不一样；为了测量重力加速度，用测单摆周期的方法或用自由落体的方法结果也可能会不同。3.测量者的问题这方面的问题很多。首先是“估读”的不同，待测量位于标准量的某两刻度之间时，必须估读其数值，不同测量者的估读会有不同；这与测量者的位置，熟练程度及仪器所处的环境状况等有关。其次是“判断”的不同，例如，要测量干涉条纹间的距离，为确定何处是干涉条纹的中心位置（即光最亮处或最暗处），需要经验和判断能力，最后还有“误读”的可能，即测量者长期工作中难免犯错误，把数据读错也是很可能发生的。以上三方面的问题都会造成误差。其中第一个问题和第三个问题产生的误差大小与测量仪器、测量者、测量条件和测量次数有关的，可以用一定的方法进行评定（第三个问题中的“误读”除外），这种评定的方法将在第二节详述。测量方法的问题则要进行定性分析以尽量避免或进行定量分析予以修正。例如，要测量一块正在加热的平面玻璃的温度，无论用温度计或热电偶，放在玻璃板的任何一侧，都不可能测准的，因为测温元件（温度计或热电偶）与待测元件（玻璃板）的受热与散热情况都不相同，它们的温度不可能相同。因此，可以改用激光测温的方法，它利用待测元件本身作为测温无件，从玻璃表面间反射光的干涉条纹变化来确定其温度变化，就可以避免因测温元件与待测元件的温度差而形成的误差。又如，用单摆测量重力加速度的一般公式为g=4元2LT2式中T为单摆周期，L为摆长。这里忽略了单摆摆线的质量，忽略了单摆运动是非简谐运动，也忽略了空气阻力的影响等等，如要修正上述这些因素造成的误差，则要进行严格的计算和修正。如摆线质量为u，摆球半径为I质量为m，则g=-4元"号[1+2-14)上述公式应修正为1T25L6m摆动的幅角较大或空气的浮力与阻力的影响较大时还应作其他各种修正。实验误差的分析是一项十分重要的工作，要考虑实际上可能对测量结果产生4
4 不一样；为了测量重力加速度，用测单摆周期的方法或用自由落体的方法结果也 可能会不同。 3. 测量者的问题 这方面的问题很多。首先是“估读”的不同，待测量位于标准量的某两刻度 之间时，必须估读其数值，不同测量者的估读会有不同；这与测量者的位置，熟 练程度及仪器所处的环境状况等有关。其次是“判断”的不同，例如，要测量干 涉条纹间的距离，为确定何处是干涉条纹的中心位置（即光最亮处或最暗处）， 需要经验和判断能力，最后还有“误读”的可能，即测量者长期工作中难免犯错 误，把数据读错也是很可能发生的。 以上三方面的问题都会造成误差。其中第一个问题和第三个问题产生的误差 大小与测量仪器、测量者、测量条件和测量次数有关的，可以用一定的方法进行 评定（第三个问题中 的“误读”除外），这种评定的方法将在第二节详述。测量 方法的问题则要进行定性分析以尽量避免或进行定量分析予以修正。 例如，要测量一块正在加热的平面玻璃的温度，无论用温度计或热电偶，放 在玻璃板的任何一侧，都不可能测准的，因为测温元件（温度计或热电偶）与待 测元件（玻璃板）的受热与散热情况都不相同，它们的温度不可能相同。因此， 可以改用激光测温的方法，它利用待测元件本身作为测温无件，从玻璃表面间反 射光的干涉条纹变化来确定其温度变化，就可以避免因测温元件与待测元件的温 度差而形成的误差。 又如，用单摆测量重力加速度的一般公式为 2 L T 2 g=4 式中 T 为单摆周期，L 为摆长。这里忽略了单摆摆线的质量，忽略了单摆运 动是非简谐运动，也忽略了空气阻力的影响等等，如要修正上述这些因素造成的 误差，则要进行严格的计算和修正。如摆线质量为 ,摆球半径为 r,质量为 m,则 上述公式应修正为 2 2 2 2 1 1 5 6 L r T L m 2 g=4 摆动的幅角较大或空气的浮力与阻力的影响较大时还应作其他各种修正。 实验误差的分析是一项十分重要的工作，要考虑实际上可能对测量结果产生
影响的各种因素，分析其影响的大小。任何实验都不要求把一切影响因素全部消除，这在经济上、时间上、精力上都造成浪费，而实际上也是不可能做到的；只要达到一定的误差允许范围之内就行。而这种分析需要广博的基础知识、丰富的实践经验和高超的判断能力。这就要求我们在各种实验中认真思索，仔细考虑，以积累经验，丰富知识，提高分析判断能力第二节实验不确定度的意义一、不确定度评定的意义如上所述，即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分，实际上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方法平表征的，这就是“不确定度”的评定，在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠中。反之，不确定度愈大，测量的质量愈低，它的可靠性愈差，使用价值就愈低。不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而需要投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。二、关于不确定度的一些基本概念和分类不确定度的评定十分重要，但以往各国对不确定度的表示和评定却有不同的看法和规定，这无疑影响了国际间的交流和合作。1992年，国际标准化组织（ISO）发布了具有指导性的文件《测量不确定度表示指南》（以下简称《指南》），为世界各国不确定度的统一奠定了基础。1993年ISO和国际理论与应用物理联合会（IUPAP）等七个国际权威组织又联合发布了《指南》的修订版。从此，物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。《指南》对实验的测量不确定度有十分严格而详尽的论述。作为普通物理实验教学，只要求对不确定度的下述基本概念有初步的了解。不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个量值范围内的一个评定。所谓“标准不确定度”是指以“标准偏差”表示的测量不确定度估计值，简称不确定度，常记为u。（关于“标准偏差”的意义请阅本章附录1。）标准不确定度一般可分为以下三类：5
5 影响的各种因素，分析其影响的大小。任何实验都不要求把一切影响因素全部消 除，这在经济上、时间上、精力上都造成浪费，而实际上也是不可能做到的；只 要达到一定的误差允许范围之内就行。而这种分析需要广博的基础知识、丰富的 实践经验和高超的判断能力。这就要求我们在各种实验中认真思索，仔细考虑， 以积累经验，丰富知识，提高分析判断能力。 第二节 实验不确定度的意义 一、不确定度评定的意义 如上所述，即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，测 量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分，实际上，这种不确定的 程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方法平表征的，这就是“不确定度” 的评定，在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠中。反 之，不确定度愈大，测量的质量愈低，它的可靠性愈差，使用价值就愈低。 不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不 能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而需要投资，造成浪 费；评价得过小，在实验中可能得出错误的结论；在生产中则产品质量不能保 证，造成危害。 二、关于不确定度的一些基本概念和分类 不确定度的评定十分重要，但以往各国对不确定度的表示和评定却有不同的 看法和规定，这无疑影响了国际间的交流和合作。1992 年，国际标准化组织（ISO） 发布了具有指导性的文件《测量不确定度表示指南》（以下简称《指南》），为世 界各国不确定度的统一奠定了基础。1993 年 ISO 和国际理论与应用物理联合会 （IUPAP）等七个国际权威组织又联合发布了《指南》的修订版。从此，物理实 验的不确定度评定有了国际公认的准则。 《指南》对实验的测量不确定度有十分严格而详尽的论述。作为普通物理实 验教学，只要求对不确定度的下述基本概念有初步的了解。 不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个 量值范围内的一个评定。所谓“标准不确定度”是指以“标准偏差”表示的测量 不确定度估计值，简称不确定度，常记为 u 。（关于“标准偏差”的意义请阅本 章附录 1。）标准不确定度一般可分为以下三类：
1、A类评定不确定度：在同一条件下多次测量，即由一系列观测结果的统计分析评定的不确定度，简称A类不确定度，常记为ua。2、B类评定不确定度：由非统计分析评定的不确定度，简称B类不确定度，常记为Ug3、合成标准不确定度：某测量值的A类与B类不确定度按一定规则算出的测量结果的标准不确定度，简称合成不确定度。以下分别讨论如何进行不确定度的评定、合成、传递和表示。三、标准不确定度的评定1、A类不确定度uA在相同的条件下，对某物理量x作n次独立测量，得到的x值为x，x2，，……x，于是平均值为x为-*(1)r=平均值为测量结果的最佳值，它的不确定度为2(x,-x)i=ux（x）=*(2)n(n-1)式中的t就称为“t因子”，它与测量次数和“置信概率”有关。（所谓“置信概率”是指真值落在x+uA（x）范围内的概率。）t因子的数值可以根据测量次数和置信概率查表得到，当测量次数较少或置信概率较高时，t>1；当测量次数n≥10且置信概率为68.3%时，t~1；在大多数普通物理教学实验中，为了简便，一般就取t=1.（关于t因子的大小，请阅本章附录2。）2、B类不确定度UB若对某物理量x进行单次测量，那么B类不确定度由测量不确定度UBi（X）和仪器不确定度uB2(x)两部分组成。6
6 1、A 类评定不确定度：在同一条件下多次测量，即由一系列观测结果的统 计分析评定的不确定度，简称 A 类不确定度，常记为 A u 。 2、B 类评定不确定度：由非统计分析评定的不确定度，简称 B 类不确定度， 常记为 B u 。 3、合成标准不确定度：某测量值的 A 类与 B 类不确定度按一定规则算出的 测量结果的标准不确定度，简称合成不确定度。 以下分别讨论如何进行不确定度的评定、合成、传递和表示。 三、标准不确定度的评定 1、A 类不确定度 A u 在相同的条件下，对某物理量 x 作 n 次独立测量，得到的 x 值为 1 x ， 2 x ， 3 x ，. n x ，于是平均值为 x 为 x = 1 n 1 n i i x (1) 平均值为测量结果的最佳值，它的不确定度为 A u （ x ）=t* 2 1 ( ) ( 1) n i i x x n n (2) 式中的 t 就称为“t 因子”，它与测量次数和“置信概率”有关。（所谓“置信概 率”是指真值落在 x A u （x）范围内的概率。）t 因子的数值可以根据测量 次数和置信概率查表得到，当测量次数较少或置信概率较高时，t >1；当测量次 数 n 10 且置信概率为 68.3%时，t 1；在大多数普通物理教学实验中，为了简 便，一般就取 t =1.（关于 t 因子的大小，请阅本章附录 2。） 2、B 类不确定度 B u 若对某物理量x 进行单次测量，那么B类不确定度由测量不确定度 B1 u （X） 和仪器不确定度 B2 u (x)两部分组成
一或！测量不确定度uBl（X）是由估读引起的，通常取仪器分度值d的一或，10以1有时也取一，视具体情况而定；特殊情况下，可取ugl=d,甚至更大。例如用分度2值为1mm的米尺测量物体长度时，在较好地消除视差的情况下，测量不确定度可取仪器分度值的一，即upl（X）=*1mm=0.1mm；但在示波器上读电压1010值时，如果荧光线条比较宽、且可能有微小抖动，则测量不确定度可取仪器分度1值的，若分度值为0.2V，那么测量不确定度uBl（X）：*0.2V=0.1V。又如，P2用肉眼观察远处物体成像的方法粗测透镜的焦距，虽然所用钢尺的分度值只有1mm，但此时测量不确定度uBl（X）可取数毫米，甚至更大。仪器不确定度uB2（x）是由仪器本身的特性所决定的，它定为：UB2 (x)=(3)c其中，a是仪器说明书上所标明的“最大误差”或“不确定度限值”，C是一个与仪器不确定度UB2(x)的概率分布特性有关的常数，称为“置信因子”。仪器不确定度UB2(x)的概率分布通常有正态分布、均匀分布和三角分布以及反正弦分布、两点分布等。对于正态分布、均匀分布和三角分布，置信因子C分别取3、/3和/6。如果仪器说明书上只给出不确定限值（即最大误差），却没有关于不确定度概率分布的信息，则一般可用均匀分布处理，即us2(x)=号。有些仪器说明书没有直接给出其不确定限值，但给出了仪器的准确度等级则其不确定度限值a需经计算才能得到。如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值乘以等级，例如满量程为10V的指针式电压表，其等级为1级，则其不确定度限值a=10V*1%=0.1V。又如电阻箱的不确定度限值等于示值乘以等级再加上零值电阻，由于电阻箱各档的等级是不同的，因此在计算时应分别计算，例如常用的ZX21型电阻箱，其示值为360.5Q，零值电阻为0.02Q，则其不确定度限值a=(300*0.1%+60*0.2%+0*0.5%+0.5*5%+0.02)Q=0.47四、标准不确定度的合成与传递7
7 测量不确定度 B1 u （X）是由估读引起的，通常取仪器分度值 d 的 1 10 或 1 5 ， 有时也取 1 2 ，视具体情况而定；特殊情况下，可取 B1 u =d ,甚至更大。例如用分度 值为 1mm 的米尺测量物体长度时，在较好地消除视差的情况下，测量不确定度 可取仪器分度值的 1 10 ，即 B1 u （X）= 1 10 *1mm=0.1mm；但在示波器上读电压 值时，如果荧光线条比较宽、且可能有微小抖动，则测量不确定度可取仪器分度 值的 1 2 ，若分度值为 0.2V，那么测量不确定度 B1 u （X）= 1 2 *0.2V=0.1V。又如， 用肉眼观察远处物体成像的方法粗测透镜的焦距，虽然所用钢尺的分度值只有 1mm，但此时测量不确定度 B1 u （X）可取数毫米，甚至更大。 仪器不确定度 B2 u (x) 是由仪器本身的特性所决定的，它定为： B2 u (x)= a c （3） 其中，a 是仪器说明书上所标明的“最大误差”或“不确定度限值”，C 是一个与 仪器不确定度 B2 u (x)的概率分布特性有关的常数，称为“置信因子”。仪器不 确定度 B2 u (x)的概率分布通常有正态分布、均匀分布和三角分布以及反正弦 分布、两点分布等。对于正态分布、均匀分布和三角分布，置信因子 C 分别取 3、 3 和 6 。如果仪器说明书上只给出不确定限值（即最大误差），却没有关于不 确定度概率分布的信息，则一般可用均匀分布处理，即 B2 u (x)= a 3 。 有些仪器说明书没有直接给出其不确定限值，但给出了仪器的准确度等级， 则其不确定度限值 a 需经计算才能得到。如指针式电表的不确定度限值等于其满 量程值乘以等级，例如满量程为 10 V 的指针式电压表，其等级为 1 级，则其不 确定度限值 a=10V*1%=0.1V。又如电阻箱的不确定度限值等于示值乘以等级再 加上零值电阻，由于电阻箱各档的等级是不同的，因此在计算时应分别计算，例 如常用的 ZX21 型电阻箱，其示值为 360.5 ，零值电阻为 0.02 ，则其不确定 度限值 a=(300*0.1%+60*0.2%+0*0.5%+0.5*5%+0.02) =0.47 四、标准不确定度的合成与传递
由正态分布、均匀分布和三角分布所求得的标准不确定度可以按以下规则进行合成与传递。1.合成（1）在相同条件下，对x进行多次测量时，待测量x的标准不确定度u(x)由A类不确定度u,(x)和仪器不确定度uB2(x）合成而得。即(4)u(x)=/u:(x)+uz2(x)其中，uB2(x)的值由（3）式根据相应的概率分布进行估算。(2）对待测量x进行单次测量时，待测量x的标准不确定度u(x)由测量不确定度B(x)和仪器不确定度uB2(x)合成而得，即(5)u(x)=ui(x)+uz2(x对于单次测量，有时会因待测量的不同，其不确定度的计算也有所不同。例如用温度计测量温度时，温度的不确定度合成公式为上述的（5）式；而在长度测量中，长度值是两个位置读数xl和x2之差，其不确定度合成公式为u(x)=uBi(xl)+uB(x2)+uB2(x）。这是因为xI和x2在读数时都有测量不确定度，因此在计算合成不确定度时都要算入。（注：这种情况下，长度x可以理解为间接测量量，即x=X2-X1，这样uBl(x）可用标准不确定度的传递公式（7）得ug(x)=/u(x)+u(x,），再用公式（5)得到u(x)=/u(xl)+ugi(x2)+u2(a)。因此使用公式（5）时没有必要对长度这样的量做特别的处理，摘录者注）2.传递在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过计算而得的，若y=f(x,X2,X3.…x），且各x；相互独立，则测量结果y的标准不确定度u(y)的传递公式为：ro- (% a)(6)由（6）式可以得到一些常用的不确定度传递公式如下：
8 由正态分布、均匀分布和三角分布所求得的标准不确定度可以按以下规则进 行合成与传递。 1.合成 （1）在相同条件下，对 x 进行多次测量时，待测量 x 的标准不确定度 u(x)由 A 类不确定度 A u (x)和仪器不确定度 B2 u (x) 合成而得。即 2 2 2 ( ) ( ) ( ) u x u x u x A B （4） 其中， 2 ( ) B u x 的值由（3）式根据相应的概率分布进行估算。 （2）对待测量 x 进行单次测量时，待测量 x 的标准不确定度 u(x)由测量不确 定度 1 ( ) B u x 和仪器不确定度 2 ( ) B u x 合成而得，即 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) u x u x u x B B （5） 对于单次测量，有时会因待测量的不同，其不确定度的计算也有所不同。例 如用温度计测量温度时，温度的不确定度合成公式为上述的（5）式；而在长度 测量中，长度值是两个位置读数 x1 和 x2 之差，其不确定度合成公式为 2 2 2 1 1 2 ( ) ( 1) ( 2) ( ) u x u x u x u x B B B 。这是因为 x1 和 x2 在读数时都有测量不确定度， 因此在计算合成不确定度时都要算入。(注：这种情况下，长度 x 可以理解为间 接测量量，即 x= x2-x1，这样 u (x) B1 可用标准不确定度的传递公式（7）得 u (x) u (x ) u (x ) 2 2 1 B1 2 B1 B1 ，再用公式（5）得到 2 2 2 1 1 2 ( ) ( 1) ( 2) ( ) u x u x u x u x B B B 。 因此使用公式（5）时没有必要对长度这样的量做特别的处理， 摘录者注） 2．传递 在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过计算而得的，若 1 2 3 ( , , ,., ) N y f x x x x ，且各 x i 相互独立，则测量结果 y 的标准不确定度u y( )的 传递公式为： 2 2 2 1 ( ) ( ) N i i i f u y u x x (6) 由（6）式可以得到一些常用的不确定度传递公式如下：