丌 (1)由于Hxa2=x0 d2≤R()≤a2 =0; (2) =Im xT→)∞ x(t)dt R2(0) (4) R2(-r)=coso(-)=R1( (5) R(z)=0cos丢失相位信息。 图5-17是四种典型信号的自相关函数,稍加对比可看出自相关函数是区 别信号类型的一个非常有效的手段。 (1)信号中含有周期成分,其自相关函数在很大时都不会衰减,并 具有明显周期性。 (2)不包含周期成分,当τ稍大时R()→0 (3)宽带随机噪声的R)很快衰减为零。 (4)窄带随机噪声的R(r)有较慢衰减特性。 KDI 14
（1）由于 μx =0； 2 2 2 0 x x = → 2 2 ( ) x Rx x − （2） = = = → T x T x R x x t dt T 0 2 2 2 0 (0) 2 ( ) 1 lim （4） cos ( ) ( ) 2 ( ) 2 0 x Rx x R − = − = （5） 丢失相位信息。 ( ) cos( ) x t = x0 t + cos 2 ( ) 2 x0 Rx = 性质讨论： cos 2 cos( )2 2 ( ) 2 0 2 0 x x Rx = = 图5-17是四种典型信号的自相关函数，稍加对比可看出自相关函数是区 别信号类型的一个非常有效的手段。 （1）信号中含有周期成分，其自相关函数在τ很大时都不会衰减，并 具有明显周期性。 （2）不包含周期成分，当τ稍大时Rx (τ)→0。 （3）宽带随机噪声的Rx (τ)很快衰减为零。 （4）窄带随机噪声的 Rx (τ)有较慢衰减特性。 14