《生物统计及试验设计》课程教学资源（教案讲义，第三版）第六章方差分析.doc_P6-P10

80 A1 31.9 27.9 31.8 28.4 35.9 155.9 31.18 A2 24.8 25.7 26.8 27.9 26.2 131.4 26.28 A3 22.1 23.6 27.3 24.9 25.8 123.7 24.74 A4 27.0 30.8 29.0 24.5 28.5 139.8 27.96 合计 x.. =550.8 这是一个单因素试验，处理数 k=4，重复数 n=5。各项平方和及自由度计算如下：矫正数 / 550.8 /(4 5) 15169.03 2 2 C = x.. nk =  = 总平方和 SST =  xijl −C = + + + −C 2 2 2 2 31.9 27.9  28.5 =15368 .7 −15169 .03 =199.67 处理间平方和 15283 .3 15169 .03 114.27 (155.9 131.4 123.7 139.8 ) 5 1 . 1 2 2 2 2 2 = − = = x − C = + + + − C n SS i t 处理内平方和 SSe = SST − SSt =199.67 −114.27 = 85.40 总自由度 dfT = nk −1 = 54 −1 =19 处理间自由度 dft = k −1 = 4 −1 = 3 处理内自由度 dfe = dfT − dft =19 − 3 =16 用 SSt、SSe分别除以 dft 和 dfe便得到处理间均方 MSt 及处理内均方 MSe。 / 85.40 /16 5.34 / 114.27 / 3 38.09 = = = = = = e e e t t t MS SS df MS SS df 因为方差分析中不涉及总均方的数值，所以不必计算之。三、期望均方如前所述，方差分析的一个基本假定是要求各处理观测值总体的方差相等，即 2 2 2 2 2 2 1 ,  = =  = k =  i （i=1,2,…,k）表示第 i 个处理观测值总体的方差。如果所分析的资料满足这个方差同质性的要求，那么各处理的样本方差 S 2 1，S 2 2，…，S 2 k都是σ2 的无偏估计（unbiased estimate）量。 2 i S (i=1,2,…,k)是由试验资料中第 i 个处理的 n 个观测值算得的方差。显然，各 2 i S 的合并方差 2 e S （以各处理内的自由度 n-1 为权的加权平均数）也是σ2 的无偏估计量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均方 MSe就是各 2 i S 的合并。 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 . ( 1) ( 1) ( ) = ⎯ ⎯→ + + + + + + = + + + + + + = − = − − = =   估计 e k k k k i k i ij e e e S df df df df S df S df S df df df SS SS SS k n SS k n x x df SS MS     其中 SSi、dfi（i=1,2,…,k）分别表示由试验资料中第 i 个处理的 n 个观测值算得的平方和与自由度。这就是说，处理内均方 MSe是误差方差σ2 的无偏估计量。试验中各处理所属总体的本质差异体现在处理效应  i 的差异上。我们把

81 /( 1) ( ) /( 1) 2 2 ai k − =   i −  k − 称为效应方差，它也反映了各处理观测值总体平均数  i 的变异程度，记为 2  。 1 2 2 −  = k i a   (6-13) 因为各  i 未知，所以无法求得 2   的确切值，只能通过试验结果中各处理均数的差异去估计。然而， ( ) /( 1) 2  xi. − x.. k − 并非 2   的无偏估计量。这是因为处理观测值的均数间的差异实际上包含了两方面的内容：一是各处理本质上的差异即αi（或μi）间的差异，二是本身的抽样误差。统计学上已经证明， ( ) /( 1) 2  xi. − x.. k − 是 2   +σ 2 /n 的无偏估计量。因而，我们前面所计算的处理间均方 MSt 实际上是 n 2   +σ2 的无偏估计量。因为 MSe 是σ2 的无偏估计量，MSt 是 n 2   +σ2 的无偏估计量，所以σ2 为 MSe 的数学期望（mathematical expectation），n 2   +σ 2 为 MSt 的数学期望。又因为它们是均方的期望值（expected value），故又称期望均方，简记为 EMS（expected mean squares）。当处理效应的方差 2   =0，亦即各处理观测值总体平均数  i （i=1，2，…,k）相等时，处理间均方 MSt 与处理内均方一样，也是误差方差σ2 的估计值，方差分析就是通过 MSt 与 MSe的比较来推断 2   是否为零即  i 是否相等的。四、F 分布与 F 检验（一）F 分布设想我们作这样的抽样试验，即在一正态总体 N（μ，σ 2）中随机抽取样本含量为 n 的样本 k 个，将各样本观测值整理成表 6-1 的形式。此时所谓的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由（6-12）式算出的 2 t S 和 2 e S 都是误差方差 2  的估计量。以 2 e S 为分母， 2 t S 为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比值称为 F 值。即 2 2 / F = St Se （6-14） F 具有两个自由度： 1, ( 1) df1 = dft = k − df2 = dfe = k n − 。若在给定的 k 和 n 的条件下，继续从该总体进行一系列抽样，则可获得一系列的 F 值。这些 F 值所具有的概率分布称为 F 分布（F distribution）。F 分布密度曲线是随自由度 df1、 df2 的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着 df1、df2 的增大逐渐趋于对称，如图 6-1 所示。图 6-1 F 分布密度曲线

F分布的取值范围是(0,+∞),其平均值μF=1 用f(F)表示F分布的概率密度函数,则其分布函数F(Fa为 F(Fa)=P(F<Fa)=f(F)dF 因而F分布右尾从F到+∞的概率为: P(F≥Fa)=1-F(Fa) 附表4列出的是不同4和d下,P(F≥F)=0.05和P(F≥F)=0.01时的F值, 即右尾概率a=0.05和a=0.01时的临界F值,一般记作F00,F0,。如查附表4, 当d=3,d=18时,F d=c=3,d==18在同一正态总体中连续抽样,则所得F值大于3.16的仅为5%,而大于5.09的仅为1% (二)F检验附表4是专门为检验S2代表的总体方差是否比S2代表的总体方差大而设计的。若实际计算的F值大于F04,4),则F值在a=0.05的水平上显著,我们以95% 的可靠性(即冒5%的风险)推断S2代表的总体方差大于S2代表的总体方差。这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为F检验( F-test)。在方差分析中所进行的F检验目的在于推断处理间的差异是否存在,检验某项变异因素的效应方差是否为零。因此,在计算F值时总是以被检验因素的均方作分子,以误差均方作分母。应当注意,分母项的正确选择是由方差分析的模型和各项变异原因的期望均方决定的在单因素试验结果的方差分析中,无效假设为H:μ1=2=…μk,备择假设为H:各 u;不全相等,或H:a2=0,H4:a2≠0;F=MS/MS,也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内(误差)均方。如果结论是肯定的,我们将否定Ho;反之,不否定H。反过来理解:如果H是正确的,那么MS与MSε都是总体误差σ2的估计值,理论上讲F值等于1 如果H是不正确的,那么MS之期望均方中的σ2就不等于零,理论上讲F值就必大于1 但是由于抽样的原因,即使H正确,F值也会出现大于1的情况。所以,只有F值大于1 达到一定程度时,才有理由否定H。实际进行F检验时,是将由试验资料所算得的F值与根据=(大均方,即分子均方的自由度)、d=(小均方,即分母均方的自由度)查附表4所得的临界F值Fs,)” F0,,相比较作出统计推断的。若F<F0,),即P>0.05,不能否定H,统计学上,把这一检验结果表述为:各处理间差异不显著,在F值的右上方标记“n,或不标记符号:若F0)≤F<F0的两), 即0.01<P≤0.05,否定H,接受HA,统计学上,把这一检验结果表述为:各处理间差异显著,在F值的右上方标记“*”;若F≥F04,,即P≤0.01,否定Ho,接受H4,统计学上,把这一检验结果表述为:各处理间差异极显著,在F值的右上方标记“*”。对于【例6.1】,因为F=MSMS=38.09/5.3=7.13”;根据d=MG=3,4E=d=16查附表

82 F 分布的取值范围是（0，+∞），其平均值  F =1。用 f (F) 表示 F 分布的概率密度函数，则其分布函数 ) ( F F 为：  =  =    F F(F ) P(F F ) f (F)dF (6-15) 因而 F 分布右尾从 F 到+∞的概率为：  +  = − =    F P(F F ) 1 F(F ) f (F)dF (6-16) 附表 4 列出的是不同 df1 和 df2 下，P（F≥ F ）=0.05 和 P（F≥ F ）=0.01 时的 F 值，即右尾概率α=0.05 和α=0.01 时的临界 F 值，一般记作 0.05( , ) df1 df2 F ， 0.01( , ) df1 df2 F 。如查附表 4，当 df1=3，df2=18 时，F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09，表示如以 df1=dft=3，df2=dfe=18 在同一正态总体中连续抽样，则所得 F 值大于 3.16 的仅为 5%，而大于 5.09 的仅为 1%。 (二)F 检验附表 4 是专门为检验 2 t S 代表的总体方差是否比 2 e S 代表的总体方差大而设计的。若实际计算的 F 值大于 0.05( , ) df1 df2 F ，则 F 值在α=0.05 的水平上显著，我们以 95% 的可靠性(即冒 5%的风险)推断 2 t S 代表的总体方差大于 2 e S 代表的总体方差。这种用 F 值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为 F 检验(F-test)。在方差分析中所进行的 F 检验目的在于推断处理间的差异是否存在，检验某项变异因素的效应方差是否为零。因此，在计算 F 值时总是以被检验因素的均方作分子，以误差均方作分母。应当注意，分母项的正确选择是由方差分析的模型和各项变异原因的期望均方决定的。在单因素试验结果的方差分析中，无效假设为 H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为 HA：各 μi 不全相等，或 H0 ： 2   =0,HA: 2   ≠0；F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内(误差)均方。如果结论是肯定的，我们将否定 H0；反之，不否定 H0。反过来理解：如果 H0 是正确的，那么 MSt与 MSe都是总体误差σ2 的估计值，理论上讲 F 值等于 1；如果 H0 是不正确的，那么 MSt 之期望均方中的 2   就不等于零，理论上讲 F 值就必大于 1。但是由于抽样的原因，即使 H0 正确，F 值也会出现大于 1 的情况。所以，只有 F 值大于 1 达到一定程度时，才有理由否定 H0。实际进行 F 检验时，是将由试验资料所算得的 F 值与根据 df1=dft(大均方，即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方，即分母均方的自由度)查附表 4 所得的临界 F 值 0.05( , ) df1 df2 F ， 0.01( , ) df1 df2 F 相比较作出统计推断的。若 F＜ 0.05( , ) df1 df2 F ，即 P＞0.05，不能否定 H0，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著，在 F 值的右上方标记“ns”，或不标记符号；若 0.05( , ) df1 df2 F ≤F＜ 0.01( , ) df1 df2 F ，即 0.01＜P≤0.05，否定 H0，接受 HA，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，在 F 值的右上方标记“*”；若 F≥ 0.01( , ) df1 df2 F ，即 P≤0.01，否定 H0，接受 HA，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著，在 F 值的右上方标记“**”。对于【例 6.1】，因为 F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13**；根据 df1=dft=3，df2=dfe=16 查附表

4,得F>Foia,16=5.29,P<0.01,表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著,用不同的饲料饲喂,增重是不同的。在方差分析中,通常将变异来源、平方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表,见表6-3。表6-3表6-2资料方差分析表变异来源平方和自由度均方 F值处理间 114.27 38.09 7.13 处理内 16 5.34 总变异 199.67 19 表中的F值应与相应的被检验因素齐行。因为经F检验差异极显著,故在F值7.13右上方标记“*”。在实际进行方差分析时,只须计算出各项平方和与自由度,各项均方的计算及F值检验可在方差分析表上进行五、多重比较 F值显著或极显著,否定了无效假设,表明试验的总变异主要来源于处理间的变异试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异,但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著,也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异,哪些差异不显著。因而,有必要进行两两处理平均数间的比较,以具体判断两两处理平均数间的差异显著性统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较( multiple comparisons)。多重比较的方法甚多,常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法), 现分别介绍如下 (一-)最小显著差数法(LSD法, least significant difference)此法的基本作法是: 在F检验显著的前提下,先计算出显著水平为a的最小显著差数LSD,然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值际一与其比较。若际一x>LSD时,则与买在a水平上差异显著:反之,则在α水平上差异不显著。最小显著差数由(6-17)式计算。 LSDa=ta(d, Si-i (6-17) 式中:mu,为在F检验中误差自由度下,显著水平为a的临界r值,Sx一,为均数差异标准误,由(6-18)式算得。 2MSe /n (6-18) 其中M为F检验中的误差均方,n为各处理的重复数当显著水平a=0.05和0.01时,从t值表中查出s,和10,代入(6-17)式得: L5D0s=052 (6-19) LSD 0=od)-

83 4，得 F＞F0.01(3，16) =5.29,P＜0.01，表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不同的饲料饲喂，增重是不同的。在方差分析中，通常将变异来源、平方和、自由度、均方和 F 值归纳成一张方差分析表，见表 6-3。表 6-3 表 6-2 资料方差分析表变异来源平方和自由度均方 F 值处理间 114.27 3 38.09 7.13** 处理内 85.40 16 5.34 总变异 199.67 19 表中的 F 值应与相应的被检验因素齐行。因为经 F 检验差异极显著，故在 F 值 7.13 右上方标记“**”。在实际进行方差分析时，只须计算出各项平方和与自由度，各项均方的计算及 F 值检验可在方差分析表上进行。五、多重比较 F 值显著或极显著，否定了无效假设 HO，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons)。多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference) 此法的基本作法是：在 F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数 LSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 i. j. x − x 与其比较。若 i. j. x − x ＞LSDa 时，则 i. x 与 j. x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。最小显著差数由(6-17)式计算。 . . ( ) e i j a a df Sx x LSD t = − (6-17) 式中： ( ) dfe t 为在 F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界 t 值， . . i j Sx −x 为均数差异标准误，由(6-18)式算得。 Sx x MSe n i j 2 / . . − = (6-18) 其中 MSe 为 F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。当显著水平α=0.05 和 0.01 时，从 t 值表中查出 0.05( ) dfe t 和 0.01( ) dfe t ，代入(6-17)式得： . . . . 0.01 0.01( ) 0.05 0.05( ) e i j e i j df x x df x x LSD t S LSD t S − − = = (6-19)

利用LSD法进行多重比较时,可按如下步骤进行 (1)列出平均数的多重比较表,比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列: 2)计算最小显著差数LSD0os和LSD (3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与 LSD、LSDo比较,作出统计推断。对于【例6.1】,各处理的多重比较如表6-4所示。表6-4四种饲料平均增重的多重比较表(LSD法) 平均数 -24.74 26.28 AAAA 3 1.685 24.74 注:表中A与A3的差数3.22用q检验法与新复极差法时,在α=0.05的水平上不显著因为,S5=√2MS/n=√2×534/5=1462;查t值表得:10(m=0=2.120, lo o1(dfe)=la 01(16)=2. 921 所以,显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为 LSD0s=1o04)S-,=2120×1462=3099 LSD01=100d)3元 =2921×1462=4271 将表6-4中的6个差数与 LSD,LSDo比较:小于 LSD者不显著,在差数的右上方标记“ns”,或不标记符号;介于 LSD与LSDo之间者显著,在差数的右上方标记“*”; 大于LSDω者极显著,在差数的右上方标记“*”。检验结果除差数1.68、1.54不显著 3.22显著外,其余两个差数6.44、4.90极显著。表明A饲料对鱼的增重效果极显著高于 A2和A3,显著高于A4:A饲料对鱼的增重效果极显著高于A3饲料;A与A、A2与A3的增重效果差异不显著,以A饲料对鱼的增重效果最佳。关于LSD法的应用有以下几点说明 1、LSD法实质上就是t检验法。它是将t检验中由所求得的t之绝对值 (=(-x,)/S-5)与临界值的比较转为将各对均数差值的绝对值际一与最小显著差数lS-,的比较而作出统计推断的但是,由于LSD法是利用F检验中的误差自由度d 查临界t值,利用误差均方MS计算均数差异标准误S;-ξ,因而LSD法又不同于每次利用两组数据进行多个平均数两两比较的t检验法。它解决了本章开头指出的t检验法检验过程烦琐,无统一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但LSD法并未解决推断的可靠性降低、犯Ⅰ型错误的概率变大的问题。 2、有人提出,与检验任何两个均数间的差异相比较,LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。实际上关于这种形式的比较更适用的方法有顿纳特( Dunnett)法(关于此法,读者可参阅其它有关统计书籍)。 3、因为LSD法实质上是t检验,故有人指出其最适宜的比较形式是:在进行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比每个处理平均数在比较中只

84 利用 LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行： (1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列； (2)计算最小显著差数 LSD0.05 和 LSD0.01 ； (3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与 LSD0.05 、 LSD0.01 比较，作出统计推断。对于【例 6.1】，各处理的多重比较如表 6-4 所示。表 6-4 四种饲料平均增重的多重比较表(LSD 法) 处理平均数 i. x i. x -24.74 i. x -26.28 i. x -27.96 A1 31.18 6.44** 4.90** 3.22* A4 27.96 3.22* 1.68 ns A2 26.28 1.54ns A3 24.74 注：表中 A4与 A3的差数 3.22 用 q 检验法与新复极差法时，在α=0.05 的水平上不显著。因为， 2 / 2 5.34 / 5 1.462 . . Sx −x = MSe n =  = i j ;查 t 值表得：t0.05(dfe) =t0.05(16) =2.120, t0.01(dfe)=t0.01(16)=2.921 所以，显著水平为 0.05 与 0.01 的最小显著差数为 2.921 1.462 4.271 2.120 1.462 3.099 . . . . 0.01 0.01( ) 0.05 0.05( ) = =  = = =  = − − e i j e i j df x x df x x LSD t S LSD t S 将表 6-4 中的 6 个差数与 LSD0.05 ，LSD0.01 比较：小于 LSD0.05 者不显著,在差数的右上方标记“ns”，或不标记符号；介于 LSD0.05 与 LSD0.01 之间者显著，在差数的右上方标记“*”；大于 LSD0.01 者极显著，在差数的右上方标记“**”。检验结果除差数 1.68、1.54 不显著、 3.22 显著外，其余两个差数 6.44、4.90 极显著。表明 A1 饲料对鱼的增重效果极显著高于 A2 和 A3，显著高于 A4；A4 饲料对鱼的增重效果极显著高于 A3 饲料；A4 与 A2、A2 与 A3 的增重效果差异不显著，以 A1 饲料对鱼的增重效果最佳。关于 LSD 法的应用有以下几点说明： 1、 LSD 法实质上就是 t 检验法。它是将 t 检验中由所求得的 t 之绝对值 ( ( ) / ) . . . . i j i j Sx x t x x = − − 与临界 a t 值的比较转为将各对均数差值的绝对值 i. j. x − x 与最小显著差数 i. j. a Sx x t − 的比较而作出统计推断的。但是，由于 LSD 法是利用 F 检验中的误差自由度 dfe 查临界 a t 值，利用误差均方 MSe 计算均数差异标准误 i. j. Sx −x ，因而 LSD 法又不同于每次利用两组数据进行多个平均数两两比较的 t 检验法。它解决了本章开头指出的 t 检验法检验过程烦琐，无统一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但 LSD 法并未解决推断的可靠性降低、犯 I 型错误的概率变大的问题。 2、有人提出，与检验任何两个均数间的差异相比较， LSD 法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。实际上关于这种形式的比较更适用的方法有顿纳特(Dunnett)法(关于此法，读者可参阅其它有关统计书籍)。 3、因为 LSD 法实质上是 t 检验，故有人指出其最适宜的比较形式是：在进行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中只

《生物统计及试验设计》课程教学资源（教案讲义，第三版）第六章 方差分析

《生物统计及试验设计》课程教学资源（教案讲义，第三版）第六章方差分析