4.2一次函数与正比例函数 、学生起点分析 在七年级下期学生已经探索了变量之间关系,在此基础上,本章前一节继续 通过对变量关系的考察,让学生初步体会函数的概念,能判断两变量之间的关系 是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数一一一次函数.由于 有前面内容的铺垫,学生已经会建立变量之间的关系,可能有部分学生表述上还 不太规范,在教学中,教师要注意纠正学生的一些错误习惯,如将解析式写成 x+y=1,x-y=-1等,培养学生良好的书写习惯. 二、教学任务分析 《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第四 章《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时:让学生理解一次函数和正 比例函数的概念,能根据已知信息写出简单的一次函数表达式,并初步形成利用 函数的观点认识现实世界的意识和能力 与原传统教材相比,新教材更注重借助生活中的实际背景,让学生经历一般 规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念;同时,新教材调整了知识 的安排顺序,原来教材正比例函数在一次函数前面,而新教材是将正比例函数作 为一次函数特殊情况给出来的. 本节课教学目标分析是: (1)理解一次函数和正比例函数的概念; (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式 (3)经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力; (4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力 (5)体验生活中的数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发 学生学数学、用数学的兴趣 (6)在探索过程中体验成功的喜悦,树立学习的自信心 本节课教学重点是 理解一次函数和正比例函数的概念
4.2 一次函数与正比例函数 一、学生起点分析 在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续 通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系 是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于 有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还 不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成 x y x y + = − = − 1, 1 等，培养学生良好的书写习惯. 二、教学任务分析 《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四 章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了 1 个课时：让学生理解一次函数和正 比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用 函数的观点认识现实世界的意识和能力. 与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般 规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识 的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作 为一次函数特殊情况给出来的. 本节课教学目标分析是： (1)理解一次函数和正比例函数的概念； (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. (3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； (4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. (5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发 学生学数学、用数学的兴趣. (6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心. 本节课教学重点是： 理解一次函数和正比例函数的概念
本节课教学难点是: 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力 三、教学过程设计 本节课设计了七个环节:第一环节:复习引入;第二环节:新课讲述;第三 环节:巩固练习:第四环节:知识提髙;第五环节:反馈练习:第六环节:课堂 小结;第七环节:布置作业. 第一环节:复习引入 内容:复习上节课学习的函数,教师提出问题 (1)什么是函数? (2)函数有哪些表示方式? (3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些 例子呢? 意图:为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧 知识,诱导新内容”的引入方法,问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生 把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识 效果: 问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学 生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学 生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成 功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标 若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生 的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题) ①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走 过的路程s之间的关系是什么? ②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么? 第二环节:新课讲述
本节课教学难点是： 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力. 三、教学过程设计 本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三 环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂 小结；第七环节：布置作业. 第一环节：复习引入 内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题: (1)什么是函数? (2)函数有哪些表示方式? (3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些 例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧 知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生 把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识. 效果： 问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学 生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学 生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成 功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标. 若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生 的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题) ①假设某学生骑自行车的速度为 10km/h,则他骑自行车用的时间 t(h)和所走 过的路程 s 之间的关系是什么? ②上网费用是 2 元/小时,则上网 t(小时),费用 y(元)的关系式是什么? 第二环节：新课讲述
内容: 例1某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg, 弹簧长度y增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并 填入下表 /kg 0 5 /cl (2)你能写出x与y之间的关系式吗? 答案(1)3、3.5、4、4.5、5、5.5;(2)y=3+0.5x 例2某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L. (1)完成下表 汽车行驶路程0 100 150 200 油箱剩余汽油量 /L (2)你能写出x与y之间的关系式吗? (3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 答案(1)100、91、82、73、64、46 (2)x与y之间的关系式为y=100-0.18x; (3)汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km 耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以ⅹ不会超过560km.y代表油箱剩余 油量,所以y应该小于100但不能小于零 通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念 一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(kb为常数,k≠ 0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当b=0时, 则y是x的正比例函数 意图:从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通 过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念
内容： 例 1 某弹簧的自然长度为 3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量 x 每增加 1kg, 弹簧长度 y 增加 0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为 1kg、2kg、3kg、4kg、5kg 时的弹簧长度,并 填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2)你能写出 x 与 y 之间的关系式吗? 答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) y x = +3 0.5 . 例 2 某辆汽车油箱有汽油 100L,汽车每行驶 50km 耗油 9L. (1)完成下表: 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余汽油量 y/L (2)你能写出 x 与 y 之间的关系式吗? (3)汽车行驶的路程 x 可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量 y 呢? 答案 (1) 100、91、82、73、64、46； (2) x 与 y 之间的关系式为 y x = - 100 0.18 ； (3) 汽车行驶路程 x 不可能无限增大,因为汽油只有 100L,每行驶 50km 耗油 9L,行驶 560km 后,油箱就没有油了,所 以 x 不会超过 560km.y 代表油箱剩余 油量,所以 y 应该小于 100 但不能小于零. 通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念: 一般地,若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y kx b = + ( k b, 为常数,k ≠ 0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数( x 是自变量, y 为因变量).特别地,当 b = 0 时, 则 y 是 x 的正比例函数. 意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通 过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念
效果 从两个具体问题的函数表达式出发,互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立 障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义,提 高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力 主要从函数解析式这一角度去研究一次函数,这是学生第一次正式接触函数 的表达式,教学中可根据学生状况多加一些例子,让学生逐步学会从函数表达式 去认识函数,进一步掌握一次函数的定义 第三环节:巩固练习 内容: 1.在函数(1)y=,(2)y=x-5,(3)y=-4x,(4)y=2x2-3x (5)y=√-2(6)y=-中是一次函数的是 是正比例函数 的是 2.若函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数,则m,n应满足的条件 若是正比例函数,则m,n应满足的条件是 3当k=时,函数y=(k+3)x28-5是关于x的一次函数 意图:对本节知识进行巩固练习 效果:学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果 在第3题中,学生易忘记k+3≠0的条件,而错误的将答案写成±3 第四环节:知识提高 内容: 例3写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数? 是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时) 之间的关系 (2)圆的面积y(厘米2与它的半径x(厘米)之间的关系;
效果： 从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立 障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提 高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力. 主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数 的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式 去认识函数，进一步掌握一次函数的定义. 第三环节：巩固练习 内容: 1.在函数(1 ) 3 y x = ,(2) y x = - 5 ,(3) y x = - 4 ,(4) 2 y x x = - 2 3 , (5) y x = - 2 (6) 1 2 y x = - 中是一次函数的是 ,是正比例函数 的是 . 2. 若函数 y m x n = + + - (6 3 ) 4 4 是 一 次 函 数 , 则 m n, 应 满 足 的 条 件 是 ；若是正比例函数,则 m n, 应满足的条件是 . 3.当 k = 时,函数 2 8 ( 3) 5 k y k x - = + - 是关于 x 的一次函数. 意图：对本节知识进行巩固练习. 效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果. 在第 3 题中,学生易忘记 k + 3 ≠ 0 的条件,而错误的将答案写成± 3 . 第四环节：知识提高 内容： 例 3 写出下列各题中 x 与 y 之间的关系式,并判断: y 是否为 x 的一次函数? 是否为正比例函数? (1)汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶,行驶路程 y (千米)与行驶时间 x (时) 之间的关系； (2)圆的面积 y (厘米 2 )与它的半径 x (厘米)之间的关系；
3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘 米),则y与x的关系 答案:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比 例函数 (2)由圆的面积公式,得y=px2,y不是x的一次函数,也不是x的正 比例函数 (3)这棵树每月长高2厘米,x个月长高了2x厘米,因而 y=50+20x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数 例4某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3 分钟),超过50次后,每次0.2元 (1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x>50)的函数关系式; (2)求出月通话150次的电话费 (3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数 分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为: 每月通话费=月租费+超过50次后电话费 答案:(1)根据题意得:y=25+(x-50)×02,即y=0.2x+15; (2)当x=150时,y=02×150+15=45; (3)因为536>25,可知通话次数大于50次,即当y=536时,求x的 值.536=0.2x+15,解得x=193 意图:通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概 念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用, 发展学生的抽象思维能力 充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力 的发展 效果 根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差
(3)一棵树现在高 50 厘米,每个月长高2 厘米, x 个月后这棵树的高度为 y (厘 米),则 y 与 x 的关系. 答案: (1)由路程=速度×时间,得 y x = 60 , y 是 x 的一次函数,也是 x 的正比 例函数； (2)由圆的面积公式,得 2 y x = p , y 不是 x 的一次函数,也不是 x 的正 比例函数； (3) 这棵树每月长高 2 厘 米 , x 个月长高了 2x 厘 米 , 因 而 y x = + 50 20 , y 是 x 的一次函数,但不是 x 的正比例函数. 例 4 某地区电话的月租费为 25 元,在此基础上,可免费打 50 次市话(每次 3 分钟),超过 50 次后,每次 0.2 元. (1)写出每月电话费 y (元)与通话次数 x ( x ＞50)的函数关系式； (2)求出月通话 150 次的电话费； (3)如果某月通话费为 53.6 元,求该月通话的次数. 分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为: 每月通话费=月租费+超过 50 次后电话费. 答案: (1)根据题意得: y x = + - 25 ( 50) × 0.2 ,即 y x = + 0.2 15 ； (2)当 x = 150 时, y = 0.2 × 150 15 + = 45 ； (3)因为 53.6 ＞ 25 ,可知通话次数大于 50 次,即当 y = 53.6 时,求 x 的 值. 53.6 0.2 15 = +x ,解得 x = 193. 意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概 念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用, 发展学生的抽象思维能力. 充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力 的发展. 效果： 根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差