2019/1031 多自由度系统 主振型 由(K-2M)A=0 当特征方程有n个互异的特征根时,对应于每个特征值,或每个固有频率a,都 存在一个特征向量Am与之一一对应,并且这些特征向量线性无关 因为x=fPim(a+)=4 in(@ to 特征向量A反映了系统以固有频率n作自由振动时各质点的振幅 2(接个折主只与练本国有的物理性练愤和精有关淘与式 它条件无关 蔬定延大 多自由度系统 主振型 若A是方程的解,则将其乘以任意非零常数后亦为原方程的解。所以主振型只 是确定系统按某阶固有頻率自由振动时的各坐标位移的比值,振幅的大小则为任意 值,但主振型的形态是确定的 为确定起见,通常令主振型向量的第一个元素A()为1,以确定其他未知元 素,这称为归 于n自由度的系统,存在n个固有频率和相应n个主振型。A()被称为r阶主 振型(模态),其对应的系统运动称为r阶主振动 当特征方程有n个互异的特征根时,对应于每个特征值,或每个固有频率onr, 都存在一个主振型向量A()与之一一对应,并且这些主振型向量线性无关 将各主振型向量按固有频率由小到大的顺序,按列排在一个方阵里,组成主振型 A1A2…A AnA2…Am 11
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2019/1031 多自由度系统 主坐标 以主振型矩阵为坐标变换矩阵 将X=Q代入到方程M+KX=P(r)中 wo+Koo=P(r) 两边左乘中 MΦQ+KoQ=①P(r) M,2+K,2=P( 用主振型矩阵Φ作为坐标变换矩阵,可以使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化,使耦 合的运动方程解耦 主坐标:使系统运动微分方程完全解耦的坐标,称为主坐标 新的广义坐标Q就是主坐标(模态坐标),对应于该广义坐标的广义质量矩阵M和 广义刚度矩阵κ。,分别称为主质量矩阵(模态质量矩阵)和为主刚度矩阵(模态刚 度矩阵),P。称为模态坐标Q下的广义激振力向量 蔬定延大 多自由度系统 在广义坐标Q下,原方程可化为 0 0 P2() mplM m29:+9:=P2:() 程完全解耦,可按单自由度振动系统的求解方法求出系统在模态坐标下的响应Q 再将其代入坐标变换式中,得出原物理坐标下的响应X 对于n自由度线性振动系统,总可以找到n个相互正交的主振型向量,构成向量空间的 个基(模态坐标系)。在模态坐标下,无阻尼多自由度方程可完全解耦。 12
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2019/1031 多自由度系统 物理坐标下的系统的振动响应可唯一地表示为各阶模态的线性组合 x=Q=9A+9242+…+9n,A=∑g 即系统的振动为n阶主振动的叠加 物理坐标x-{xx2…x了模态坐标Q=4%了 坐标变换坐标④=AA2…A Y=((g=A"4 上式的物理意义 广义物理坐标下的向量X是系统各阶主振型的线性组合,即系统的任何运动都是各 主振型按照一定比例的叠加,各阶主振型前的比例系数即为向量X在新广义坐标系Q 下的坐标值φ,即模态坐标值φ代表了第阶主模态对运动的贡献 ③定大孝 多自由度系统 X=O 物理空间 模态空间 MX+KY=P(t) M,Q+K02=P(0) 方程耦合 x=0O方程解耦
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2019/1031 多自由度系统 多自由度系统的响应 假设无阻尼系统各坐标上作用同频率、同相位的简谐力 MX+KX=P()=P sinor X=Bsin of (K-O'M)B=P H(o)称为频响函数矩阵或动柔度矩阵 B=H(o)B→X=H(o)B K-oM 蔬定延大 多自由度系统 多自由度系统的响应 假设有阻尼系统各坐标上作用同频率、同相位的复筒谐激振力 M+CX+KX=P(=Pe X=Bsin ot (K+ioC-oM B=P H(O)称为频响函数矩阵或动柔度矩阵。 B=H(o)P→X=H(o)Pe X(o)=H(oP(o x()=x(o)e dt=H(o)P(o)e"dr
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2019/1031 多自由度系统 多自由度系统固有特性的计算方法 口矩阵迭代法 口子空间迭代法 口瑞利能量法 口邓克莱法 口传递矩阵法 蔬定延大 第5章机械振动基础 单自由度系统 二自由度系统 多自由度系统 >随机振动的响应分析 15
2019/10/31 15 多自由度系统 第5章 机械振动基础 ➢ 单自由度系统 ➢ 二自由度系统 ➢ 多自由度系统 ➢ 随机振动的响应分析 29 30