必修二第六章万有引力与航天 第六章《万有引力与航天》知识提纲 知识网络 托勒密:地心说 人类对行哥白尼:日心说 星运动规〈开普勒「第一定律(轨道定律) 行星 第二定律(面积定律) 律的认识 第三定律(周期定律) 运动定律 万有引力定律的发现 万有引力定律的内容 万有引力定律F=6mmn2 引力常数的测定 万有引力定律称量地球质量M 万有引力 4 的理论成就 GT 4丌2R3 与航天 计算天体质量 =R. M 4丌2r 人造地球卫星 Mm 宇宙航行 宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度第二宇宙速度112km/s 地三宇宙速度16.7km/s 第1页共
必修二第六章万有引力与航天 第 1 页 共 13 页 第六章 《万有引力与航天》知识提纲 一、知识网络 托勒密：地心说 人类对行 哥白尼：日心说 星运动规 开普勒 第一定律（轨道定律） 行星 第二定律（面积定律） 律的认识 第三定律（周期定律） 运动定律 万有引力定律的发现 万有引力定律的内容 万有引力定律 F＝G 2 1 2 r m m 引力常数的测定 万有引力定律 称量地球质量 M＝ G gR2 万有引力 的理论成就 M＝ 2 2 3 4 GT r 与航天 计算天体质量 r＝R,M= 2 2 3 4 GT R M= G gR2 人造地球卫星 M= 2 2 3 4 GT r 宇宙航行 G 2 r Mm = m r v 2 mr 2 ma 第一宇宙速度 7.9km/s 三个宇宙速度 第二宇宙速度 11.2km/s 地三宇宙速度 16.7km/s
必修二第六章万有引力与航天 二、重点内容讲解 1、计算重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度,在忽略地球自转的情况下,可用万有引力定律来计算。 598*10 F引=G=6.67*10-11* (6730*10)=9.80ms2)=9.8V/kg 即在地球表面附近,物体的重力加速度g=9.8m/s2。这一结果表明,在重力作用下,物体 加速度大小与物体质量无关。 (2)即算地球上空距地面h处的重力加速度g’。有万有引力定律可得: GM GM g R 又 (R+h)2 g (R+h) r+h (3)计算任意天体表面的重力加速度g’。有万有引力定律得: g=CM(w为星球质量,R’卫星球的半径),又g=CM,:S=M:()3 R g M R 注意:在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系,万有引力的 另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很少,我们可以 忽略,所以在地球表面的物体F引=G 2、天体运行的基本公式 在宇宙空间,行星和卫星运行所需的向心力,均来自于中心天体的万有引力。因此万有 引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。 (1)向心力的六个基本公式,设中心天体的质量为M,行星(或卫星)的圆轨道半径为r, 则向心力可以表示为:F麻F=QM=m≤my2 =mr@-=mr(-)'=mr(2nf)=m@ve (2)五个比例关系:(r为行星的轨道半径) Mm 向心力:F=G 向心加速度:a=G a∝ CGM 得o=,GM mr()2:得T=221G.TVF3 第2页共
必修二第六章万有引力与航天 第 2 页 共 13 页 二、重点内容讲解 1、计算重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。 F 引=G 2 R M =6.67* 11 10 − * 3 2 24 (6730*10 ) 5.98*10 =9.8(m/ 2 s )=9.8N/kg 即在地球表面附近，物体的重力加速度 g＝9.8m/ 2 s 。这一结果表明，在重力作用下，物体 加速度大小与物体质量无关。 （2）即算地球上空距地面 h 处的重力加速度 g’。有万有引力定律可得： g’＝ 2 (R h) GM + 又 g＝ 2 R GM ，∴ g g' ＝ 2 2 (R h) R + ，∴g’＝ 2 ( ) R h R + g （3）计算任意天体表面的重力加速度 g’。有万有引力定律得： g’＝ 2 ' ' R GM （M’为星球质量，R’卫星球的半径），又 g＝ 2 R GM ，∴ g g' ＝ 2 ) ' ( ' R R M M • 。 注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的 另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很少，我们可以 忽略，所以在地球表面的物体 F 引=G 2、天体运行的基本公式 在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有 引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。 （1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为 M，行星（或卫星）的圆轨道半径为 r， 则向心力可以表示为：F 引=F 向， Fn ＝G 2 r Mm ＝ma＝m r v 2 =mr 2 =mr 2 ) 2 ( T =mr 2 (2f ) =m v。 （2）五个比例关系：（r 为行星的轨道半径） 向心力： Fn ＝G 2 r Mm ，F∝ 2 1 r ； 向心加速度：a=G 2 r M , a∝ 2 1 r ； ① G 2 r Mm ＝m r v 2 ； 得 v＝ r GM ，v∝ r 1 ； ②G 2 r Mm ＝m r 2 ；得 ＝ 3 r GM ， ∝ 3 1 r ； ③G 2 r Mm ＝mr 2 ) 2 ( T ； 得 T＝2 GM r 3 ，T∝ 3 r ；
必修二第六章万有引力与航天 (3)v与O的关系。在r一定时,v=ro,v∝o;在r变化时,如卫星绕一螺旋轨道远离或 靠近中心天体时,r不断变化,v、O也随之变化。根据,、11,这时v与O 为非线性关系,而不是正比关系 3、引力常量的意义 GM 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得:G =k.这实际 上是开普勒第三定律。它表明2=k是一个与行星无关的物理量,它仅仅取决于中心天体 的质量。在实际做题时,它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运 办,在处理人造卫星问题时,只要围绕同一星球运转的卫星,均可使用该公式。 4、估算中心天体的质量和密度 (1)中心天体的质量,根据万有引力定律和向心力表达式可得: 4丌2r3 M (2)中心天体的密度 方法一:中心天体的密度表达式p V=-mR(R为中心天体的半径),根据前 面M的表达式可得:p3m3 G。当r=R即行星或卫星沿中心天体表面运行时,p= G2。此时表面只要用一个计时工具,测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时 间,周期T,就可简捷的估算出中心天体的平均密度。 方法二:由GM进行估算,p M 3g G 4GTR 第3页共
必修二第六章万有引力与航天 第 3 页 共 13 页 （3）v 与 的关系。在 r 一定时，v=r ,v∝ ;在 r 变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或 靠近中心天体时，r 不断变化，v、 也随之变化。根据，v∝ r 1 和 ∝ 3 1 r ，这时 v 与 为非线性关系，而不是正比关系。 3、引力常量的意义 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G 2 r Mm ＝mr 2 ) 2 ( T ∴ k GM T r = = 2 2 3 4 .这实际 上是开普勒第三定律。它表明 k T r = 2 3 是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体 的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运 动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。 4、估算中心天体的质量和密度 （1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得： G 2 r Mm ＝mr 2 ) 2 ( T ， ∴M＝ 2 2 3 4 GT r （2）中心天体的密度 方法一：中心天体的密度表达式ρ＝ V M ，V＝ 3 4 3 R （R 为中心天体的半径），根据前 面 M 的表达式可得：ρ＝ 2 3 3 3 GT R r 。当 r＝R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝ 2 3 GT 。此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时 间，周期 T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。 方法二：由 g= 2 R GM ,M= G gR2 进行估算，ρ＝ V M ，∴ρ＝ G R g 4 3
必修二第六章万有引力与航天 5、稳定运行与变轨运行 (1)稳定运行: 某天体m围绕某中心天体M稳定做圆周运动时,始终满足F引=F向,即 GMm mmy 2 所以 GM 故r越大时,v越小;r越小时,v越 (2)变轨运行: GM 某天体皿最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足 ,由于某原因其v变大,此时 其所需要的向心力Fn=变大,万有引力F GMm 不足以提供向心力时,m就做离 心运动,运动到较高轨道2做稳定的圆周运动,此时v比原轨道1处的v小;反之,若在轨 道1处ⅴ突然变小时,将会到较低轨道3稳定运行,此时v比原轨道1要大 三、常考模型规律示例总结 1.对万有引力定律的理解 (1)万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体的 质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比,两物体间引力的方向沿着二者的连线 (2)公式表示:RC (3)引力常量G:①适用于任何两物体 ②意义:它在数值上等于两个质量都是1kg的物体(可看成质点)相距 1m时的相互作用力 ③G的通常取值为G=6。67×10Nm/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得 (4)适用条件:①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大 于每个物体的尺寸时,物体可看成质点,直接使用万有引力定律计算 ②当两物体是质量均匀分布的球体时,它们间的引力也可以直接用公式计算,但式中的r 是指两球心间的距离 ③当所研究物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个 质点与另一物体上所有质点的万有引力,然后求合力。(此方法仅给学生提供一种思路) (5)万有引力具有以下三个特性 ①普遍性:万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间 的相互吸引力,它是自然界的物体间的基本相互作用之一。 ②相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,符合牛顿第三定律 ③宏观性:通常情况下,万有引力非常小,只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在 才有宏观的物理意义,在微观世界中,粒子的质量都非常小,粒子间的万有引力可以忽略不 第4页共
必修二第六章万有引力与航天 第 4 页 共 13 页 5、稳定运行与变轨运行 （1）稳定运行： 某天体 m 围绕某中心天体 M 稳定做圆周运动时，始终满足 F 引=F 向，即： 2 2 GMm mv r r = 所以 v＝ r GM ，故 r 越大时，v 越小；r 越小时，v 越大； （2）变轨运行： 某天体 m 最初沿某轨道 1 稳定做圆周运动满足 2 2 GMm mv r r = ，由于某原因其 v 变大，此时 其所需要的向心力 2 n mv F r = 变大，万有引力 2 GMm F r 引 = 不足以提供向心力时，m 就做离 心运动，运动到较高轨道 2 做稳定的圆周运动，此时 v 比原轨道 1 处的 v 小；反之，若在轨 道 1 处 v 突然变小时，将会到较低轨道 3 稳定运行，此时 v 比原轨道 1 要大； 三、常考模型规律示例总结 1. 对万有引力定律的理解 （1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F= 2 1 2 r Gm m 。 （3）引力常量 G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体（可看成质点）相距 1m 时的相互作用力。 ③G 的通常取值为 G=6。67×10-11Nm2 /kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。 （4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大 于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的 r 是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个 质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性： ①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间 的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。 ②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在 才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不 计
必修二第六章万有引力与航天 〖例1〗设地球的质量为M,地球的半径为R,物体的质量为m,关于物体与地球间的万有引 力的说法,正确的是: A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力 物体距地面的高度为h时,物体与地球间的万有引力为F= B、物体放在地心处,因r=0,所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为R时,则引力为F= GMm 4R 〖答案〗D 〖总结〗(1)矫揉造作配地球之间的吸引是相互的,由牛顿第三定律,物体对地球与地球对 物体的引力大小相等 (2)F= 中的r是两相互作用的物体质心间的距离,不能误认为是两物体表面间 的距离。 (3)F=Gmm适用于两个质点间的相互作用,如果把物体放在地心处,显然地球已不能 看为质点,故选项C的推理是错误的。 〖变式训练1】对于万有引力定律的数学表达式F=Omm2,下列说法正确的是 A、公式中G为引力常数,是人为规定的。 B、r趋近于零时,万有引力趋于无穷大 C、m、m之间的引力总是大小相等,与m、m的质量是否相等无关。 D、m、m之间的万有引力总是大小相等,方向相反,是一对平衡力。 〖答案〗C 第5页共
必修二第六章万有引力与航天 第 5 页 共 13 页 〖例 1〗设地球的质量为 M，地球的半径为 R，物体的质量为 m，关于物体与地球间的万有引 力的说法，正确的是： A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。 A、 物体距地面的高度为 h 时，物体与地球间的万有引力为 F= 2 h GMm 。 B、 物体放在地心处，因 r=0，所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为 R 时，则引力为 F= 2 4R GMm 〖答案〗D 〖总结〗（1）矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对 物体的引力大小相等。 （2）F= 2 1 2 r Gm m 。中的 r 是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间 的距离。 （3）F= 2 1 2 r Gm m 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能 看为质点，故选项 C 的推理是错误的。 〖变式训练 1〗对于万有引力定律的数学表达式 F= 2 1 2 r Gm m ，下列说法正确的是： A、公式中 G 为引力常数，是人为规定的。 B、r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。 C、m1、m2 之间的引力总是大小相等，与 m1、m2 的质量是否相等无关。 D、m1、m2 之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 〖答案〗C