43一次函数的图象 第2课时一次函数的图象和性质 学生起点分析 八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系,积累了研究变量之间关系以 及图象的一些方法和初步经验.在此基础上,学生能在“引导一一探究一一发现” 式的课堂教学中积极参与讨论问题,大胆发表自己的见解和看法.但由于初中学 生的年龄特点,他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变 化规律及其性质 二、教学任务分析 《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上) 第六章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成.第1课时让学生 了解了作正比例函数图象的方法,并通过作图的操作过程,明确正比例函数的图 象性质.本节课为第2课时,主要是通过对一次函数图象的比较与归类,探索一 次函数及其图象的简单性质.与原传统教材相比,新教材更注重借助感性材料, 让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数 值的增减性和增减速度、具体直线之间的平行、相交等位置关系,实际上,这 过程,也是培养学生数形结合的意识和能力的好机会,并为今后继续学习一次函 数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础 为此,本节课的教学目标是: 了解一次函数两个变量之间的变化规律在认识一次函数图象的基础上, 掌握一次函数图象及其简单性质; 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题的一些 基本方法和策略; 3.在结合图象探究一次函数性质的过程中,增强学生数形结合的意识,渗透 分类讨论的思想; 4.通过对一次函数图象及性质的探究,在探究中培养学生的观察能力、识图 能力以及语言表达能力
4.3 一次函数的图象 第 2 课时 一次函数的图象和性质 一、 学生起点分析 八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系，积累了研究变量之间关系以 及图象的一些方法和初步经验.在此基础上，学生能在“引导——探究——发现” 式的课堂教学中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法.但由于初中学 生的年龄特点，他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变 化规律及其性质. 二、 教学任务分析 《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上） 第六章《一次函数》的第三节。本节内容安排了 2 个课时完成.第 1 课时让学生 了解了作正比例函数图象的方法，并通过作图的操作过程，明确正比例函数的图 象性质.本节课为第 2 课时，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一 次函数及其图象的简单性质.与原传统教材相比，新教材更注重借助感性材料， 让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数 值的增减性和增减速度、具体直线之间的平行、相交等位置关系，实际上，这一 过程，也是培养学生数形结合的意识和能力的好机会，并为今后继续学习一次函 数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础. 为此，本节课的教学目标是： 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上， 掌握一次函数图象及其简单性质； 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些 基本方法和策略； 3.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透 分类讨论的思想； 4.通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图 能力以及语言表达能力
三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节:第一环节:图片展示;第二环节:复习引入 第三环节:活动探究:第四环节:反馈练习与知识拓展;第五环节:课时小结: 第六环节:作业布置. 第一环节:创设情境 内容:展示一些与实际生活息息相关的图片.说明在我们生活中,有许许多 多这样的图案,这些图象当中蕴含着某些规律,人们利用这些规律,能更合理地 作出决策或预测 目的:通过富有现实意义的图片展示,引入生活中熟悉的图片,使学生感受 到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策,激发学生的求知欲 望,感受图象的实用价值. 说明:通过欣赏这些生活中的图象,学生感受到图象中所蕴含的规律,激发 了学生的好奇心和求知欲 第二环节:复习引入 内容:在前面,我们已经学会了绘制正比例函数图象,明确了正比例函数图 像的有关性质,那么一次函数图象中又蕴含着什么规律,这节课我们就来研究 次函数图象的性质.首先,我们来复习一下上节课所学习的知识 复习提问:(1)作函数图象有几个主要步骤? (2)上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征? 目的:学生回顾上节课学习的内容,为进一步研究一次函数的图象和性质做 好铺垫.在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线.本节 课主要内容是对一次函数y=kx+b中常数k、b对图象的影响进行探究
三、 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节： 图片展示；第二环节：复习引入； 第三环节：活动探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结； 第六环节：作业布置. 第一环节：创设情境 内容：展示一些与实际生活息息相关的图片.说明在我们生活中，有许 许多 多这样的图案，这些图象当中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地 作出决策或预测. 目的：通过富有现实意义的图片展示，引入生活中熟悉的图片，使学生感受 到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策，激发学生的求知欲 望，感受图象的实用价值. 说明：通过欣赏这些生活中的图象，学生感受到图象中所蕴含的规律，激发 了学生的好奇心和求知欲. 第二环节：复习引入 内容：在前面，我们已经学会了绘制正比例函数图象，明确了正比例函数图 像的有关性质，那么一次函数图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一 次函数图象的性质.首先，我们来复习一下上节课所学习的知识. 复习提问：（1）作函数图象有几个主要步骤？ （2）上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征？ 目的：学生回顾上节课学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做 好铺垫.在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线.本节 课主要内容是对一次函数 y kx b = + 中常数 k 、b 对图象的影响进行探究
本节课也可从第二环节复习引入开始,直接进入本课题的学习 说明:学生通过知识回顾,再次明确正比例函数图象的一些特征,为学习本 节课在知识上作好准备. 第三环节:活动探究 1、合作探究,发现规律 内容:观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象 y=2x+6,y=5x,y=x-2 (2)y=-x+6,y=-2xy2+-3 得出结论:一次函数图像是一条直线.因此作一次函数图像时,只要确定两 个点,再过这两个点作直线就可以了.一次函数y=kx+b的图像也称为直线 y=h+b 议一议 (1)观察图象,它们分别分布在哪些象限 (2)观察每组三个函数的图象,随着x值的变化,y的值在怎样变化 (3)从以上观察中,你发现了什么规律 归纳出一次函数图象的特点: 在一次函数y=kx+b中 当k>0时,y随x的增大而增大,当b>0时,直线必过一、二、三象限 当b<0时,直线必过一、三、四象限; 当k<0时,y随x的增大而减小,当b>0时,直线必过一、二、四象限 当b<0时,直线必过二、三、四象限 目的:归纳出一次函数图象中系数k,b对函数图象的影响。 说明: 本节课主要是结合一次函数的图象,探究一次函数的简单性质,教学内容较 多,为更好地突出教学重点,提高课堂教学效率,建议在上一节课的家庭作业中, 要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上
本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习. 说明：学生通过知识回顾，再次明确正比例函数图象的一些特征，为学习本 节课在知识上作好准备. 第三环节： 活动探究 1、合作探究，发现规律 内容：观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象. （1）y = 2x + 6 , y = 5x , y = x − 2 ； 3. 2 1 (2) y = −x + 6 , y = −2x , y = − x − 得出结论：一次函数图像是一条直线.因此作一次函数图像时，只要确定两 个点，再过这两个点作直线就可以了.一次函数 y kx b = + 的图像也称为直线 y kx b = + . 议一议： （1）观察图象，它们分别分布在哪些象限. （2）观察每组三个函数的图象，随着 x 值的变化，y 的值在怎样变化？ （3）从以上观察中，你发现了什么规律？ 归纳出一次函数图象的特点： 在一次函数 y kx b = + 中 当 k 0 时，y 随 x 的增大而增大，当 b 0 时，直线必过一、二、三象限； 当 b 0 时，直线必过一、三、四象限； 当 k 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 b 0 时，直线必过一、二、四象限； 当 b 0 时，直线必过二、三、四象限. 目的：归纳出一次函数图象中系数 k，b 对函数图象的影响。 说明： 本节课主要是结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质，教学内容较 多，为更好地突出教学重点，提高课堂教学效率，建议在上一节课的家庭作业中， 要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上
本节课首先请学生展示作出的函数图象,师生、生生互评,再让学生结合自 己绘制的函数图象来探究一次函数的性质通过对问题的精心设计,引导学生对 k,b两个常数进行分类讨论,探索出k、b值的变化对图象的影响和变化规律. 在此过程中渗透分类讨论的思想方法,培养学生数形结合的意识 学生拿出课前已经做好的函数图象.通过师生互动、生生互动进行批改,互评 让学生再次巩固了已学知识,调动了学生学习的自主意识.在此基础上学生进行 观察并分小组对一次函数y=kx+b中k,b的几何意义作了初步的探索本环节通 过独立思考和小组讨论,培养学生的识图能力、探究能力和合作能力.初步感受 到了一次函数的图象及函数的性质由常数k、b决定 2观察思考,深入探究 内容1 右图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路程s (米)和所用时间t(秒)的函数图象.观察图象,你能 看出谁跑得更快吗? 目的:学生通过对熟悉的实际问题的讨论,体会不同函数图象的倾斜程度不 同,函数值的增减速度也不同,为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫 说明:通过具体的实例,学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出 谁跑得更快,那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢?再次激发学生的求 知欲望,为课堂注入新的活力 内容2 (1)作出一次函数y=x,y=2x和y=5x的图象,观察图象,x从0开始 逐渐增大,哪个函数的值先到达6?直线、J=2x和y=5x哪个与x轴正 方向所成的锐角最大?从中你能发现与x轴正方向所成的锐角的大小是由什么 决定的? (2)直线y=-x-2与y=-x+6的位置关系如何? (3)直线y=2x+6与y=-x-2的位置关系如何? 引导学生结合函数图象,回答以上的问题
本节课首先请学生展示作出的函数图象,师生、生生互评，再让学生结合自 己绘制的函数图象来探究一次函数的性质.通过对问题的精心设计，引导学生对 k，b 两个常数进行分类讨论，探索出 k、b 值的变化对图象的影响和变化规律. 在此过程中渗透分类讨论的思 想方法,培养学生数形结合的意识. 学生拿出课前已经做好的函数图象.通过师生互动、生生互动进行批改,互评. 让学生再次巩固了已学知识，调动了学生学习的自主意识.在此基础上学生进行 观察并分小组对一次函数 y kx b = + 中 k，b 的几何意义作了初步的探索.本环节通 过独立思考和小组讨论，培养学生的识图能力、探究能力和合作能力.初步感受 到了一次函数的图象及函数的性质由常数 k、b 决定. 2 观察思考，深入探究 内容 1： 右图是某次 110 米栏比赛中两名选手所跑的路程 s （米）和所用时间 t（秒）的函数图象. 观察图象,你能 看出谁跑得更快吗? 目的：学生通过对熟悉的实际问题的讨论，体会不同函数图象的倾斜程度不 同，函数值的增减速度也不同，为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫. 说明：通过具体的实例，学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出 谁跑得更快，那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢？再次激发学生的求 知欲望，为课堂注入新的活力. 内容 2： （1）作出一次函数 1 2 y x = ， y x = 2 和 y x = 5 的图象，观察图象，x 从 0 开始 逐渐增大，哪个函数的值先到达 6？ 直线 1 2 y x = ，y x = 2 和 y x = 5 哪个与 x 轴正 方向所成的锐角最大？ 从中你能发现与 x 轴正方向所成的锐角的大小是由什么 决定的？ （2）直线 y x = − − 2 与 y x = − + 6 的位置关系如何？ （3）直线 y x = + 2 6 与 y x = − − 2 的位置关系如何？ 引导学生结合函数图象，回答以上的问题. 13.5 110 23.3 t(秒) S(米) 0
结合上面几个例子,你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决 定?请和同桌交流,看看对你有没有启发. 从而希望学生总结出一次函数图象的特点 当k>0时,k的值越大,直线与x轴的正方向所成的锐角越大 同一平面内,不重合的两条直线l1:y=kx+b与l2:y2=k2x+b2 当k=k2时,l‖l2 当k≠k2时,l与l2相交 目的:问题(1)在教材中是放在一次函数图象的第一节课,根据教学安排, 我们把这个内容调整到了本节课.经过自主探究、合作交流,力图让学生对两直 线的位置关系及k,b的几何意义作进一步的探讨,感受在具体图象中平行、相 交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与k值之间的联系 说明:学生通过讨论,得出所观察到的图象的规律,在教师的引导下,逐步 加深对一次函数图象及性质的认识 内容3:比一比,看谁画得快 次函数y=x的图象如图所示,你能画出函数 y y=x+4和y=x-5的图象吗? 目的:学生作图(学生可能按常规过两点作直线,也可能利用两直线的位置 关系,过直线外一点作已知直线的平行线).利用所学的知识反过来解决了作图 问题,再次强调了数形结合的思想 说明:通过探究,学生已经了解了一次函数图象的特点根据一次函数图象 的特点,学生能较容易的完成此题 3归纳总结,认识规律 内容:归纳总结一次函数图象的特点 1.在一次函数y=kx+b中 当k>0时,y随x的增大而增大,当b>0时,直线必过一、二、三象限
结合上面几个例子，你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决 定？请和同桌交流，看看对你有没有启发. 从而希望学生总结出一次函数图象的特点： 当 k 0 时，k 的值越大，直线与 x 轴的正方向所成的锐角越大. 同一平面内，不重合的两条直线 1 l ： 1 1 1 y k x b = + 与 2 l ： 2 2 2 y k x b = + 当 1 2 k k = 时， 1 2 l l ； 当 1 2 k k 时， 1 l 与 2 l 相交. 目的：问题（1）在教材中是放在一次函数图象的第一节课，根据教学安排， 我们把这个内容调整到了本节课.经过自主探究、合作交流，力图让学生对两直 线的位置关系及 k，b 的几何意义作进一步的探讨，感受在具体图象中平行、相 交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与 k 值之间的联系. 说明：学生通过讨论，得出所观察到的图象的规律，在教师的引导下，逐步 加深对一次函数图象及性质的认识. 内容 3：比一比，看谁画得快 一次函数 y x = 的图象如图所示，你能画出函数 y x = + 4 和 y x = − 5 的图象吗？ 目的：学生作图（学生可能按常规过两点作直线，也可能利用两直线的位置 关系，过直线外一点作已知直线的平行线）.利用所学的知识反过来解决了作图 问题，再次强调了数形结合的思想. 说明：通过探究，学生已经 了解了一次函数图象的特点.根据一次函数图象 的特点，学生能较容易的完成此题. 3 归纳总结，认识规律 内容：归纳总结一次函数图象的特点： 1.在一次函数 y kx b = + 中 当 k 0 时，y 随 x 的增大而增大，当 b 0 时，直线必过一、二、三象限； x y O y = x . .