深圳大学管理学院：《运筹学》课程教学资源（PPT课件讲稿）绪论 运筹学1类 基本概念和基本理论

20、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (1)m元函数:∫(x):R→R 线性函数:f()=c1x+b=2+b 二次函数:f(x)=(1/2)xTQx+cx 12)212a1x1x+E 向量值线性函数:F(x)=Ax+d∈m 其中A为m矩阵,m雄维向量 F(x)=(f(x0,f2(x) x 记a为4的第行向量,fx)=a1x

2.0、预备知识（续） 2、多元函数及其导数 (1) n元函数：f (x): R n → R 线性函数：f (x) = cTx + b =  ci xi + b 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b = (1/2)i j aij xi xj +  ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d  R m 其中 A为 mn矩阵，d为m维向量 F(x)=( f1 (x), f2 (x), … , fm(x) ) T 记 ai T为A的第i行向量，fi (x) = ai Tx

20、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (2)梯度(一阶偏导数向量) vfG=(af/axr, af/0x2, .,af/Bxn)ER 线性函数:f(x)=cx+b,Vf(x) 二次函数:∫(x)=(1/2)xTQx+cx+b Vf(=ox+c 向量值线性函数:Fx)=Ax+d∈m OF/Ox=AT

2.0、预备知识（续） 2、多元函数及其导数 (2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)＝( f / x1 ,  f / x2 , … ,  f / xn ) T R n . 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b  f (x) = Qx + c 向量值线性函数：F(x) = Ax + d  R m  F /  x = AT

20、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (3) Hesse阵(二阶偏导数矩阵) of/,2 af/a f/anaI Vf(x)=of/a, d, f/a? o/an,a olf/aan of/a, ar 线性函数:f(x)=c"x+b,V/(x)=0 二次函数:f(x)=12)xx+cx+b,V(x)

2.0、预备知识（续） 2、多元函数及其导数 (3) Hesse 阵（二阶偏导数矩阵）：  2 f /x1 2  2 f /x2 x1 …  2 f /xn x1  2 f (x)=  2 f /x1 x2  2 f /x2 2 …  2 f /xn x2 … … … …  2 f /x1 xn  2 f /x2 xn …  2 f /xn 2 线性函数：f (x) = cTx + b ,  2 f (x) = 0 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,  2 f (x)=Q

20、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (4)m元函数的 Taylor展开式及中值公式 设∫(x):R→R,二阶可导。在x*的邻内 ●一阶 Taylor展开式 fe-f(x)+ vf(r(x-x)+olkx-x" 二阶 Taylor展开式: f()=f()+ vf(x(x-x)+(/2)(x-x) Vf(x(x-x 0L/2 一阶中值公式:对xλ∈(0,1),使 f(r)=f( +[ Vf(x*+l(x-x )I(x-x%) ● Lagrange 余项:对x,3H∈(O,1),记=x*(xx f()=f(x+V/(y(xx)+(12)(xy)v2r=xy

2.0、预备知识（续） 2、多元函数及其导数 (4)n元函数的Taylor展开式及中值公式： 设 f (x): R n → R ，二阶可导。在x* 的邻域内 ⚫ 一阶Taylor展开式： f (x) = f (x*)+ f T (x*)(x-x*) + o‖x-x*‖ ⚫ 二阶Taylor展开式： f (x) = f (x*)+ f T (x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T  2 f (x*)(x-x*) + o‖x-x*‖ 2 ⚫ 一阶中值公式：对x,   (), 使 f (x) = f (x*)+ ［f (x*+(x-x*))] T (x-x*) ⚫ Lagrange余项：对x,   (), 记x =x*+ (x-x*) f (x) = f (x*)+ f T (x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T  2 f (x )(x-x*)

2.1数学规划模型的一般形式 in f(a) 目标函数 (S) st.x∈S 约束集合,可行集 其中,SsR',f:s→R,x∈S称(∫S)的可行解 最优解:x*∈S,满足f(x)≤∫(x),Vx∈S则称 x为(S)的全局最优解(最优解), 记gop.( global optimum,简记opt ●最优值:x为(fS)的最优解,则称f*=f(x)为 S)的最优值(最优目标函数值)

2.1 数学规划模型的一般形式 min f(x) --------目标函数 s.t. xS --------约束集合，可行集 其中，S  R n ，f :S → R，xS称（f S )的可行解 ⚫ 最优解: x*S，满足f (x*)≤ f (x),  xS。则称 x*为(f S)的全局最优解(最优解), 记 g.opt.(global optimum),简记 opt. ⚫ 最优值: x*为(f S)的最优解, 则称 f * = f (x*) 为 (f S)的最优值(最优目标函数值) ( f S )