2019/1031 二自由度系统 状态向量 ,其 状态向量形式 s-立 Cx+D 蔬定延大 第5章机械振动基础 单自由度系统 二自由度系统 多自由度系统 随机振动的响应分析
2019/10/31 6 二自由度系统 第5章 机械振动基础 ➢ 单自由度系统 ➢ 二自由度系统 ➢ 多自由度系统 ➢ 随机振动的响应分析 11 12
2019/1031 多自由度系统 口多自由度系统是指必须通过两个以上的独立广义坐标才能描 述系统运动特性的系统。 口多自由度系统与单自由度系统相比除自由度数量上的增加 外,两者之间还有着质的区别。后者的系统固有特性只有固有 频率;而前者除了固有频率外还有固有振型 口多自由度系统振动是用二阶微分方程组来描述的,各方程间 在变量上存在“耦合”现象。耦合在力学上指系统质量间存在 力的联系,在数学上就是一个微分方程包含多个变量及其导数 口多自由度系统求解一般需借助计算机进行数值求解。工程应 用中常釆取模态分析方法,利用模态矩阵进行坐标变换,将描 述系统的原有坐标用一组新的特定坐标来代替,使系统的振动 微分方程转变成一组相互独立的二阶常微分方程组 蔬定延大 例 振动系统微分方程为 me I+me20pLk a2-ka, ka2+k2 a20DLo 惯性耦合 弹性耦合
2019/10/31 7 多自由度系统 例： 振动系统微分方程为： 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 D D c D D m me x k k k a k a x me I me k a k a k a k a + − + = + − + 惯性耦合 弹性耦合 D C e a1 a2 l A B k1 k2 l1 l2 13 14
2019/1031 B 如果D点选在质心C,则有 0x「k+k2k -C 只存在弹性耦合,而不出现惯性耦合 ③定大孝 k 如果D点选在某特殊位置(转动中心)时,使ka2=k1,则有: 「k+k0 Ie+me 0 k4+ka6 只存在惯性耦合,而不出现弹性耦合
2019/10/31 8 D C e a1 a2 l A B k1 k2 l1 l2 D C e a1 a2 l A B k1 k2 l1 l2 15 16
2019/1031 多自由度系统 结论 耦合的表现形式取决于广义坐标的选择,不同的坐标系 下,方程有不同的耦合形式 问题: 能否找到这样一种坐标系,使得系统的运动微分方程既 不岀现惯性耦合,也不出现弹性耦合 下面我们介绍模态分析方法。 蔬定延大 多自由度系统 固有频率 无阻尼n自由度系统自由振动微分方程为: MX+KX=0 假设系统偏离平衡位置作自由振动时,存在各x除了振幅值不同外 频率、同一相位角,作简谐振动的特解 假设方程的解为X=Asin(o1+9) 其中X=
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2019/1031 多自由度系统 固有频率 x=-Asin(a1+)代入原方程 (K-a2M)4=0 特征矩阵H=K-o2M A=0有n元线性齐次代数方程组有非零解的条件是系数行列式等于零 H|=|K-oM=0 k -om P mat k 蔬定延大 多自由度系统 固有频率 将行列式展开得到关于ω的n阶多项式,由于质量矩阵为正定矩阵,刚度 矩阵为正定或半正定矩阵,一般由特征方程可解得n个大于或等于零的实根 (零根出现在系统为半正定时),称为系统的特征值( eigenvalue)。将特征值 代入方程可解出对应的列向量A,将A称为为特征向量( (eigenvector)。 特征值一般互不相等,特殊情况下有重根 若无零根,且互不相等,开方后按由小到大的次序排列为 分别称为一阶固有频率、二阶固有频率、…和n阶固有频率 系统的固有频率只与系统本身固有的物理性质(惯性和弹性)有关,而与 其它条件无关
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