第6章树和二叉树自测卷解答 姓名 班级 四 总分 10 15 20 100 一、下面是有关二叉树的叙述,请判断正误(每小题1分,共10分) (√)1.若二叉树用二叉链表作存贮结构,则在n个结点的二叉树链表中只有m-1个非空指针域 (×)2二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。 (√)3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。 (×)4二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。 (×)5二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树(若存在的话)所有结点的关键字值,且小于 其右非空子树(若存在的话)所有结点的关键字值。(应当是二叉排序树的特点) (×)6二叉树中所有结点个数是2k1-1,其中k是树的深度。(应2-1) (×)7二叉树中所有结点,如果不存在非空左子树,则不存在非空右子树 (×)8对于一棵非空二叉树,它的根结点作为第一层,则它的第i层上最多能有21个结点。(应2-1) (√)9用二叉链表法(link-rink)存储包含n个结点的二叉树,结点的2n个指针区域中有n+1个为 空指针。 (正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树,结点共有2n个链域。由于二叉树中,除根结点外,每 个结点有且仅有一个双亲,所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针,还有n+1个空指针。) 即有后继链接的指针仅n-1个 (√)10.〖01年计算机系研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点 最快方法:用叶子数=[m/2]=6,再求n2=no-1=5 、填空(每空1分,共15分) 由3个结点所构成的二叉树有5种形态。 2.【计算机研2000一棵深度为6的满二叉树有+2=0+n=n1=3个分支结点和21=32个叶 子 注:满二叉树没有度为1的结点,所以分支结点数就是二度结点数。 3.一棵具有257个结点的完全二叉树,它的深度为 (注:用Llog(n)H1=8xx1=9 4.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点,则共有350个叶子结点 答:最快方法:用叶子数=[n/2]=350 5.设一棵完全二叉树具有1000个结点,则此完全二叉树有500个叶子结点,有499个度为2的结 点,有1个结点只有非空左子树,有_0个结点只有非空右子树 答:最快方法:用叶子数=[n/2]=500,n2=n1=499。另外,最后一结点为2i属于左叶子,右叶子是空 的,所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况,所以非空右子树数=0. 6.【严题集67③】一棵含有n个结点的k叉树,可能达到的最大深度为 最小深度为2。 答:当k=1(单叉树时应该最深,深度=n(层);当k=n1(n1叉树)时应该最浅,深度=2(层),但不 包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”,未定量。)
1 第 6 章 树和二叉树 自测卷解答 姓名 班级 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 10 15 11 20 20 24 100 得分 一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题 1 分，共 10 分） （ √ ）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在 n 个结点的二叉树链表中只有 n—1 个非空指针域。 （ × ）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于 1。 （ √ ）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。 （ × ）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。 （ × ）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于 其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。 （应当是二叉排序树的特点） （ × ）6.二叉树中所有结点个数是 2 k-1 -1，其中 k 是树的深度。（应 2 i -1） （ × ）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。 （ × ）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第 i 层上最多能有 2 i—1 个结点。（应 2 i-1） （ √ ）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含 n 个结点的二叉树，结点的 2n 个指针区域中有 n+1 个为 空指针。 （正确。用二叉链表存储包含 n 个结点的二叉树，结点共有 2n 个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一 个结点有且仅有一个双亲，所以只有 n-1 个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有 n+1 个空指针。） 即有后继链接的指针仅 n-1 个。 （ √ ）10. 〖01 年计算机系研题〗具有 12 个结点的完全二叉树有 5 个度为 2 的结点。 最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求 n2=n0-1=5 二、填空（每空 1 分，共 15 分） 1． 由３个结点所构成的二叉树有 5 种形态。 2. 【计算机研 2000】 一棵深度为 6 的满二叉树有 n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和 2 6-1 =32 个叶 子。 注：满二叉树没有度为 1 的结点，所以分支结点数就是二度结点数。 3． 一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为 9 。 （ 注：用log2(n) +1= 8.xx +1=9 4. 【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有 700 个结点，则共有 350 个叶子结点。 答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝350 5. 设一棵完全二叉树具有 1000 个结点，则此完全二叉树有 500 个叶子结点，有 499 个度为 2 的结 点，有 1 个结点只有非空左子树，有 0 个结点只有非空右子树。 答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500 ，n2=n0-1=499。 另外，最后一结点为 2i 属于左叶子，右叶子是空 的，所以有 1 个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0. 6. 【严题集 6.7③】 一棵含有 n 个结点的 k 叉树，可能达到的最大深度为 n ，最小深度为 2 。 答：当 k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当 k=n-1（n-1 叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不 包括 n=0 或 1 时的特例情况。教材答案是“完全 k 叉树”，未定量。)
7.【96程试题1】二叉树的基本组成部分是:根(N)、左子树(L)和右子树(R)。因而二叉树的遍历 次序有六种。最常用的是三种:前序法(即按NLR次序),后序法(即按LRN次序)和中序 法(也称对称序法,即按LNR次序)。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是 BEFCGDH,中序序列是 FEBGCHD,则它的后序序列必是 FEGHDCB 解:法1:先由已知条件画图,再后序遍历得到结果; 法2:不画图也能快速得出后序序列,只要找到根的位置特征。由前 序先确定root,由中序先确定左子树。例如,前序遍历 BEFCGDH中 根结点在最前面,是B;则后序遗历中B一定在最后面。 法3:递归计算。如B在前序序列中第一,中序中在中间(可知左 右子树上有哪些元素),则在后序中必为最后。如法对B的左右子树同 样处理,则问题得解 8.【全国专升本统考题】中序遍历的递归算法平均空间复杂度为On) 答:即递归最大嵌套层数,即栈的占用单元数。精确值应为树的深度k+1,包括叶子的空域也递归了一次 9.【计算机研2001】用5个权值吕3,24,5,1}构造的哈夫曼( Huffman)树的带权路径长度是 解:先构造哈夫曼树,得到各叶子的路径长度之后便可求出WPL=(4+5+3)×2+(1+2)×3=33 (注:两个合并值先后不同会导致编码不同,即哈夫曼编码不唯一) (注:合并值应排在叶子值之后) (注:原题为选择题:A.32 B.33 D.15) 三、单项选择题(每小题1分,共11分) C)1.不含任何结点的空树 A)是一棵树 B)是一棵二叉树; (c)是一棵树也是一棵二叉树; D)既不是树也不是二叉树 答:以前的标答是B,因为那时树的定义是n≥1 (C)2.二叉树是非线性数据结构,所以 (A)它不能用顺序存储结构存储; (B)它不能用链式存储结构存储 (c)顺序存储结构和链式存储结构都能存储;(D)顺序存储结构和链式存储结构都不能使用 (C)3.〖01年计算机研题〗具有nn>0)个结点的完全二叉树的深度为 (A)log2(n)1 (B)Llog2(n)J(C)Llog2 (n)H1 (D)log2(n)+l 注1:x表示不小于x的最小整数:Lx表示不大于x的最大整数,它们与门]含义不同! 注2:选(A)是错误的。例如当n为2的整数幂时就会少算一层。似乎log(m)+1是对的? (A)4.把一棵树转换为二叉树后,这棵二叉树的形态是 A)唯一的 (B)有多种 (c)有多种,但根结点都没有左孩子(D)有多种,但根结点都没有右孩子 5.【94程P11】从供选择的答案中,选出应填入下面叙述?内的最确切的解答,把相应编号写在 答卷的对应栏内。 树是结点的有限集合,它Δ根结点,记为T。其余的结点分成为m(m≥0)个B
2 7. 【96 程试题 1】 二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。因而二叉树的遍历 次序有六种。最常用的是三种：前序法（即按 N L R 次序），后序法（即按 L R N 次序）和中序 法（也称对称序法，即按 L N R 次序）。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是 BEFCGDH，中序序列是 FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B 。 解：法 1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果； 法 2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。由前 序先确定 root，由中序先确定左子树。例如，前序遍历 BEFCGDH 中， 根结点在最前面，是 B；则后序遍历中 B 一定在最后面。 法 3：递归计算。如 B 在前序序列中第一，中序中在中间（可知左 右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。如法对 B 的左右子树同 样处理，则问题得解。 8.【全国专升本统考题】中序遍历的递归算法平均空间复杂度为 O(n) 。 答：即递归最大嵌套层数，即栈的占用单元数。精确值应为树的深度 k+1，包括叶子的空域也递归了一次。 9. 【计算机研 2001】 用 5 个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼（Huffman）树的带权路径长度是 33 。 解：先构造哈夫曼树，得到各叶子的路径长度之后便可求出 WPL＝（4＋5＋3）×2＋（1＋2）×3=33 (15) (9) (6) （注：两个合并值先后不同会导致编码不同，即哈夫曼编码不唯一） 4 5 3 (3) （注：合并值应排在叶子值之后） 1 2 （注：原题为选择题：Ａ．32 Ｂ．33 Ｃ．34 Ｄ．15） 三、单项选择题（每小题 1 分，共 11 分） （ C ）1． 不含任何结点的空树 。 （Ａ）是一棵树; （Ｂ）是一棵二叉树; （Ｃ）是一棵树也是一棵二叉树; （Ｄ）既不是树也不是二叉树 答：以前的标答是 B，因为那时树的定义是 n≥1 （ C ）2．二叉树是非线性数据结构，所以 。 （Ａ）它不能用顺序存储结构存储; （Ｂ）它不能用链式存储结构存储; （Ｃ）顺序存储结构和链式存储结构都能存储; （Ｄ）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用 （ C ）3. 〖01 年计算机研题〗 具有 n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为 。 (Ａ) log2(n) (Ｂ) log2(n) (Ｃ) log2(n) +1 (Ｄ) log2(n)+1 注 1：x 表示不小于 x 的最小整数； x表示不大于 x 的最大整数，它们与[ ]含义不同！ 注 2：选（A）是错误的。例如当 n 为 2 的整数幂时就会少算一层。似乎log2(n) +1是对的？ （ A ）4．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是 。 （Ａ）唯一的 （Ｂ）有多种 （Ｃ）有多种，但根结点都没有左孩子 （Ｄ）有多种，但根结点都没有右孩子 5. 【94 程 P11】 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在 答卷的对应栏内。 树是结点的有限集合，它 A 根结点，记为 T。其余的结点分成为 m（m≥0）个 B
的集合T1,T2,…,Tm,每个集合又都是树,此时结点T称为T的父结点,T称为T的子结点(1≤i ≤m)。一个结点的子结点个数为该结点的C。 供选择的答案 A:①有0个或1个②有0个或多个③有且只有1个④有1个或1个以上 B:①互不相交 ②允许相交 允许叶结点相交④允许树枝结点相交 C:①权 ②维数 ③次数(或度) ④序 答案:ABC=1,1,3 6.【%5程P13】从供选择的答案中,选出应填入下面叙述_?内的最确切的解答,把相应编号写在 答卷的对应栏内 叉树A。在完全的二叉树中,若一个结点没有B,则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转 换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里,一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的C 而N的右子女是它在原树里对应结点的D 供选择的答案 A:①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④有是只有二个根结点的树形结构 B:①左子结点②右子结点⑧左子结点或者没有右子结点④兄弟 C~D:①最左子结点 ②最右子结点③最邻近的右兄弟 ④最邻近的左兄弟 ⑥最左的兄弟 最右的兄弟 谷案:A= 答案: ABCDE=2,1,1,3 四、简答题(每小题4分,共20分) 1.【严题集62①】一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别? 答:度为2的树从形式上看与二叉树很相似,但它的子树是无序的,而二叉树是有序的。即,在一般树中 若某结点只有一个孩子,就无需区分其左右次序,而在二叉树中即使是一个孩子也有左右之分。 2.〖01年计算机研题〗设如下图所示的二叉树B的存储结构为二叉链表,root为根指针,结点结构为 ( Child. data, rchild)。其中 Child, rchild分别为指向左右孩子的指针, data为字符型,rot为根指针,试回答下列问题: C的结点类型定义如下 对下列二叉树B,执行下列算法 traversal(root),试指出其输出结 2.假定二叉树B共有n个结点,试分析算法 traversal(ro的时间复 struct node *lchild, rchild 杂度。(共8分) C算法如下 void traversal(struct node * root) 二叉树B fif (root) printf("%c”,root->data) 解:这是“先根再左再根再右”,比前序遍历多打印各结点一次,输 traversal(root->lchild) 出结果为: ABCCEEBADFFDGG 特点:①每个结点肯定都会被打印两次:;②但出现的顺序不同,其| traversal( root->rchild) 规律是:凡是有左子树的结点,必间隔左子树的全部结点后再重复 出现:如A,B,D等结点。反之马上就会重复出现。如C,E,F, G等结点。 时间复杂度以访问结点的次数为主,精确值为2n,时间渐近度为Om)
3 的集合 T1，T2，…，Tm，每个集合又都是树，此时结点 T 称为 Ti 的父结点，Ti称为 T 的子结点（1≤i ≤m）。一个结点的子结点个数为该结点的 C 。 供选择的答案 A： ①有 0 个或 1 个 ②有 0 个或多个 ③有且只有 1 个 ④有 1 个或 1 个以上 B: ①互不相交 ② 允许相交 ③ 允许叶结点相交 ④ 允许树枝结点相交 C： ①权 ② 维数 ③ 次数（或度） ④ 序 答案：ABC＝1，1，3 6. 【95 程 P13】 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在 答卷的对应栏内。 二叉树 A 。在完全的二叉树中，若一个结点没有 B ，则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转 换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里，一个结点 N 的左子女是 N 在原树里对应结点的 C ， 而 N 的右子女是它在原树里对应结点的 D 。 供选择的答案 A： ①是特殊的树 ②不是树的特殊形式 ③是两棵树的总称 ④有是只有二个根结点的树形结构 B: ①左子结点 ② 右子结点 ③ 左子结点或者没有右子结点 ④ 兄弟 C～D： ①最左子结点 ② 最右子结点 ③ 最邻近的右兄弟 ④ 最邻近的左兄弟 ⑤ 最左的兄弟 ⑥ 最右的兄弟 答案：A= B= C= D＝ 答案：ABCDE＝2，1，1，3 四、简答题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 【严题集 6.2①】一棵度为 2 的树与一棵二叉树有何区别？ 答：度为 2 的树从形式上看与二叉树很相似，但它的子树是无序的，而二叉树是有序的。即，在一般树中 若某结点只有一个孩子，就无需区分其左右次序，而在二叉树中即使是一个孩子也有左右之分。 2.〖01 年计算机研题〗设如下图所示的二叉树 B 的存储结构为二叉链表，root 为根指针，结点结构为： （lchild,data,rchild）。其中 lchild，rchild 分别为指向左右孩子的指针， data 为字符型，root 为根指针，试回答下列问题： 1. 对下列二叉树 B，执行下列算法 traversal(root)，试指出其输出结 果； 2. 假定二叉树 B 共有 n 个结点，试分析算法 traversal(root)的时间复 杂度。（共 8 分） 二叉树 B 解：这是“先根再左再根再右”，比前序遍历多打印各结点一次，输 出结果为：A B C C E E B A D F F D G G 特点：①每个结点肯定都会被打印两次；②但出现的顺序不同，其 规律是：凡是有左子树的结点，必间隔左子树的全部结点后再重复 出现；如 A，B，D 等结点。反之马上就会重复出现。如 C，E，F， G 等结点。 时间复杂度以访问结点的次数为主，精确值为 2*n，时间渐近度为 O(n). A B D C F G E C 的结点类型定义如下： struct node {char data; struct node *lchild, rchild; }; C 算法如下： void traversal(struct node *root) {if (root) {printf(“%c”, root->data); traversal(root->lchild); printf(“%c”, root->data); traversal(root->rchild); } }
3.〖01年计算机研题〗【严题集627⑧】给定二叉树的两种遍历序列,分别是: 前序遍历序列:D,A,C,E,B,H,F,G,I:中序遍历序列:D,C,B,E,H,A,G,I,F, 试画出二叉树B,并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法 解:方法是:由前序先确定root由中序可确定root的左、右子树。然后由其左子树的元素集合和右子树 的集合对应前序遍历序列中的元素集合,可继续确定ro的左右孩子。将他们分别作为新的root,不断递 归,则所有元素都将被唯一确定,问题得解 H 4.【计算机研2000给定如图所示二叉树T,请画出与其对应的中序线索二叉树 解:要遵循中序遍历的轨迹来画出每个前驱和后继。 中序遍历序列:5540256028083354 40 五、阅读分析题(每题5分,共20分) 1.(P604-26)试写出如图所示的二叉树分别按先序、中序、后序遍历时得到的结点序列 答:DLR: ABDFJGKCEHIL M LDR: BFJDGKACHELIM LRD:JFKGDBHLMIECA 2.(P604-27)把如图所示的树转化成二叉树 答:注意全部兄弟之间都要连线(包括度为2的兄 弟),并注意原有连线结点一律归入左子树,新添 连线结点一律归入右子树
4 3. 〖01 年计算机研题〗【严题集 6.27③】给定二叉树的两种遍历序列，分别是： 前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I； 中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F， 试画出二叉树 B，并简述由任意二叉树 B 的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树 B 的思想方法。 解：方法是：由前序先确定 root，由中序可确定 root 的左、右子树。然后由其左子树的元素集合和右子树 的集合对应前序遍历序列中的元素集合，可继续确定 root 的左右孩子。将他们分别作为新的 root，不断递 归，则所有元素都将被唯一确定，问题得解。 D A C F E G B H I 4.【计算机研 2000】给定如图所示二叉树 T，请画出与其对应的中序线索二叉树。 解：要遵循中序遍历的轨迹来画出每个前驱和后继。 中序遍历序列：55 40 25 60 28 08 33 54 28 25 33 40 60 08 54 55 五、阅读分析题（每题 5 分，共 20 分） 1. （P60 4-26）试写出如图所示的二叉树分别按先序、中序、后序遍历时得到的结点序列。 答：DLR：A B D F J G K C E H I L M LDR: B F J D G K A C H E L I M LRD：J F K G D B H L M I E C A 2. （P60 4-27）把如图所示的树转化成二叉树。 答：注意全部兄弟之间都要连线（包括度为 2 的兄 弟）,并注意原有连线结点一律归入左子树，新添 连线结点一律归入右子树。 A B E C K F H D L G I M J 28 25 33 40 60 08 54 2 55 8 2 5 4 0 5 55 5 6 0 3 3 0 8 54 N I L N I L
3.【严题集6.17③】阅读下列算法,若有错,改正之 答:这是找结点后继的程序 BiTree In Succ( BiTree q)i 共有3处错误 ∥已知q是指向中序线索二叉树上某个结点的指针 注:当rtag=1时说明内装后继指针,可 ∥函数返回指向*q的后继的指针。 直接返回,第一句无错。 ∥应改为r=q 当rtag=0时说明内装右孩子指针,但孩 if(!r->rtag) 子未必是后继,需要计算。中序遍历应当 while(r-> etag)r=r> Achild;∥应改为 先左再根再右,所以应当找左子树直到叶 while(Ir->Ltag)r=r->Lchild return r;∥应改为 return r-> rchild 子处。r=r->lchl直到LTag=1 4.【严题集621②】画出和下列二叉树相应的森林 答:注意根右边的子树肯定是森林, 而孩子结点的右子树均为兄弟。 六、算法设计题(前5题中任选2题,第6题必做,每题8分,共24分) 1.【严题集6.42③】编写递归算法,计算二叉树中叶子结点的数目。 解:思路:输出叶子结点比较简单,用任何一种遍历递归算法,凡是左右指针均空者,则为叶子,将其打 印出来 法一:核心部分为: DLR( liuyu*root)*中序遍历递归函数 H if(root=NULL) i if((root->lchild=NULL)&&(root-rchild==NULL))(sum++; printf("%d\n", root->data): i DLR(root->lchild) DLR(root->rchild); i return(O) 法二: nt LeafCount BiTree( Bitree T∥求二叉树中叶子结点的数目 f(T) return0,∥空树没有叶子
5 3.【严题集 6.17③】阅读下列算法，若有错，改正之。 4.【严题集 6.21②】画出和下列二叉树相应的森林。 答：注意根右边的子树肯定是森林， 而孩子结点的右子树均为兄弟。 六、算法设计题（前 5 题中任选 2 题，第 6 题必做，每题 8 分，共 24 分） 1.【严题集 6.42③】编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。 解：思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历递归算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其打 印出来。 法一：核心部分为： DLR(liuyu *root) /*中序遍历 递归函数*/ {if(root!=NULL) {if((root->lchild==NULL)&&(root->rchild==NULL)){sum++; printf("%d\n",root->data);} DLR(root->lchild); DLR(root->rchild); } return(0); } 法二： int LeafCount_BiTree(Bitree T)//求二叉树中叶子结点的数目 { if(!T) return 0; //空树没有叶子 BiTree InSucc(BiTree q){ //已知 q 是指向中序线索二叉树上某个结点的指针， //本函数返回指向*q 的后继的指针。 r=q->rchild; //应改为 r=q； if(!r->rtag) while(!r->rtag)r=r->rchild; // 应改为 while(!r->Ltag) r=r->Lchild; return r; //应改为 return r->rchild； }//ISucc 答：这是找结点后继的程序。 共有 3 处错误。 注：当 rtag＝1 时说明内装后继指针，可 直接返回，第一句无错。 当 rtag＝0 时说明内装右孩子指针，但孩 子未必是后继，需要计算。中序遍历应当 先左再根再右，所以应当找左子树直到叶 子处。r=r->lchild; 直到 LTag=1； 应改为：while(!r->Ltag)r=r->Lchild;