2.2输入输出描述法 数学模型的分类: 输入输出模型 时域模型 复、频域模型 (微分或差分方程) 传递函数频率特性结构图信号流图 第5章讲
11 2.2 输入输出描述法 数学模型的分类: 时域模型 （微分方程模型） 传递函数 频率特性 结构图 信号流图 复、频域模型 输入输出模型 时域模型 （微分或差分方程） 第5章讲
1.传递函数的定义 注意 在零初始条件下,线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比,G(s}=Y(s)U(s)。 对于n阶线性定常系统, u(t) y(t) 系统 y(t m"+…+a.如1t dy(t) +aoy(t) d u(t) +…+b du(t) +bu(t) U(S) Y(s) dt dt 设初始条件为零,经拉氏变换后结构图 s"Y()+an-S"Y(s)+.+asY(s)+aoY(s) bms"U(s)+.+bsU(s)+bU(S 12
12 1. 传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比, G(s)=Y(s)/U(s)。 对于n阶线性定常系统， b u( t ) dt du( t ) b dt d u( t ) b a y( t ) dt dy( t ) a dt d y(t ) a dt d y( t ) m 1 0 m m n 1 1 0 n 1 n n 1 n = + + + + + + + − − − 设初始条件为零，经拉氏变换后 注意 系统 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) 结构图 b s U(s) b sU(s) b U(s) s Y(s) a s Y(s) a sY(s) a Y(s) 1 0 m m 1 0 n 1 n 1 n = + + + + + + + − −
n阶线性定常系统的输入输出传递函数为 G(s) ⑧bn"+bm-/S″+…+bS+b/系统增 U(s S"十a,1S十…a1S+a 益 根轨迹增益之 bn(S-x1)(s-2)…(S-xm KgI(s-z; ) KI(B, s+1) -P16-p2)-P)Ⅱ(-n)∏(rs+1) 2小P1分别为传递函数的(零极点表「时间常数 零点和极点(2却p;) 达形式 表达形式
13 ∴ n阶线性定常系统的输入输出传递函数为 = = = = − − − − + + = − − = − − − − − − = + + + + + + + + = = n i 1 i m i 1 i n i 1 i m i 1 g i 1 2 n m 1 2 m 1 0 n 1 n 1 n 1 0 m 1 m 1 m m (T s 1 ) K ( s 1 ) (s p ) K (s z ) (s p )(s p ) (s p ) b (s z )(s z ) (s z ) s a s a s a b s b s b s b U(s) Y(s) G(s) 根轨迹增益 系统增 益 zi、pi 分别为传递函数的 零点和极点（zi≠pi） 零极点表 达形式 时间常数 表达形式
注1:为何传递函数只能用于线性定常系统? 因为传递函数定义为输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比,所以要得到传递函数,就需要分别 把输入和输出变量的拉氏变换从微分方程的每一项 中提出来,而时变或非线性系统做不到这一点。 针对时间函数f(t)的拉氏变换为[f(t)e"dt 对于线性定常系统,f(t)=a dy(t h多F(s)=asyY() 而当f(t)=ty(t),y2(t),y(t)a(t)时, 显然无法得到Y(s)或U(s)
14 注1：为何传递函数只能用于线性定常系统？ 因为传递函数定义为输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比，所以要得到传递函数，就需要分别 把输入和输出变量的拉氏变换从微分方程的每一项 中提出来，而时变或非线性系统做不到这一点。 显然无法得到 或 。 而 当 时 ， Y(s) U(s) f (t ) t y(t ), y (t ), y(t )u(t ) 2 = F( s ) as Y( s ) dt d y(t ) f (t ) a f (t ) f (t )e dt n n n st = = − 对于线性定常系统， 针对时间函数 的拉氏变换为 0
注2:为何定义传递函数时要求系统满足 零初始条件? 例:1t +y(t)=u(t) dt 若y(0)≠0则有 sY(s)-y(0)+Y(s)=U(s) 无法直接得到传递函数,只能将输出表达为 Y(s) U(s)+-y(0) s+1 S+1
15 注2：为何定义传递函数时要求系统满足 零初始条件？ y(t ) u(t ) dt dy(t ) 例： + = sY(s) y( ) Y(s) U(s) y( ) − + = 0 若 0 0 则 有 无法直接得到传递函数，只能将输出表达为： y( ) s U(s) s Y(s) 0 1 1 1 1 + + + =