定理一的条件太强,不便于实际应用。下面给出一个局部 收敛定理 定理二:如果(x2)连续,(x2)≤L<1,则x∈N6(x2 由迭代(6-1-D产产生的数{xm}均收敛收敛 n n+1 或 1-X0 般迭代法只有理论上的意义,因为迭代函数φ(x)通常不 易构造
定理一的条件太强，不便于实际应用。下面给出一个局部 收敛定理。 0 x 1 x 1 L Ln * x n x x n 1 x n 1 L * 1 x n x 6 -1-1 x n ) * (x δ N 0 ) L 1 , x * ) (x * : (x − − − − − + − 或 由迭代（ ） 产产生的数 均收敛收敛 定理二 如果 连续， 则 ， 一般迭代法只有理论上的意义，因为迭代函数 通常不 易构造。 (x)
三、牛顿迭代法 设f(x)在其零点的邻域N。(x*)内有直到二阶连续导数 且f(x)≠O,x∈N。(x*)则xo∈Ns(x*迭代算法 f(n) n=0.1.2 (6-1-1) 产生的数列xn少平方收敛于 称算法(6-1-1)为牛顿迭代法。 证明:(x)=x ,则x∈N(x)f(x)=0<x=0(x) 0(x)=1-"(x) f1y(x):D(x)=0牛顿迭代收敛 又 :xn+1- 0p(xn)-0(x) -xsy"(=c至少三阶收敛
三、牛顿迭代法 . , 0,1,2, . ( ) ( ) ( ) 0 ( ). ( ), ( ) ( ) * 1 * 0 * * * x x n f x f x x x f x x N x x N x f x x N x n n n n n 产生的数列 至少平方收敛于 且 ， 则 迭代算法 设 在其零点 的邻域 内有直到二阶连续导数， (6 -1-1 ) = = − + 称算法（6-1-1）为牛顿迭代法。 至少二阶收敛。 又 牛顿迭代收敛 证明：令 则 , 2 ( ) ( ) ( ) ; 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, [ ( )] ( ) ( ) 1 , ( ), ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * * 1 * * * 2 1 * 2 * c x x x x x x x x x x f x x f x f x x x N x f x x x f x f x x x n n n n n = − − − − = − = = = − = = = − + +
注: (1)牛顿迭代法是局部收敛的,由于。(x*)的未知性,使得 初始迭代点的选择很困难 (2)要求'(x*)≠0,说明牛顿迭代法求单榧效且平方收敛。能 重根吗? (3)牛顿迭代法中每一步蒜导数(xn)这对实际应用带来一的 困难。 关于初值的问题: 般来说釆用试探法,但对于一些实际问题初值的选择并 不困难,它是明确的。 关于重根的问题: 设x是f(x)的m重零点⑩m>1此时 f(x=(x-xmg(x),g(x)#0 f(x)=m(x-x"m-Ig(x)+i(x-x)g(x)
困难。 （ 牛顿迭代法中每一步需求导数 这对实际应用带来一定的 重根吗？ （ ）要求 说明牛顿迭代法求单根有效且平方收敛。能求 初始迭代点 的选择很困难。 （ ）牛顿迭代法是局部平方收敛的，由于 的未知性，使得 注 ： ( ), ( ) 0, ( ) * 0 * n f x f x x N x 3 ) 2 1 关于初值的问题： 一般来说采用试探法，但对于一些实际问题初值的选择并 不困难，它是明确的。 关于重根的问题： m 1 ) ( ) ( )], 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, ( ) , * 1 * * * * x x g x m f x m x x g x f x x x g x g x x f x m m m = − + − = − − 设 是 的 重零点（ 此 时
f(x=m(x-x m-ih(x) h(x)=g(x)+1(x-x)g(x),h(x*)≠0, f(x) ∴Q(x)=x xr-(x-x g(r)/h(x) xX o(x)=1-1,p(x2) 牛顿迭代线性收敛,随m的增加收敛性越来越差 重根时的改进 (1)重数m已知时,选伐n=xnm…(6-1-2)至少平方收敛 (2)通常重数不知道,个实用的方法是: 令从(x)=f(x)则(x)=0分(x)=0,且x是(x)单重零点。 迭代n+1=x 1(xn) (6-1-3)至少平方收敛 u(n)
牛顿迭代线性收敛，且随m的增加收敛性越来越差。 m x m x x-x g x h x m x f x f x x x x x g x h x m h x g x f x m x x h x * m = − = − = − = − = + − = − − 1, 1 , ( ) 1 1 ( ) 1 ) ( )/ ( ), 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * 1 ( 重根时的改进： 则 ， 且 是 的单重零点。 ） 令 （ ）通常重数不知道，一个实用的方法是： 至少平方收敛。 ） （ ）重数 已知时，迭代 , ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( * 1 f x x x x f x f x x f x f x m x x m n n n n = = = + = − 2 1 (6 -1- 2 ) 迭 代 (6 -1- 3)至少平方收敛。 ( ) ( ) 1 n n n n x x x x + = −