二次型的化简 在讨论一个二次曲线或二次曲面时,如果想知道它的形状,需要把其 二次部分(二次型)化成无交叉项的形式。 定义(二次型的标准型、规范型 设二次型f(x1,x2,……,xn)=x!Ax经由线性变换x=Py,这里P是 个可逆矩阵,化为 d1yi+a2y2+…+dnv2 则称1y+d2v+…+dnv为f(x1,x2,…,xn)的一个标准型,若 标准型中的山取值为±1和0,则称之为f(x1,x2,……,xn)的规范型。 化二次型为标准型的过程,实际上就是在一个实对称矩阵的合同矩阵 中找一个对角阵的过程。 定理 任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵
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二次型的化简 化二次型为标淮型的方法一般有三种,(1)配方法,(2)初等变换 法,(3)正交相似法。 配方法在处理简单的例子时可以采用,但更常用的方法是初等变换 做法的程序化规则如下(设A是要合同对角化的n阶对称阵) 0将A和Ln并列,形成一个n×(2n)阶矩阵(Aln), ⊙对该矩阵实施类似于求阶梯形的初等行变换,要点:实施一次初 等行变换后,在对其实施下一次初等行变换前,先对矩阵的 前n列实施一次相应的初等列变换 0最后当矩阵(An)经过这样的成对的初等变换后若化 成(BQ),其中B为一个对角阵,则取P=Q, 有PAQ=B为对角阵!
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1lÙg. g.z{ g.z{ zg.IO.{kn«§(1) {§(2) Ð C {§(3) q{" {3?n{ü~f±æ^§~^{´Ð C {" {§Sz5KXe£ A ´ÜÓéz n é¡ ¤µ 1 ò A Ú In ¿§/¤ n × (2n) Ý A In § 2 éTÝ ¢aqu¦ F/Ð 1C§:µ¢gÐ 1C§3éÙ¢egÐ 1Cc§kéÝ c n ¢gAÐ C¶ 3 Ý A In ²Lù¤éÐ Cez ¤ B Q §Ù¥ B é §K P = Q′§ k P ′AQ = B é