D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.06.03 第29卷第6期 北京科技大学学报 Vol.29 No.6 2007年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2007 多层多维事元可拓集及其运算 曹少中12)刘贺平2) 涂序彦) 1)北京印刷学院信息与机电工程学院，北京1026002)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要为了建立复杂系统的事元可拓模型，针对现实世界中具有多层结构、每个子层次结构又具有多个特征的复杂系统中 各子系统的相互作用问题，从可拓学原理出发，在维事元可拓集概念的基础上，提出了多层多维事元可拓集及其正域、负 域、拓界的概念·给出了多层多维事元可拓集的正可拓域、负可拓域、正稳定域、负稳定域的定义·研究了多层多维事元可拓 集的交运算等，讨论了有关性质，并对性质进行了严格证明，得到了多层多维事元可拓集交的可拓域、稳定域的表达式 关键词多层多维事元可拓集；正域：负域：可拓域；稳定域 分类号0144；N94 人类的历史，是一部解决矛盾问题并不断开拓 的历史，可拓学]研究用形式化的模型分析事物 m,7-（T4T4T)为可 拓展的可能性和开拓创新的规律，它可以为解决计 拓变换，作事元可拓集A(-5-n)(T……)= 算机与人工智能、控制与检测、经济与管理等领域中 (l4g.5.y'-5)145.∈ 的矛盾问题提供理论依据和可操作方法3]，近年 T4W-y.=y(4y吃） 来，可拓学在智能控制、管理决策、产品营销、创新设 计[]等多种领域获得了广泛应用.但是，可拓学 (-o，十∞)y4-i.=Tr. 的基本理论还需要进一步扩展和补充，可拓学的理 号.（Tr--i.)（-o0,+oo),其中 论支柱是基元理论和可拓集合论，基元可拓集是基 y……n为关联函数，y…为可拓函数.称 元理论和可拓集合的有机结合，是描述事物可变性 的工具，基元可拓集包括：物元可拓集、事元可拓 A(D)(T)=1(I.y.y')IIE Tww, 集、关系元可拓集，文献[23]对一维物元可拓集、 维物元可拓集的基本概念、运算及相关性质进行 ye) 了研究，文献[9]讨论了多层多维物元可拓集合及其 y-A…含AT(T4-g)l 性质和运算.文献[3,10]对一维事元可拓集、n维 事元可拓集进行了研究，为了描述现实世界中具有 为w上的一个m层n维事元可拓集合，其 =1 多层次结构、每个子层次结构又具有多个特征的复 中， 杂系统中各子系统的相互作用，本文在维事元可 拓集概念的基础上，给出多层多维事元可拓集及其 T=(TY.TE TO.Tv=iT 正域、负域、零界以及可拓域、稳定域的严格定义，并 TwW=TrrW今. 讨论了相关的运算及性质 T-iTT-iT 1 多层多维事元可拓集的基本概念 设W…。是W的分事元集，而 定义1m层Ⅱ%维事元可拓刻 设事元 L(W)为W的分事元可拓集的全体.记W =1 集W=W一I=l5为事元，且 上的m层Ⅱ m维事元可拓集的全体为L(W),显 1…….∈W……n=1,2,…,=1,2,…, 然有 收稿日期：2006-02-07修回日期：2006-11-14 A(I)(T)∈L(W)· 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。:60374032,No 定义2（可拓域与稳定域）设W= 60375038和No.60375014) 作者简介：曹少中(1965一)，男，副教授，博士后 1W…1=141=1,2.…,j=1
多层多维事元可拓集及其运算 曹少中12） 刘贺平2） 涂序彦2） 1） 北京印刷学院信息与机电工程学院北京102600 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 为了建立复杂系统的事元可拓模型针对现实世界中具有多层结构、每个子层次结构又具有多个特征的复杂系统中 各子系统的相互作用问题从可拓学原理出发在 n 维事元可拓集概念的基础上提出了多层多维事元可拓集及其正域、负 域、拓界的概念．给出了多层多维事元可拓集的正可拓域、负可拓域、正稳定域、负稳定域的定义．研究了多层多维事元可拓 集的交运算等讨论了有关性质并对性质进行了严格证明得到了多层多维事元可拓集交的可拓域、稳定域的表达式． 关键词 多层多维事元可拓集；正域；负域；可拓域；稳定域 分类号 O144；N94 收稿日期：2006－02－07 修回日期：2006－11－14 基金 项 目：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ No．60374032No． 60375038和 No．60375014） 作者简介：曹少中（1965－）男副教授博士后 人类的历史是一部解决矛盾问题并不断开拓 的历史．可拓学［1－2］研究用形式化的模型分析事物 拓展的可能性和开拓创新的规律它可以为解决计 算机与人工智能、控制与检测、经济与管理等领域中 的矛盾问题提供理论依据和可操作方法［3］．近年 来可拓学在智能控制、管理决策、产品营销、创新设 计［4－8］等多种领域获得了广泛应用．但是可拓学 的基本理论还需要进一步扩展和补充．可拓学的理 论支柱是基元理论和可拓集合论．基元可拓集是基 元理论和可拓集合的有机结合是描述事物可变性 的工具．基元可拓集包括：物元可拓集、事元可拓 集、关系元可拓集．文献［2－3］对一维物元可拓集、 n 维物元可拓集的基本概念、运算及相关性质进行 了研究文献［9］讨论了多层多维物元可拓集合及其 性质和运算．文献［310］对一维事元可拓集、n 维 事元可拓集进行了研究．为了描述现实世界中具有 多层次结构、每个子层次结构又具有多个特征的复 杂系统中各子系统的相互作用本文在 n 维事元可 拓集概念的基础上给出多层多维事元可拓集及其 正域、负域、零界以及可拓域、稳定域的严格定义并 讨论了相关的运算及性质． 1 多层多维事元可拓集的基本概念 定义1 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集 设事元 集 W ＝｛Wi1… i j… im｝I ＝｛Ii1… i j… im｝为 事 元且 Ii1… i j… im∈ Wi1… i j… imij ＝12…njj ＝12… mTi1… i j… im＝（ T Wi1 … i j … i m Tk i1 … i j … i m TI i1 … i j … i m ）为可 拓变换作事元可拓集 A （ Ii1…i j…im ）（ Ti1…i j…im ）＝ ｛（ Ii1… i j… imyi1… i j… imy′i1… i j… im ） ｜ Ii1… i j… im ∈ TWi1 …i j …i m Wi1…i j…imyi1…i j…im＝ ki1…i j…im （ Ii1…i j…im ）∈ （ － ∞ ＋ ∞ ） y′i1… i j… im ＝ Tk i1 … i j … i m · ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∈（－∞＋∞）｝其中 yi1… i j… im为关联函数y′i1… i j… im为可拓函数．称 A （ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ki1… i j… im （ Ii1… i j… im ） y′＝∧ n1 i1＝1…∧ nj i j＝1…∧ nm im＝1 Tki1… i j… im ki1… i j… im （ T I i1… i j… im Ii1… i j… im ）｝ 为 W 上的一个 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合．其 中 T＝（ T WTkTl）T W＝｛T Wi1 … i j … i m ｝ T W W＝｛T Wi1 … i j … i m Wi1… i j… im｝ Tk＝｛Tk i1 … i j … i m ｝TI＝｛TI i1 … i j … i m ｝． 设 Wi1… i j… im 是 W 的 分 事 元 集 而 L （ Wi1… i j… im ）为 W 的分事元可拓集的全体．记 W 上的 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集的全体为 L （ W）显 然有 A （ I）（ T）∈ L （ W）． 定 义 2（ 可 拓 域 与 稳 定 域 ） 设 W ＝ ｛Wi1… i j… im｝I＝｛Ii1… i j… im｝ij ＝12…njj ＝1 第29卷 第6期 2007年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．6 Jun．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．06．043
.642. 北京科技大学学报 第29卷 2.m设T=(,1,n=(1T5. …)≤0为A(I)(T)的负稳定域. 171T-r)l-1,2…,gj=1,2, 2多层多维事元可拓集的性质及运算 ,m是W上的变换，A(I)(T)是W上的m层 Ⅱ%维事元可拓集合，称： 2.1 m层%维事元可拓集的性质 A(D(T)=(1yyI1∈Tw,y=A… 性质1设事元集W={W…….=1,2, …,mj=1,2,…,m}A(I)(T)∈L(W)是W上 …5(T≥0为 的m层广乃维事元可拓集合，T=(T,,)= A(I)(T)的正域： (T4T1)l-l,2.两 A(10(T)=(,yy)1TrW,y=人…1,2，m是W上的变换，则据定义可证： A(I)(T)=A+(I)(T)UA+(I)(T)(1) …rr-.(T44-0为 A(I)(T)=A-(I)(T)U4-(I)(T)(2) A()(T)的负域： 性质2设事元集W=W=1,2, 0(T)=(yyl1Twy'=△… …,吲j=1,2,…,m,A(l-…n)(T…)∈ Arn(T)=0为 L(W-),A(I)(T)∈L(W),T=（Tw,Tk, Tw)=(T4T)l=1.2 A(I)(T)的拓界； …,nj=1,2,…,m}是W上的变换，则据定义 4+(1)(T)=(I.y.y')IIE Tww, 可证： y=…5(4-)0 A(0(T)=户i…,A4r.(D(T)3) y=A…Ary(mr A+(0(T)=-04rgr+(0(T) 4…-n)≥0为A(I)(T)的正可拓域： (4) A_(1)(T)=1(I.y,y')IIE Tww, 这个性质给出了事元集W上关于变换T的正 域和正稳定域与W上的各个分域W…的正域 y=AA…y（1-)≥0 与正稳定域之间的关系 y(m· 2.2m层川%维事元可拓集的基本运算 “)≤0为A()(T)的负可拓域： 定义3〔m层Ⅱ%维事元可拓集合之交 A+(D)(T)=(1.y.y)lIE Tww, 设A(I)(T),B(I)(T)∈L(W),W=W--. yA么420. =1,2…,nj=1,2,…,m,1=14…5.= 1,2,…,%j1,2,…,m,l…n∈W4…5…i y…A%y(Tr· A(D(T)=(1y.y)IIE Tww, ……n)≥0为A(I)(T)的正稳定域： y=AA-4u) A_(1)(T)=(I.y.y')IIE Tww, y=y4r-0. y=AA%k-(T-4-y)归 B(D(T)=(Iy,y')IIETww. y-…A( y-A…A…A4r(山-5t)
2…m．设 T ＝（ T WTkTI）＝｛（｛T Wi1 … i j … i m ｝ ｛Tk i1 … i j … i m ｝｛TI i1 … i j … i m ｝）｜ij ＝12…njj ＝12 …m｝是 W 上的变换A （ I）（ T ）是 W 上的 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合称： A（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy′＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0｝为 A （ I）（ T）的正域； A（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy′＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≤0｝为 A （ I）（ T）的负域； J（ I）（ T ）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy′＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）＝0｝为 A （ I）（ T）的拓界； A· ＋（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ki1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m · Ii1… i j… im ）≥0｝为 A （ I）（ T）的正可拓域； A· － （ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ki1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m · Ii1… i j… im ）≤0｝为 A （ I）（ T）的负可拓域； A ＋（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ki1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m · Ii1… i j… im ）≥0｝为 A （ I）（ T）的正稳定域； A － （ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ki1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m ki1… i j… im （ TI i1 … i j … i m · Ii1… i j… im ）≤0｝为 A （ I）（ T）的负稳定域． 2 多层多维事元可拓集的性质及运算 2∙1 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集的性质 性质1 设事元集 W ＝｛Wi1… i j… im｜ij ＝12 …njj＝12…m｝A （ I）（ T ）∈ L （ W ）是 W 上 的 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合T＝（ TWTkTI）＝ ｛（T Wi1 … i j … i m Tk i1 … i j … i m TI i1 … i j … i m ）｜ij ＝12…nj j＝12…m｝是 W 上的变换则据定义可证： A （ I）（ T）＝ A ＋（ I）（ T）∪ A· ＋（ I）（ T） （1） A （ I）（ T）＝ A －（ I）（ T）∪ A· －（ I）（ T） （2） 性质2 设事元集 W ＝｛Wi1… i j… im｜ij ＝12 …njj＝12…m｝A （ Ii1… i j… im ）（ Ti1… i j… im ）∈ L（ Wi1… i j… im ）A （ I）（ T ）∈ L （ W ）T ＝（ T WTk TI）＝｛（ T Wi1 … i j … i m Tk i1 … i j … i m TI i1 … i j … i m ）｜ij ＝12 …njj ＝12…m｝是 W 上的变换则据定义 可证： A （ I）（ T）＝ ∩ n1 i1＝1 …∩ n j i j＝1 … ∩ nm im＝1 A i1… i j… im （ I）（ T） （3） A ＋（ I）（ T）＝ ∩ n1 i1＝1 …∩ n j i j＝1 … ∩ nm im＝1 A i1… i j… im＋（ I）（ T） （4） 这个性质给出了事元集 W 上关于变换 T 的正 域和正稳定域与 W 上的各个分域 Wi1… i j… im的正域 与正稳定域之间的关系． 2∙2 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集的基本运算 定义3 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合之交 设 A （ I）（ T）B（ I）（ T）∈ L （ W）W ＝｛Wi1… i j… im｜ ij＝12…njj＝12…m｝I＝｛Ii1… i j… im｜ij＝ 12…njj＝12…m｝Ii1… i j… im∈ Wi1… i j… im； A （ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） y′＝∧ n1 i1＝1…∧ nj i j＝1…∧ nm im＝1 Tki1…i j…im kAi1…i j…im （ TI i1…i j…im Ii1…i j…im ）｝； B（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） ·642· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第6期 曹少中等：多层多维事元可拓集及其运算 .643 y=A含sg-(myi小 Tyg.（Trl4i刀≤0}为 则称 D(I)(T)的负域： D(D)(T)=(Iy.y')lIE Tww. a0(T)=(uyl1eT,yA… y=…2[5-4-)A m一5-（l4i小 A…[r(T4-y)人 yAr T（Ty门=0}为 D(I)(T)的拓界； （T5….)A D()(T)=I(I.y.)lIETww.y=A T4-5.(Trly吃) 为A()(T)与B(I)(T)之交，记作 A…【k-（4g)N D(I(T)=A(I)(T)∩B(I)(T)· (山4-】≤0，y=A…A… 同样也可以定义m层Ⅱ网维事元可拓集的 A[tse hiii.（Tr.yi）∧ 并，非运算.不难证明，m层门%维事元可拓集 1-（y-]≥0为 合的交、并、非运算满足幂等律、交换律、对偶律、结 合律、分配律、对合律等，这里不再赘述 D(I)(T)的正可拓域； 2.3m层Ⅱ%维事元可拓集合之交的可拓域与 D-(0(T)=(1yl1Tw,y= 稳定域及其性质 A…△【kr（4.)N 这里，首先给出m层维事元可拓集合 5山】≥0.y=AA… 之交的可拓域及稳定域的定义，然后讨论交的可拓 正域的相关性质 A[T点rg（-.-i.）A 定义4m层·四维事元可拓集合交的可拓 =1 T-yg-i.（T44以门≤0}为 域及稳定域 设m层Ⅱ维事元可拓集合 D(I)(T)的负可拓域； A(I)(T),B(I)(T)∈L(W),T={Tw,Tk,T)是 D4(0(T)=(1yy)l1TW,y= 相应的变换，D(I)(T)=A(I)(T)∩B(I)(T), 称： A…人【k-g(4r）N T)=ul1eTw,y=A…】≥0.y=A-名 A[T(4yr)9（） T-m--（T414-.)]≥0为 14--4（14y刀≥0}为 D()(T)的正域： D(I)(T)的正稳定域： D(D(T)=(1yy）1eTr,y'=… D-(0(T)=(yy）l1TmWy= 名…含[Tr4m-r)人A…A【5y4（）人
y′＝∧ n1 i1＝1…∧ nj i j＝1…∧ nm im＝1 Tki1…i j…im kBi1…i j…im （ TI i1…i j…im Ii1…i j…im ）｝； 则称 D（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］ y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）｝ 为 A （ I）（ T）与 B（ I）（ T）之交记作 D（ I）（ T）＝ A （ I）（ T）∩B（ I）（ T）． 同样也可以定义 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集的 并、非运算．不难证明m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集 合的交、并、非运算满足幂等律、交换律、对偶律、结 合律、分配律、对合律等这里不再赘述． 2∙3 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合之交的可拓域与 稳定域及其性质 这里首先给出 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合 之交的可拓域及稳定域的定义然后讨论交的可拓 正域的相关性质． 定义4 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合交的可拓 域及稳定域 设 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合 A （ I）（ T）B（ I）（ T）∈ L （ W）T＝｛T WTkTI）是 相应的变换D（ I）（ T ）＝ A （ I）（ T ）∩ B（ I）（ T ） 称： D（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy′＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ≥0｝为 D（ I）（ T）的正域； D（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy′＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ≤0｝为 D（ I）（ T）的负域； JD（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy′＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ＝0｝为 D（ I）（ T）的拓界； D· ＋（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） ∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］ ≤ 0y′ ＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ） ∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ≥ 0｝ 为 D（ I）（ T）的正可拓域； D· －（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） ∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］ ≥ 0y′ ＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ） ∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ≤ 0｝ 为 D（ I）（ T）的负可拓域； D＋（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） ∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］ ≥ 0y′ ＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ） ∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ≥ 0｝ 为 D（ I）（ T）的正稳定域； D－（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W Wy＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） ∧ 第6期 曹少中等： 多层多维事元可拓集及其运算 ·643·
.644 北京科技大学学报 第29卷 s-g24】≤0.y=AA… D+(D(T)=(Iy.y)IIETww, △[T4g.（Trl.）A y=A…A[k-5u)n Tkm-r.（Tr4-.]≤0}为 km--（ly-)]0, D(I)(T)的负稳定域 =…r 性质3设A(I)(T),B(I)(T)是两个m层 y.（T-l-)A Ⅱ四维事元可拓集合，且A()(T),B(I)(T)∈ T45-m-g-.(T4-lr)]≥0， 据D+(I)(T)定义中y的表达式，对任何(I, L(W),T=(Tw,Tk,T)是W上一个相应的变 y,y)∈D+(I)(T),有 换，D(I)(T)=A(I)(T)∩B(I)(T),则 D+(I)(T)=[A+(I)(T)∩B+(I)(T)]U [A+(I)(T)∩B+(I)(T)]U[A+(I)(T)∩ .(T红4-.)20 B+(I)(T)] (5) 证明：(1)先证明对于任何(1，y,y)∈ D+(I)(T),有： -g-.（Tr2l4g)≥0 (,y,y)∈[A+(D(T)∩B+()(T)]U 而据D+(I)(T)定义中y的表达式，对任何 [A(D(T)NB(D(T)]U (1y,y)∈D+(I)(T),则有以下三种可能： [A+()(T)∩B+(I)(T)] A-ugrr0 A(D)(T)=(.y.y')IIE Tww. (6) y=A-4r9） 22这u0 y- 45u-r4-0 k-5-i.（T-54i) A名含s山42≥0 (7) B(D(T)=(Iy.y')lIE Tww, 么m-4y≥0 yAagru5) (8) 六……m-r520 yA… 下面，就这三种情况分别加以证明. 当式(6)成立时，由式(5)及正可拓域的定义，有 .（Tr-yl4y): (1,y,y')∈A+()(T)及(1，y,y)∈B+(I)(T), 从而(I,y,y)∈A+(I)(T)∩B+(I)(T) D(D(T)=(1.y.y)lIE Tww, 当式(7)成立时，由式(5)及正可拓域、正稳定域 [k() 的定义知(1，y,y)∈A+(I)(T)及(1，y,y)∈ B+(I)(T),因而(I,y,y)∈A+(I)(T)∩ …（L4……i)小， B+(I)(T) y--2r 当式(8)成立时，由式(5)及正可拓域、正稳定域 5i.（Tl)n 的定义知(1，y,y)∈A+(I)(T)及(1，y,y)∈ B+(I)(T),因而(1，y,y')∈A+(I)(T)∩ Tm-.（T-yl5). B+(I)(T) 由正可拓域的定义知： 综合以上三种情况可知，对任何(1，y,y')∈
kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］ ≤ 0y′ ＝ ∧ n1 i1＝1 … ∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ） ∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］ ≤ 0｝ 为 D（ I）（ T）的负稳定域． 性质3 设 A （ I）（ T ）B（ I）（ T ）是两个 m 层 ∏ m j＝1 nj 维事元可拓集合且 A （ I）（ T）B（ I）（ T ）∈ L（ W ）T ＝（ T WTkTI）是 W 上一个相应的变 换D （ I ） （ T ） ＝ A （ I ） （ T ） ∩ B （ I ） （ T ）则 D· ＋（ I）（ T）＝ ［ A· ＋ （ I ） （ T ） ∩ B·＋ （ I ） （ T ）］ ∪ ［ A· ＋（ I）（ T）∩ B＋ （ I ） （ T ）］ ∪ ［ A＋ （ I ） （ T ） ∩ B·＋（ I）（ T）］． 证明：（1） 先 证 明 对 于 任 何 （ Iyy′） ∈ D· ＋（ I）（ T）有： （ Iyy′）∈［ A· ＋ （ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）］∪ ［ A· ＋ （ I）（ T）∩B＋（ I）（ T）］∪ ［ A＋（ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）］． A （ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）｝； B（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ） y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）｝； D（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］ y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）｝． 由正可拓域的定义知： D· ＋（ I）（ T）＝｛（ Iyy′）｜I∈ T W W y＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］≤0 y′＝ ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］≥0｝ 据 D· ＋（ I）（ T）定义中 y′的表达式对任何（ I yy′）∈ D· ＋（ I）（ T）有 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 （5） 而据 D· ＋ （ I）（ T ）定义中 y 的表达式对任何 （ Iyy′）∈ D· ＋（ I）（ T）则有以下三种可能： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 （6） ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi i… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 （7） ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 （8） 下面就这三种情况分别加以证明． 当式（6）成立时由式（5）及正可拓域的定义有 （ Iyy′）∈ A· ＋（ I）（ T）及（ Iyy′）∈B·＋（ I）（ T ） 从而（ Iyy′）∈ A· ＋（ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）． 当式（7）成立时由式（5）及正可拓域、正稳定域 的定义知（ Iyy′）∈ A· ＋ （ I）（ T ）及（ Iyy′）∈ B＋（ I）（ T）因 而 （ Iyy′） ∈ A· ＋ （ I ） （ T ） ∩ B·＋（ I）（ T）． 当式（8）成立时由式（5）及正可拓域、正稳定域 的定义知（ Iyy′）∈ A ＋ （ I）（ T ）及（ Iyy′）∈ B·＋（ I）（ T）因 而 （ Iyy′） ∈ A ＋ （ I ） （ T ） ∩ B·＋（ I）（ T）． 综合以上三种情况可知对任何（ Iyy′）∈ ·644· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第6期 曹少中等：多层多维事元可拓集及其运算 .645 D+(I)(T,有(I,y,y)∈[A+(I)(T)∩ B+(I)(T)]U[A+(I)(T)∩B+(I)(T)]U …y4g-≥0 [A+(I)(T)∩B+(I)(T)] AmAn (2)证明对于任何(1，y,y)∈[A+(I)(T)∩ B+(I)(T)]U[A+(I)(T)∩B+(I)(T)]U ky.(T4-l.)≥0 [A+()(T)∩B+(I)(T)],有(I,y,y')∈ 由此可得： D+(I)(T),分三种情况予以证明. A…-A[w4)A ①(1，y,y)∈4+(I)(T)∩B+(I)(T) -g-i(-g.)]0, 这时，(1，y,y)∈4+(I)(T)且(1，y,y)∈ B+(I)(T),于是有： r A…A-k54r0 ry(T-5l-)ΛT-' k--i.（T年5-.)]≥0 AAAne 据D+(I)(T)定义式，显然有(1，y,y)∈ k（T-l4-5)2≥0 D+(I)(T) 及 ③(I,y,y)∈A+()(T)∩B+(I)(T 这时，(1，y,y)∈A+(I)(T)且(1，y,y)∈ AAa4-y0 B+(I)(T),故有： AA△k山-g≥0 -（Tnl4y)≥0 于是得： -5-(T5rg.)≥0 A…AAk-u-A 及 m一g(…-)]0, …4g-440. A 5.(7-l-)A -（T5--y.)≥0 T5kmg-.（T14r.)]0 由此得 从而根据D+(1)(T)定义，有(1，y,y)∈ A…△[kg4)n D+(I)(T) ②(，y,y)∈A+(I)(T)∩B+(I)(T) 所-5gi(4yi.)]0, 这时，(1，y,y)∈A+(I)(T)且(1，y,y)∈ …… B+(I)(T),故有： y（T-4)A …k-4-t0. Ty.(Tl)]>0 据D+(I)(T)定义，则有(1，y,y)∈D+(I)(T) 综合上述结果可知： .（T-3lr)≥0 D+(I)(T)2[A+(I)(T)∩B+(I)(T)]U 及 [A+(I)(T)∩B+()(T)]U[A+(I)(T)∩
D· ＋（ I ） （ T ）有 （ Iyy′） ∈ ［ A· ＋ （ I ） （ T ） ∩ B·＋（ I）（ T）］∪ ［ A· ＋ （ I ） （ T ） ∩ B＋ （ I ） （ T ）］ ∪ ［ A＋（ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）］． （2） 证明对于任何（ Iyy′）∈［ A· ＋（ I）（ T ）∩ B·＋（ I ） （ T ）］ ∪ ［ A· ＋（ I）（ T）∩ B＋ （ I ） （ T ）］ ∪ ［ A＋（ I）（ T）∩ B·＋ （ I ） （ T ）］有 （ Iyy′） ∈ D· ＋（ I）（ T）分三种情况予以证明． ① （ Iyy′）∈ A· ＋（ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）． 这时（ Iyy′）∈ A· ＋ （ I）（ T ）且（ Iyy′）∈ B·＋（ I）（ T）于是有： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 及 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 于是得： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］≥0 从而根据 D· ＋ （ I ） （ T ） 定义有（ Iyy′） ∈ D· ＋（ I）（ T）． ② （ Iyy′）∈ A· ＋（ I）（ T）∩B＋（ I）（ T）． 这时（ Iyy′）∈ A· ＋ （ I）（ T ）且（ Iyy′）∈ B＋（ I）（ T）故有： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 及 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 由此可得： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m · kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］≥0 据 D· ＋ （ I ） （ T ） 定 义 式显 然 有 （ Iyy′） ∈ D· ＋（ I）（ T）． ③ （ Iyy′）∈ A ＋（ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）． 这时（ Iyy′）∈ A ＋ （ I）（ T ）且（ Iyy′）∈ B·＋（ I）（ T）故有： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≥0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 及 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 Tk i1 … i j … i m · kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）≥0 由此得： ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ kAi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）∧ kBi1… i j… im （ Ii1… i j… im ）］≤0 ∧ n1 i1＝1 …∧ n j i j＝1 … ∧ nm im＝1 ［ Tk i1 … i j … i m · kAi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）∧ Tk i1 … i j … i m kBi1… i j… im （ TI i1 … i j … i m Ii1… i j… im ）］≥0 据 D· ＋（ I）（ T）定义则有（ Iyy′）∈ D· ＋（ I）（ T）． 综合上述结果可知： D· ＋（ I）（ T）⊇［ A· ＋（ I）（ T）∩B·＋（ I）（ T）］∪ ［ A· ＋（ I）（ T）∩B＋（ I）（ T）］∪［ A＋（ I）（ T）∩ 第6期 曹少中等： 多层多维事元可拓集及其运算 ·645·