纤芯m(r) 图2.5渐变型多模光纤的光线传播原理
图 2.5 渐变型多模光纤的光线传播原理 o i dz r i r m p 纤 芯n(r) r * z r 0 dr
2△r 2△r dz C 解这个二阶微分方程,得到光线的轨迹为 r(z=Csin(Az)+C2 COS(Az) 2.10 式中,A=√△/a,C1和C2是待定常数,由边界条件确 定。设光线以0从特定点(z=0,r=1)入射到光纤,并在任意点(z 以0*从光纤射出。由方程(2.10)及其微分得到 C2=r(z=0)=r;C1 )(二=0 a dz
2 2 2 2 2 [1 ( ) ] 2 2 a r a r a r dz d r − − − = 解这个二阶微分方程， 得到光线的轨迹为 r(z)=C1 sin(Az)+C2 cos(Az) (2.10) 式中，A= ， C1和C2是待定常数，由边界条件确 定。 设光线以θ0从特定点(z=0,r=ri )入射到光纤，并在任意点(z, r)以θ*从光纤射出。由方程(2.10)及其微分得到 2 / a C2=r(z=0)=riC1= )( 0) 1 z = dz dr A
由图25的入射光得到dr/dz=tane≈i≈em(r)=/m(0),把这 个近似关系代入式(2.11)得到 An(r) 把C1和C2代入式(2.10)得到 r(z=r;cos(az)+ sin( az) An(r) 由出射光线得到dr/dz-tan≈≈0*/n(r),由这个近似关系 和对式(2.10)微分得到 A*=-An(r)r sin(Az)+o CoS(az) (2.12b) 取n(r)n(0),由式(212)得到光线轨迹的普遍公式为
由图2.5的入射光得到dr/dz=tanθi≈θi≈θ0 /n(r)≈θ0 /n(0)， 把这 (2.11) 得到 2 1 0 1 ( ) c r An r c = = 把C 1和C 2代入式(2.10)得到 r(z)=ricos(Az)+ sin( ) ( ) 0 Az An r 由出射光线得到dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r)，由这个近似关系 和对式(2.10)微分得到 θ*=-An(r)ri sin(Az)+θ0 cos(Az) (2.12b) 取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹的普遍公式为
COS(AZ) sin( az) An(o 0* An() sin(az) COS(Az) 这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜的理论依据。 自聚焦效应〖ZZ)】为观察方便,把光线入射点移到中心 轴线(z=0,ri=0),由式(212)和式(213)得到 6 sin( az) An(0) 0*=0Ocos(Az)
r θ* = cos(Az) -An(0) sin(Az) cos(Az) sin( ) (0) 1 AZ An r1 0 这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜的理论依据。 自聚焦效应〖ZZ)〗为观察方便，把光线入射点移到中心 轴线(z=0, ri=0)，由式(2.12)和式(2.13)得到 sin( ) (0) Az An r = θ*=θ0cos(Az)
由此可见,渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正 弦函数,对于确定的光纤,其幅度的大小取决于入射角00, 其周期A=2兀/A=27a′√2取决于光纤的结构参数(a,△),而与 入射角0无关。这说明不同入射角相应的光线,虽然经历的 路程不同,但是最终都会聚在P点上,见图2.5和图2.2(b),这 种现象称为自聚焦( Self focusing)效应。 渐变型多模光纤具有自聚焦效应,不仅不同入射角相应 的光线会聚在同一点上,而且这些光线的时间延迟也近似相 等。这是因为光线传播速度v(r)=cm(r)(c为光速),入射角大的 光线经历的路程较长,但大部分路程远离中心轴线,n(r)较小, 传播速度较快,补偿了较长的路程。入射角小的光线情况正 相反,其路程较短,但速度较慢。所以这些光线的时间延迟 近似相等
由此可见，渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正 弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0， 其周期Λ=2π/A=2πa/ ， 取决于光纤的结构参数(a, Δ)， 而与 入射角θ0无关。这说明不同入射角相应的光线， 虽然经历的 路程不同，但是最终都会聚在P点上，见图2.5和图2.2(b)， 这 种现象称为自聚焦(Self Focusing)效应。 渐变型多模光纤具有自聚焦效应，不仅不同入射角相应 的光线会聚在同一点上，而且这些光线的时间延迟也近似相 等。这是因为光线传播速度v(r)=c/n(r)(c为光速)，入射角大的 光线经历的路程较长，但大部分路程远离中心轴线，n(r)较小， 传播速度较快，补偿了较长的路程。入射角小的光线情况正 相反，其路程较短，但速度较慢。所以这些光线的时间延迟 近似相等。 2