结构振动分级控制法

D01:10.13374.isml00103x.2007.2.041 第29卷第12期 北京科技大学学报 Vol.29 No.12 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2007 结构振动分级控制法 杨润林) 闫维明) 周锡元2) 1)北京科技大学士木与环境工程学院.北京1000832)北京工业大学工程抗震与结构诊治重点实验室，北京100022 摘要为有效处理结构参数和激励荷载不确定等因素的影响，基于相平面分析，提出了一种分级控制法.将相平面划分成 若干局部网格区域，使与被控质点运动状态对应的任一轨迹点映射到某一局部网格区域.根据对应的网格区域可判定质点的 运动趋势，然后设计出相应的控制力.通过算例研究了一个底层设有主动拉索系统(ATS)的三层剪切型结构的地震反应控制 问题，验证了建议控制律的有效性.数值结果显示，与无控状况相比，建议算法可以显著减少结构的地震反应，同时其控制性 能也要略优于线性二次型定常状态调节器(LQ)控制. 关键词振动控制：控制算法：分级控制：主动拉索系统：地震激励 分类号TU3521+:032&TU18 目前，已有多种控制算法可以应用于结构 的网格划分方法对系统的控制效果是有影响的.网 振动控制系统但是由于结构建模、材料本构关系和 格划分后可将状态变量和控制变量分成若干个二维 荷载作用的复杂性和参数不确定性，这些算法的控 或一维区间，每个区间可代表一个状态或控制级别， 制效果通常并不理想.而且，传统算法只有在建立 因此属于分级控制法.这种分级控制方法的核心问 起控制系统精确数学模型的前提下，才有可能有效 题是对输入/输出变量进行合理划分并建立相应的 地实施结构控制，这一点通常是很难做到的一19. 控制规则表. 本文在相平面分析的基础上，提出了一种分级 控制法，可避免上述不足.在算例中，经过与线性二 次型定常状态调节器(LQ)算法的控制效果进行 对比分析，以检验其控制性能. 1分级控制法 利用相平面可将结构振动系统一切可能的运动 图1被控质点相平面轨迹示意图 状态都表示在相平面内，比较直观.被控质点每一 Fig.I Sketch of the trajectory line of a controlled mass in the 瞬时的运动状态可以用相平面上的一个轨迹点来表 phase plane 示，质点运动状态的改变对应于轨迹点在相平面上 位置的改变.如果在相平面上用网格进行区域划 假设被控质点相对地面的位移和速度分别为 分，则任一时刻的轨迹点必然坐落于某一局部网格 和，u表示与其对应的广义控制力山.xi、xi 区域之中（图1）.利用网格区域分，并结合结构的 为输入（状态）变量，“为输出（控制）变量.控制变 运动状态可确定相应的控制力. 量的分级值P:取为P={PP>O,随脚标i的增 在相平面内，状态变量的网格划分有两种方法 大而增加}，N={N;N<O,随脚标i的增大而减 可供选择：一是以时距为参数沿二维方向进行等距 小}，O={OO=0}.分别按照一定的方法对状态 或非等距的间接划分：二是分别沿横，纵坐标轴对位 变量和控制变量进行划分，可以建立图2所示的分 移和速度进行等距或非等距的直接划分.与状态变 级控制相平面图.变量正、负取值的不同仅在于区 量的二维网格划分对应，控制变量也可采取一维网 别其方向性，但在考虑相对大小时则按照绝对值的 格均匀或非均匀的划分方法.状态变量和控制变量 大小进行比较而不考虑其正负性的影响. 为便于解释，假设图3中A:(一m≤i≤m)和 收稿日期：200608-30修回日期：2007-03-06 B(一m≤≤m)分别表示状态变量沿对应坐标轴 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.50508003) 划分的分级区间，将控制变量的分级值P:统一表示 作者简介：杨润林(1971一)，男，副教授，博士 为P={u的分级值PlP>0且P:随下标i单调增

结构振动分级控制法 杨润林1) 闫维明2) 周锡元2) 1) 北京科技大学土木与环境工程学院, 北京 100083 2) 北京工业大学工程抗震与结构诊治重点实验室, 北京 100022 摘 要 为有效处理结构参数和激励荷载不确定等因素的影响, 基于相平面分析, 提出了一种分级控制法.将相平面划分成 若干局部网格区域, 使与被控质点运动状态对应的任一轨迹点映射到某一局部网格区域.根据对应的网格区域可判定质点的 运动趋势, 然后设计出相应的控制力.通过算例研究了一个底层设有主动拉索系统( ATS) 的三层剪切型结构的地震反应控制 问题, 验证了建议控制律的有效性.数值结果显示, 与无控状况相比, 建议算法可以显著减少结构的地震反应, 同时其控制性 能也要略优于线性二次型定常状态调节器( LQR) 控制. 关键词 振动控制;控制算法;分级控制;主动拉索系统;地震激励 分类号 TU 352.1 + ;O 328;TU 18 收稿日期:2006-08-30 修回日期:2007-03-06 基金项目:国家自然科学基金资助项目( No .50508003) 作者简介:杨润林( 1971—) , 男, 副教授, 博士 目前, 已有多种控制算法 [ 1-6] 可以应用于结构 振动控制系统, 但是由于结构建模 、材料本构关系和 荷载作用的复杂性和参数不确定性, 这些算法的控 制效果通常并不理想.而且, 传统算法只有在建立 起控制系统精确数学模型的前提下, 才有可能有效 地实施结构控制, 这一点通常是很难做到的 [ 7-10] . 本文在相平面分析的基础上, 提出了一种分级 控制法, 可避免上述不足 .在算例中, 经过与线性二 次型定常状态调节器( LQR) 算法的控制效果进行 对比分析, 以检验其控制性能 . 1 分级控制法 利用相平面可将结构振动系统一切可能的运动 状态都表示在相平面内, 比较直观 .被控质点每一 瞬时的运动状态可以用相平面上的一个轨迹点来表 示, 质点运动状态的改变对应于轨迹点在相平面上 位置的改变 .如果在相平面上用网格进行区域划 分, 则任一时刻的轨迹点必然坐落于某一局部网格 区域之中(图1) .利用网格区域划分, 并结合结构的 运动状态可确定相应的控制力 . 在相平面内, 状态变量的网格划分有两种方法 可供选择:一是以时距为参数沿二维方向进行等距 或非等距的间接划分 ;二是分别沿横、纵坐标轴对位 移和速度进行等距或非等距的直接划分 .与状态变 量的二维网格划分对应, 控制变量也可采取一维网 格均匀或非均匀的划分方法.状态变量和控制变量 的网格划分方法对系统的控制效果是有影响的.网 格划分后可将状态变量和控制变量分成若干个二维 或一维区间, 每个区间可代表一个状态或控制级别, 因此属于分级控制法.这种分级控制方法的核心问 题是对输入/输出变量进行合理划分并建立相应的 控制规则表 . 图1 被控质点相平面轨迹示意图 Fig.1 Sketch of the trajectory line of a controlled mass in the phase plane 假设被控质点相对地面的位移和速度分别为 xi 和 x · i , u 表示与其对应的广义控制力[ 11] .x i 、x · i 为输入( 状态)变量, u 为输出( 控制)变量 .控制变 量的分级值 Pi 取为P ={Pi Pi >0, 随脚标 i 的增 大而增加}, N ={Ni Ni <0, 随脚标 i 的增大而减 小}, O ={O O =0}.分别按照一定的方法对状态 变量和控制变量进行划分, 可以建立图 2 所示的分 级控制相平面图 .变量正 、负取值的不同仅在于区 别其方向性, 但在考虑相对大小时则按照绝对值的 大小进行比较, 而不考虑其正负性的影响 . 为便于解释, 假设图 3 中 Ai ( -m ≤i ≤m) 和 Bj( -m ≤j ≤m )分别表示状态变量沿对应坐标轴 划分的分级区间, 将控制变量的分级值 Pi 统一表示 为 P ={u 的分级值Pi Pi >0 且 Pi 随下标i 单调增 第 29 卷 第 12 期 2007 年 12 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol.29 No.12 Dec.2007 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2007.12.041

第12期 杨润林等：结构振动分级控制法 。1187。 单调递增.水平对中线上相对速度隶属的区间总为 “含零值小区间(B)”而相对位移隶属的区间则是 O--N-E- 变化的，表明被控结构处于极值位置附近，这种情况 ioNN 下控制力由相对位移决定，与其反向，且大小随相对 P.+PPOMN PPO■ 位移单调递增. P P2 o 2数值算例 数值算例中分别对无控(NC)、LQR控制和分 级(ML)控制三种情况进行控制效果对比分析，以评 图2控制力随状态变量的变化 估分级控制法的性能.选取一个多层剪切型结构作 Fig 2 Variation of control force with state variables 为被控对象以安装在底层的主动拉索系统(ATS) 加，0i2m;P:=0,i=0P-=-P,-2m≤ 作为控制装置来抵抗结构所遭受的地震作用，整个 一0，可在图2的基础上首先建立起表1中主、 控制系统如图4所示. 次对角线和铅垂、水平对中线所示的四组关键规则， 然后采用渐进插值的方法确定其余规则， 是。。是经层。。是。黄一 图3状态变量沿对应坐标轴分布示意 Fig.3 Interval division of state variables alongside the cor respond 图4三层剪切型结构的主动拉索控制 ing axes Fig 4 Three-storey shearing structure with ATS 在表1中，四组关键规则可作如下解释：次对角 2.1主动拉索控制 线上相对位移和相对速度同向且数量级相同（下标 对于在外扰激励下施加有控制作用的多自由度 相同)，表明被控质点持续远离平衡位置，控制力应 系统其动力平衡方程通常可以表示为： 随位移和速度二者任一个单调递增，控制性质为抑 Mx(t)+Cx(t)+Kx(t)=Du(t)+Ef(t) 制作用.主对角线上相对位移和相对速度反向且数 (1) 量级相同（下标相反），表明被控质点持续趋于平衡 式中M、C和K分别表示系统的质量矩阵、阻尼矩 位置，这种情况下相对位移和相对速度二者对控制 阵和刚度矩阵，x(t)是相对位移向量，u(t)是控制 作用的影响相互抵消，控制作用力的大小可取为“零 力向量，∫(t)是外激励向量，D和E分别是与控制 (P。)”.铅垂对中线上相对位移隶属的区间总为“含 力，外激励相对应的位置分布矩阵.对于仅在底层 零值小区间(A)”而相对速度隶属的区间则是变化 施加主动拉索控制的情况，这时的控制力向量(t) 的，表明被控结构处于平衡位置附近，这种情况下控 就缩聚为一个标量F(t),代表底层拉索所产生的 制力由相对速度决定，与其反向，且大小随相对速度 水平控制力. 表1分级控制关键规则 2.2分级控制 Table I Key rules of multilevel control 以底层相对地面的位移x1、相对地面的速度 x1为输入变量，以拉索的张力F。为输出变量.如 A-m…A-2A-1A0A山A2 …Aw 前所述，实施分级控制首先需要对输入变量在相平 Po P一 P一2m 面上进行区域网格划分，并对输出变量进行分级，然 … B2 P-2 P-4 后在表1的基础上采取渐进插值的方法建立整个控 Po Po P-1P-2 制规则表.整个系统的控制效果除与状态变量和控 B1 Bo P P1 Po P-1 P-2P-m 制变量的划分方法有一定关联外，主要由控制规则 B-1 P2 P1 Po 表决定. B-2 Pa P Po 算例重点说明所采用的控制规则.为简便起 见，x1和x1均采用均匀区间划分，取值范围可以参 B-m P2m Po 考无控反应的最大值|x1|max和|x1lmas加以确定：

图 2 控制力随状态变量的变化 Fig.2 Variation of control force with state variables 加, 0 <i ≤2m ;Pi =0, i =0 ;P -i =-Pi , -2m ≤ -i <0}, 可在图 2 的基础上首先建立起表 1 中主 、 次对角线和铅垂 、水平对中线所示的四组关键规则, 然后采用渐进插值的方法确定其余规则 . 图 3 状态变量沿对应坐标轴分布示意 Fig.3 Interval division of state variables alongside the correspond￾ing axes 在表 1 中, 四组关键规则可作如下解释:次对角 线上相对位移和相对速度同向且数量级相同( 下标 相同) , 表明被控质点持续远离平衡位置, 控制力应 随位移和速度二者任一个单调递增, 控制性质为抑 制作用.主对角线上相对位移和相对速度反向且数 量级相同(下标相反), 表明被控质点持续趋于平衡 位置, 这种情况下相对位移和相对速度二者对控制 作用的影响相互抵消, 控制作用力的大小可取为“零 ( P0)” .铅垂对中线上相对位移隶属的区间总为“含 零值小区间( A0) ”而相对速度隶属的区间则是变化 的, 表明被控结构处于平衡位置附近, 这种情况下控 制力由相对速度决定, 与其反向, 且大小随相对速度 表 1 分级控制关键规则 Table 1 Key rules of multilevel control u xi A -m … A -2 A -1 A0 A1 A2 … Am B m P 0 P -m P -2m … … … … B 2 P0 P -2 P -4 B 1 P0 P -1 P -2 x · i B 0 P m … P2 P1 P0 P -1 P -2 … P -m B -1 P2 P1 P 0 B -2 P4 P2 P 0 … … … … B -m P2m Pm P 0 单调递增.水平对中线上相对速度隶属的区间总为 “含零值小区间( B 0) ”而相对位移隶属的区间则是 变化的, 表明被控结构处于极值位置附近, 这种情况 下控制力由相对位移决定, 与其反向, 且大小随相对 位移单调递增. 2 数值算例 数值算例中分别对无控( NC) 、LQ R 控制和分 级( M L) 控制三种情况进行控制效果对比分析, 以评 估分级控制法的性能.选取一个多层剪切型结构作 为被控对象, 以安装在底层的主动拉索系统( ATS) 作为控制装置来抵抗结构所遭受的地震作用, 整个 控制系统如图 4 所示. 图 4 三层剪切型结构的主动拉索控制 Fig.4 Three-storey shearing structure with ATS 2.1 主动拉索控制 对于在外扰激励下施加有控制作用的多自由度 系统, 其动力平衡方程通常可以表示为: M x ·· ( t) +C x · ( t) +Kx( t) =Du( t) +Ef e( t) ( 1) 式中 M 、C 和 K 分别表示系统的质量矩阵、阻尼矩 阵和刚度矩阵, x( t )是相对位移向量, u( t )是控制 力向量, f e( t)是外激励向量, D 和 E 分别是与控制 力 、外激励相对应的位置分布矩阵.对于仅在底层 施加主动拉索控制的情况, 这时的控制力向量 u( t) 就缩聚为一个标量 F c ( t ), 代表底层拉索所产生的 水平控制力 . 2.2 分级控制 以底层相对地面的位移 x 1 、相对地面的速度 x · 1 为输入变量, 以拉索的张力 Fc 为输出变量 .如 前所述, 实施分级控制首先需要对输入变量在相平 面上进行区域网格划分, 并对输出变量进行分级, 然 后在表 1 的基础上采取渐进插值的方法建立整个控 制规则表.整个系统的控制效果除与状态变量和控 制变量的划分方法有一定关联外, 主要由控制规则 表决定 . 算例重点说明所采用的控制规则.为简便起 见, x 1 和 x · 1 均采用均匀区间划分, 取值范围可以参 考无控反应的最大值 x 1 max 和 x · 1 max加以确定; 第 12 期 杨润林等 :结构振动分级控制法 · 1187 ·

。1188 北京科技大学学报 第29卷 F。从物理意义上并不存在取负值的情况但若用正 程中，控制力强弱与相对速度衰减的趋势是一致的， 负号区别其方向性，也可将其以零点为对称点采取 方向与之相反：极值过程中，控制力强弱与相对位移 均匀分级.对于控制系统，可建立起表2所示的规 衰减的趋势是一致的，方向与之相反；复位过程中， 则表.在表2中可以看到：离位过程中，控制力强弱 控制力的强弱沿主对角线反对称分布，抑制作用和 沿次对角线对称分布，控制力均为抑制作用：平衡过 强化作用同时存在. 表2控制规则表 Table 2 Control rule table A-1 A-1 A… 4…m-4m P Pi- P- …P-w-…P-2m+1P-2m P-十1 P -+1P-m1…卫-2m+2P-2m+1 …P-m十1P-十1 B_ P-+什P-m十 B-m+1P2m-122-2… Pm十 Pm十-1 P P-1 Pa-2 P-1-1 Pm-1… Po P-1 B一 mP2-1…P十/ P十 P-1 P-I Pm-…P1 2.3LQR控制 入地震波，幅值分别调整为1/4和/2，动力反应限 式1)改写为状态方程后，采用在无穷时间内进 制在弹性范围之内. 行积分的积分型性能指标 表3算例结构的参数 J=[((rQa()+(urR1d业 Table 3 Parameters of the example building 参数 数值 (2) 9810 0 式中z(t)=[x(t),x(t小，对n自由度系统它是 质量矩阵， 0981 2n维由位移和速度组成的状态向量；Q和R分别 M/kg 0 0 0981 是半正定和正定的权矩阵，用来衡量状态向量和控 「27417 -1.641603691 制作用的相对重要性.然后，即可确定如下形式的 刚度矩阵 -1.64163.0222 -1.6248 ×106 最优反馈控制作用： /(N"m-) 03691 -1.6248 1.3336」 u(t)=-RB Pz(t)=-Gz(t)(3) 阻尼矩阵， 3828-57.361.71 式中P是满足矩阵Riccati方程一PA一AP十 -57.34569-2.6 PBRBT P-Q=0的代数解. C(N's'm) 61.7 -26437.5 2.4数值计算 选用算例1四的结构参数见表3，计算过程中采 本算例中，分级控制的参数m取为5.LQR算 用调幅的El-Centro(1940.5.18,S00E)和Taft 法中权矩阵Q和R的选取原则是使LQR控制的峰 (1952.7.21,S69E)两条水平地面运动记录作为输 值控制力与分级控制的峰值力相等，以便于控制效

Fc 从物理意义上并不存在取负值的情况, 但若用正 负号区别其方向性, 也可将其以零点为对称点采取 均匀分级.对于控制系统, 可建立起表 2 所示的规 则表.在表 2 中可以看到:离位过程中, 控制力强弱 沿次对角线对称分布, 控制力均为抑制作用;平衡过 程中, 控制力强弱与相对速度衰减的趋势是一致的, 方向与之相反;极值过程中, 控制力强弱与相对位移 衰减的趋势是一致的, 方向与之相反 ;复位过程中, 控制力的强弱沿主对角线反对称分布, 抑制作用和 强化作用同时存在 . 表 2 控制规则表 Table 2 Control rule table F c xi A -m A -m +1 … A -j … A -i … A -1 A0 A1 … Ai … Aj … Am -1 Am Bm P 0 P -1 … Pj -m … Pi -m … P -m +1 P -m P -m -1 … P -m -i … P -m -j … P -2m +1 P -2m Bm -1 P 1 P 0 … Pj -m +1 … Pi -m +1 … P -m +2 P -m +1 P -m … P -m -i +1 … P -m -j +1 … P -2m +2 P -2m +1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … Bj Pm -j Pm -j -1 … P 0 … Pi -j … P -j +1 P -j P -j -1 … P -j -i … P -2j … P -m -j +1 P -m -j … … … … … … … … … … … … … … … … … Bi Pm -i Pm -i -1 … Pj -i … P 0 … P -i +1 P -i P -i -1 … P -2i … P -j -i … P -m -i +1 P -m -i … … … … … … … … … … … … … … … … … … B1 P m -1 Pm -2 … Pj -1 … Pi -1 … P 0 P -1 P -2 … P -i -1 … P -j -1 … P -m P -m -1 x · i B0 P m Pm -1 … Pj … Pi … P 1 P 0 P -1 … P -i … P -j … P -m +1 P -m B -1 P m +1 P m … Pj +1 … Pi +1 … P 2 P 1 P 0 … P -i +1 … P -j +1 … P -m +2 P -m +1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … B -i Pm +i Pm +i -1 … Pj +i … P2 i … Pi +1 Pi Pi -1 … P 0 … P -j +i … P -m +i +1 P -m +i … … … … … … … … … … … … … … … … … … B -j Pm +j Pm +j -1 … P2 j … Pi +j … Pj +1 Pj Pj -1 … Pj -i … P 0 … P -m +j +1 P -m +j … … … … … … … … … … … … … … … … … … B -m +1 P2m -1 P2 m -2 … Pm +j -1 … Pm +i -1 … P m Pm -1 Pm -2 … Pm -i -1 … Pm -j -1 … P 0 P -1 B -m P2m P2 m -1 … Pm +j … Pm +i … P m +1 P m Pm -1 … Pm -i … Pm -j … P 1 P 0 2.3 LQR控制 式( 1)改写为状态方程后, 采用在无穷时间内进 行积分的积分型性能指标 J = 1 2∫ ∞ 0 [ ( z( t)) T Qz( t) +( u( t )) T Ru( t)] dt ( 2) 式中 z( t) =[ x( t) , x · ( t)] T , 对 n 自由度系统它是 2n 维由位移和速度组成的状态向量;Q 和 R 分别 是半正定和正定的权矩阵, 用来衡量状态向量和控 制作用的相对重要性.然后, 即可确定如下形式的 最优反馈控制作用: u( t) =-R -1B T Pz( t) =-Gz( t) ( 3) 式中 P 是满足矩阵 Riccati 方程 -PA -A T P + PBR -1B T P -Q =0 的代数解. 2.4 数值计算 选用算例[ 12] 的结构参数见表 3, 计算过程中采 用调 幅的 El- Centro ( 1940.5.18, S00E ) 和 Taft ( 1952 .7 .21, S69E) 两条水平地面运动记录作为输 入地震波, 幅值分别调整为 1/4 和 1/2, 动力反应限 制在弹性范围之内 . 表 3 算例结构的参数 Table 3 Parameters of the example building 参数 数值 质量矩阵, M/ kg 981 0 0 0 981 0 0 0 981 刚度矩阵, K/ ( N·m -1 ) 2.741 7 -1.641 6 0.369 1 -1.641 6 3.022 2 -1.624 8 0.369 1 -1.624 8 1.333 6 ×10 6 阻尼矩阵, C/ ( N·s·m -1 ) 382.8 -5·7.3 61.7 -57.3 456.9 -2.6 61.7 -2.6 437.5 本算例中, 分级控制的参数 m 取为 5 .LQ R 算 法中权矩阵 Q 和R 的选取原则是使 LQR 控制的峰 值控制力与分级控制的峰值力相等, 以便于控制效 · 1188 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第12期 杨润林等：结构振动分级控制法 。1189。 果对比.本例中权矩阵Q取为6阶单位矩阵，而权 振动减少百分率.相对于无控，同样地采取控制以 矩阵R则退化为一个标量，其取值分别为： 后结构的峰值反应和均方根值反应均有明显减小. R1=1.03×108(调幅El-Centro输入)(4) 在控制力峰值保持相等的情况下，除个别项以外，分 R2=1.25X108(调幅Taft输入) 级控制的减振效果要略优于LQR控制.图5和图6 (5) 分别给出了在调幅E上Centro和Taft地震波输入下 表4和表5分别给出了调幅El-Centro和Taft 结构的动力反应时程曲线和控制力时程曲线.从整 地震波作为输入激励时结构顶层的动力反应以及所 个时间历程也可发现分级控制相较LQR控制进 需的控制力，括号内的数值表示相对于无控状况的 步改善了控制的品质 表4结构顶层反应(V4El-Centro) Table 4 Top-floor responses of the example building 1/4 El-Centro) 相对位移/m 绝对加速度/(m“s2) 控制力/kN 控制方式 峰值 均方根 峰值 均方根 峰值 均方根 无控 00132 00025 23700 0.4868 LOR 00077(41.7%) 00014440%) 1.8467(221%) 0.2987(386%) 1.19 019 ML 00071(462%) 00014440%) 17663(25.5%) 0.3222(338%) 1.19 025 表5结构顶层反应(V2Taf0 Table 5 Top-floor responses of the example building(1/2 Taft) 相对位移/m 绝对加速度/(m‘s2) 控制力/kN 控制方式 峰值 均方根 峰值 均方根 峰值 均方根 无控 0.0188 00030 3.5461 05991 LQR 00104(447%) 0002420.0%) 20178(43.1%) 05058(15.6%) 1.37 031 ML 00099(47.3%) 00017(43.3%) 21082(40.5%) 03849(35.8%) 1.37 028 0.02 15 (a) (b) (c) 0.01 N 0.5 -0.01 0.02 时间s 时间s 时间s ML 图5结构顶层反应和控制力时程（比例EI-Centro输入） Fig.5 Time histories of the top floor responses of the structure and the control force under the scaled EI-Centro earthquake 0.02 5 0.0 0.5 0.5 0.01 -10 -1.5 0.02 -2.0 6 时间s 时间s 时间s NC -LOR …Ml 图6结构顶层反应和控制力时程（比例Taft输入） Fig 6 Time histories of the top-floor responses of the structure and the control force under the scaled Taft earthquake

果对比 .本例中权矩阵 Q 取为 6 阶单位矩阵, 而权 矩阵 R 则退化为一个标量, 其取值分别为 : R 1 =1.03 ×10 -8 ( 调幅 El-Centro 输入) ( 4) R 2 =1.25 ×10 -8 (调幅 Taft 输入) ( 5) 表 4 和表 5 分别给出了调幅 El-Centro 和 Taft 地震波作为输入激励时结构顶层的动力反应以及所 需的控制力, 括号内的数值表示相对于无控状况的 振动减少百分率 .相对于无控, 同样地采取控制以 后结构的峰值反应和均方根值反应均有明显减小. 在控制力峰值保持相等的情况下, 除个别项以外, 分 级控制的减振效果要略优于 LQR 控制.图5 和图6 分别给出了在调幅 El-Centro 和 Taft 地震波输入下 结构的动力反应时程曲线和控制力时程曲线.从整 个时间历程也可发现, 分级控制相较 LQ R 控制进 一步改善了控制的品质 . 表 4 结构顶层反应( 1/ 4 El -Centro) Table 4 Top-floor responses of the example building( 1/ 4 El-Centro) 控制方式 相对位移/ m 绝对加速度/ (m·s -2 ) 控制力/ kN 峰值 均方根 峰值 均方根 峰值 均方根 无控 0.013 2 0.002 5 2.370 0 0.486 8 — — LQ R 0.007 7( 41.7%) 0.001 4( 44.0%) 1.846 7( 22.1%) 0.298 7( 38.6%) 1.19 0.19 M L 0.007 1( 46.2%) 0.001 4( 44.0%) 1.766 3( 25.5%) 0.322 2( 33.8%) 1.19 0.25 表5 结构顶层反应( 1/ 2 Taft) Tabl e 5 Top-floor responses of the exampl e building( 1/ 2 Taft) 控制方式 相对位移/ m 绝对加速度/ ( m·s -2 ) 控制力/kN 峰值 均方根 峰值 均方根 峰值 均方根 无控 0.018 8 0.003 0 3.546 1 0.599 1 — — LQR 0.010 4 ( 44.7%) 0.002 4( 20.0%) 2.017 8( 43.1%) 0.505 8( 15.6%) 1.37 0.31 ML 0.009 9( 47.3%) 0.001 7( 43.3%) 2.108 2( 40.5%) 0.384 9( 35.8%) 1.37 0.28 图 5 结构顶层反应和控制力时程( 比例 EI -Centro 输入) Fig.5 Time histories of the top-floor responses of the structure and the control force under the scaled EI -Centro earthquake 图 6 结构顶层反应和控制力时程( 比例 Taft 输入) Fig.6 Time histories of the top-floor responses of the structure and the control force under the scaled Taft earthquake 第 12 期 杨润林等 :结构振动分级控制法 · 1189 ·

。1190。 北京科技大学学报 第29卷 ings using active variable stiffress systems Eng Struct,1996.18 3 结论 (8):589 本文提出了一种结构振动分级控制法.数值算 [6 Setareh M.Appl cation of semi-active tuned mass dampers to base-excited systems.Earthquke Eng Struct Dyn.2001,30 例以主动拉索控制系统为例，将算例结构分别采用 (3):449 分级控制与LQR控制的动力反应进行了对比，除 7 Yang R L Zhou X Y,Liu X H.Seismic structural control using 个别指标以外，从整体上来说采用分级控制的效果 semi-active tuned mass dampers.Earthquake Eng Eng Vb. 要略优于LQR控制，验证了它的可行性和有效性. 2002,1(1):111 【网杨润林，闫维明，周锡元。半主动U型液力阻尼器的结构振动 参考文献 控制.应用力学学报，2003,20(4)：108 【[习杨润林.结构模糊振动控制的研究学位论文·北京：中国建 [1]Housrer G W,Bergman L A,Caughey T K,et al.Stnuctural 筑科学研究院.2002：53 control:past,present and future.J Eng Mech.1997,133(9): 【10杨淘林，闫维明，周锡元，等.结构离复位控制的可行性研 897 [2]Soong TT.Active Structural Controk Theory and Practice.New 究.振动工程学报.2005,18(4：512 11]Yang R L.Tong M,Zhou X Y,et al.An off-and-tow andsequi- York:Longm an Scientific Technical,1990:11 ib rium stmategy for vib rational control of structures.Earthquake 【3)顾仲权，马扣根，陈卫东。振动主动控制.北京：国防工业出版 EngEng Vib.2006.5(2):195 社，1997：67 12]Chung LL.Lin R C,Soong TT,et al.Experimental study of [4]KoboriT,Takahashi M,Nasu T,et al.Seismic response con- active contmol for MDOF seismic structures.J Eng Mech,1989, trolled stnuctures w ith active variable stiffness system.Earth- 115(8):1609. quake Eng Struct Dyn,1993.22(9):925 [5]Yang J N.WuJ C.LiZ,et al.Contml of seismic-excited build- Multilevel control method for vibration control of structures YANG Runlin,YAN Weiming2,ZHOU Xiyuan2 1)Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Techmlogy Beijng,Beijing 100083.Chim 2)Key Laboratory of Earthquake Engineering and Structural Retrofit,Beijing Uriversity of Technobgy.Beijing 100022,China ABSTRACT To deal efficiently with im precise and uncertain data associated with structural parameters and exciting loads,a multilevel control method w as presented for vibration control of structures based on phase plane analy sis.The phase plane was divided into many local grid regions,and the trajectory point corresponding to any instantaneous motion state of the controlled mass could be mapped to a grid region.The control force was ob- tained by distinguishing the motion trend of the controlled mass.Effectiveness of the proposed algorithm was demonstrated through a numerical ex ample w hich considered a three-storey structure controlled w ith the active tendon system(ATS)installed in the first storey.Numerical results show that the proposed algorithm results in significant decrease in the seismic response of the structure when compared to the uncontrolled case,and the con- trol performance of the algorithm is also superior to that of the linear quadratic regulator(LQ R)algorithm. KEY WORDS vibration control;control algorithm;multilevel control;active tendon system;seismic excita- tions

3 结论 本文提出了一种结构振动分级控制法 .数值算 例以主动拉索控制系统为例, 将算例结构分别采用 分级控制与 LQR 控制的动力反应进行了对比, 除 个别指标以外, 从整体上来说采用分级控制的效果 要略优于 LQR 控制, 验证了它的可行性和有效性. 参 考 文 献 [ 1] Housner G W, Bergman L A, Caughey T K, et al.S tructural control:past, presen t and futu re .J Eng Mech, 1997, 123 ( 9) : 897 [ 2] Soong T T .Active S tructural Control:Theory and Practi ce.New York:Longm an S cientific &Technical, 1990:11 [ 3] 顾仲权, 马扣根, 陈卫东.振动主动控制.北京:国防工业出版 社, 1997:67 [ 4] Kobori T , Takahashi M, Nasu T, et al.Seismi c response con￾trolled structures w ith active variable stiffness syst em .Earth￾quake Eng Struct Dyn, 1993, 22( 9) :925 [ 5] Yang J N, Wu J C, Li Z, et al.Control of seismic-excit ed build￾ings using active variable stiffness system s.Eng Struct, 1996, 18 ( 8) :589 [ 6] Set areh M .Appli cation of semi-active tuned mass dampers t o base-excit ed syst ems.Earthquake Eng Struct Dyn, 2001, 30 ( 3) :449 [ 7] Yang R L, Zhou X Y, Liu X H .Seismic structural control using semi-active tuned mass dampers.Earthquake Eng Eng Vib, 2002, 1( 1) :111 [ 8] 杨润林, 闫维明, 周锡元.半主动 U 型液力阻尼器的结构振动 控制.应用力学学报, 2003, 20( 4) :108 [ 9] 杨润林.结构模糊振动控制的研究[ 学位论文] .北京:中国建 筑科学研究院, 2002:53 [ 10] 杨润林, 闫维明, 周锡元, 等.结构离复位控制的可行性研 究.振动工程学报, 2005, 18( 4) :512 [ 11] Yang R L, Tong M , Zhou X Y, et al.An off-and-t ow ards-equi￾lib rium strategy f or vib rational control of structures.Earthquake Eng Eng Vib, 2006, 5( 2) :195 [ 12] Chung L L, Lin R C, Soong T T, et al.Experimental study of active control f or MDOF seismic structures.J Eng Mech, 1989, 115( 8) :1609. Multilevel control method for vibration control of structures Y ANG R unlin 1) , Y AN Weiming 2) , ZHOU X iyuan 2) 1) Civil and Environment al Engineering S chool, Uni versit y of Science and Tech nology Beijing, Beijing 100083, C hina 2) Key Laboratory of Earthquake Engineering and Structural Retrofit, Beijing Uni versit y of Technology, Beijing 100022, China ABSTRACT To deal efficiently with imprecise and uncertain data associated w ith structural parameters and exciting loads, a multilevel control method w as presented for vibration control of structures based on phase plane analy sis .The phase plane w as divided into many local g rid regions, and the trajectory point corresponding to any instantaneous motion state of the controlled mass could be mapped to a grid region .The control force was ob￾tained by distinguishing the motion trend of the controlled mass .Effectiveness of the proposed algorithm was demonstrated through a numerical ex ample w hich considered a three-storey structure controlled w ith the active tendon system ( ATS) installed in the first sto rey .Numerical results show that the proposed algorithm resultsin significant decrease in the seismic response of the structure w hen compared to the uncontrolled case, and the con￾trol performance of the algo rithm is also superior to that of the linear quadratic regulator ( LQ R) algorithm . KEY WORDS vibration control ;control algorithm ;multilevel control ;active tendon sy stem ;seismic ex cita￾tions · 1190 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷