复合 Poisson分布的数学期望为En=λ·E51,方差为am(n)=·E512,矩母函数为 M()=e(,其中f()为5的矩母函数(其证明则需要用后面2.4段的wad等 对数正态分布](即h~N(A,a2)分布密度为p(x)= 数学期望。“+2 方差为 e Cauchy分布]分布密度为p(x)= (x-y)2+ 数学期望不存在,特征函数为(1)=e 典型的多维分布 x-H)2-(x-H d维正态分布N(,∑)]分布密度为p(x) 其中∑={n)为对称正定矩阵 矩母函数为M()=e2,特征函数为(λ)=e2 多维Beta分布( Dirichlet(a12…,ak)分布) 分布密度为p(x)= I(a1)…T(a)a,1+-+x-1xx(x,…x) r(a1+…+∝4) d维对数正态分布(h5的分布,其中5~N(H,∑)] 分布密度为p(x) -(Inx-u'E(nx-u) (2x)2|Σ|2x1…x4 Q)为对称正定矩阵,hx=(nx,…,nx),相关系数为 [d维 Gauss分布]它是d维正态分布的推广,包含d维正态分布与“退化的d-维正态分 布”两类,后者没有密度且不易写出它的分布函数,因此对这种随机向量ξ的分布用它的特 征函数描述更为方便,它的特征函数在形式上与正态分布的特征函数是一样的,仍为 q()=e 所不同的是:这里的∑为对称非负定矩阵,即可以退化(由于这
11 复合 Poisson 分布的数学期望为 x1 Eh = l× E , 方差为 2 1 Var(h) = l × Ex , 矩母函数为 ( ( ) 1) ( ) - = f z M z e l , 其中 f (z) 为x1的矩母函数 (其证明则需要用后面 2. 4 段的 Wald 等 式). [对数正态分布] (即 ln ~ ( , ) 2 x N m s )] 分布密度为 2 2 2 (log ) 2 1 ( ) s m ps - - = x e x p x ， 数学期望 2 2 1 m+ s e ， 方差为 ( 1) 2 2 2 - m +s s e e . [Cauchy 分布] 分布密度为 [( ) ] ( ) 2 2 x c c p x - + = p g , 数学期望不存在， 特征函数为 | | ( ) i t c t t e - = g j ． 典型的多维分布 [d-维正态分布 N(m,S) ] 分布密度为 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 (2 ) | | 1 ( ) m m p - - S - - S = x x d T p x e ， 其中 ( ) i j d ij £ S = , s 为对称正定矩阵. 矩母函数为 z z z T T M z e m + S = 2 1 ( ) , 特征函数为 m l+ l Sl j l = T T e 2 1 ( ) . [多维 Beta 分布 ( Dirichlet ( , , ) a1 L ak 分布 ) ] 分布密度为 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) { 1, , , 0} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k x x x x k k k p x x x I x x k k L k L L L +L+ = L ³ - - G + + G G = a a a a a a ． [d-维对数正态分布（ln x 的分布，其中x ~ N(m,S) ）] 分布密度为 (ln ) (ln ) 2 1 1 2 1 2 1 (2 ) | | 1 ( ) m m p - - S - - S × × × = x x d d T e x x p x ， ( ) i j d ij £ S = , s 为对称正定矩阵 ， T d ln x (ln x ,...,ln x ) = 1 ， 相关系数为 ( 1)( 1) 1 - - - = jj ii ij e e e ij s s s r . [d-维 Gauss 分布] 它是 d-维正态分布的推广，包含 d-维正态分布与“退化的 d-维正态分 布”两类，后者没有密度且不易写出它的分布函数，因此对这种随机向量x 的分布用它的特 征函数描述更为方便，它的特征函数在形式上与正态分布的特征函数是一样的， 仍为 m l+ l Sl j l = T T e 2 1 ( ) ， 所不同的是： 这里的 S 为对称非负定矩阵，即可以退化 (由于这
里的0()是d维正态分布特征函数p()=c"的极限,而第1.6段用特征函 数表示依分布收敛的结论正说明了它确是特征函数).此时随机向量可以只分布在较低维的 空间上,甚至可以为常数),这个分布仍记为N(∑) 1由 Gauss分布的定义可以看出 5~N(2)→4+b~N(4μ+b,A∑4) 注2随机向量ξ遵从 Gauss分布等价于:对于任意d维的向量a,aξ都遵从 Gauss分布(即一维正态分布或常数) Gauss分布有一个重要的特性,就是关于依分布收敛的封闭性,即:若 (un,an),且 使un 且~N(A,a2) (这一性质的证明需要用一点复变函数论知识,在此略去) [多维指数族分布]若二维随向量(5,n)满足 P(2>t,n>s)=exp{-λ1-2s-3(vs)} 则称为服从二维 Poisson分布, d+1 d维achy分布]分布密度为p(x)=r( [r( 特征函数为qp(1) 1.8次序随机变量的分布 设1=51(o),…,5n=n()为独立同分布的随机变量,且具有分布密度P(x).当o固 定时(即取定一个基本事件O时)1(o),…,5n()按次序重新排列记为 称为次序统计量.那么(51…,5)的联合分布密度为 8(x1,…,xn)=川p(x1)…p(xn), nlp(x1)…p(xn),x1 g(x1,…,xn)= 其他情形 2条件概率,条件分布,条件(数学)期望 2.1条件概率
12 里的j(l) 是 d-维正态分布特征函数 D m l+ l S+ l j = ) 1 ( 2 1 ( ) I n n T T z e 的极限，而第 1. ６段用特征函 数表示依分布收敛的结论正说明了它确是特征函数)．此时随机向量可以只分布在较低维的 空间上, 甚至可以为常数), 这个分布仍记为 N(m,S) ． 注１ 由 Gauss 分布的定义可以看出: ~ ( , ) ~ ( , ) T x N m S Þ Ax + b N Am + b ASA . 注２ 随机向量x 遵从 Gauss 分布等价于: 对于任意 d 维的向量 x T a , a 都遵从 Gauss 分布（即一维正态分布或常数）. Gauss 分布有一个重要的特性, 就是关于依分布收敛的封闭性 , 即 : 若 x m s x ¾®x d n N n n 且 n ~ ( , ), 2 , 则 , , , , ~ ( , ) 2 2 2 2 $m s 使mn ® m sn ® s 且x N m s . (这一性质的证明需要用一点复变函数论知识, 在此略去). [多维指数族分布] 若二维随向量(x,h) 满足: ( , ) exp{ ( )} 1 2 3 P x > t h > s = -l t - l s - l t Ú s ， 则称为服从二维 Poisson 分布． [ d 维 Cauchy 分布] 分布密度为 2 1 2 2 [ (| | )] ) 2 1 ( ) ( + - + + = G d x c d c p x p g , 特征函数为 | | ( ) i t c t T t e - = g j ． 1. 8 次序随机变量的分布 设 ( ), , ( ) x1 = x1 w L x n = xn w 为独立同分布的随机变量， 且具有分布密度 p( x) ． 当w固 定时（即取定一个基本事件w时） ( ), , ( ) x1 w L xn w 按次序重新排列记为 ( ) ( ) * * x1 w £ L £ x n w ， 称为次序统计量．那么( , , ) * * 1 n x L x 的联合分布密度为 n n x x n g x x n p x p x I L = L 1`<L< ( , , ) ! ( ) ( ) 1 1 ， 即 î í ì < < = 0 . ! ( ) ( ), , ( , , ) 1 1 1 其他情形 n n n n p x p x x x g x x L L L ． 2 条件概率，条件分布，条件(数学)期望. 2. 1 条件概率