学 、随机变量 随机变量X是定义在样本空间g2={o1,0)2,,on}上 的一个函数,这个函数的取值随试验的结果不同而 变化。这个函数还要求满足条件:对任意的实数x, X<x是随机事件。如果随机变量所有可能的取值是 有限的,或可排成一列的,这种随机变量称为离散 型随机变量;另一种情况是随机变量的取值范围是 个区间或整个数轴,这种随机变量称为连续型随 机变量。 离散型随机变量的概率分布 设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,… xn,…,相应的概率为p(x1),p(x2),…,p(xn)2。用 表格统一表示出来是: 4-11
4-11 二、随机变量 ◼ 随机变量X是定义在样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}上 的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不同而 变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数x， X<x是随机事件。如果随机变量所有可能的取值是 有限的，或可排成一列的，这种随机变量称为离散 型随机变量；另一种情况是随机变量的取值范围是 一个区间或整个数轴，这种随机变量称为连续型随 机变量。 ◼ 1. 离散型随机变量的概率分布 ◼ 设离散型随机变量X的所有可能取值为x1, x2，…, xn, …，相应的概率为p(x1)，p(x2),…,p(xn),…。用 表格统一表示出来是：
学 X XI 2 。Xn Pp(x1)p(x2)….p(xm) 这称为离散型随机变量X的概率分布 性质:(1)0≤p(xi1(i=1,2,…); (2)∑p(x)=1 定义:离散型随机变量X的期望值为 4=E(X)=∑x,p(x,) 性质:E(x1+BK2)=aE(x1)+BE(x2) 其中X1,X2都是随机变量,a,阝是在意常数 4-12
4-12 X x1 x2 … xn … P p(x1) p(x2) … p(xn) … ◼ 这称为离散型随机变量X的概率分布。 ◼ 性质：(1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)； ◼ (2) ◼ 定义: 离散型随机变量X的期望值为 ◼ ◼ 性质： ◼ 其中X1，X2都是随机变量，α，β是任意常数。 ( ) = i i p x 1 = ( ) = ( ) I i i E X x p x ( ) ( ) ( ) E X1 X 2 E X1 E X 2 + = +
定义:离散型随机变量X的方差为 a2=D(X)=B(X-)=∑(x-)2p(x) 方差的平方根o称为标准差。 方差a或标准差σ反映随机变量X相对其期望 值的 ■离散程度,σ2或σ越小,说明期望值的代表性 越好;σ2或σ越大,说明期望值的代表性越差。 性质:对于任意的,D(aX)=a2D(X)成立 4-13
4-13 ◼ 定义: 离散型随机变量X的方差为 ◼ 方差的平方根σ称为标准差。 ◼ 方差σ 2或标准差σ反映随机变量X相对其期望 值的 ◼ 离散程度，σ 2或σ越小, 说明期望值的代表性 越好；σ 2或σ越大，说明期望值的代表性越差。 ◼ 性质：对于任意的α，D(αX)=α2 D(X) 成立 = = ( − ) = ( − ) ( ) i i i D X E X x p x 2 2 2 ( )
学 贝努里试验与二项分布 有时我们只对试验中某事件A是否出现感兴趣,如 果A发生,我们称“成功”,否则称“失败”。像 这样只有两种结果的试验称为贝努里试验。设A出 现的概率为p,我们独立地重复进行n次贝努里试验, 称为n重贝努里试验以Bk表示n重贝努里试验中事件 A正好出现k次这一事件,则 p(Bk)=Ckp* k (k=0,1,2,…,n) 该分布称为二项分布(q=1-p) NOTE: ∑P(B)=∑Cpq=∑(p+q)=1 k=0 k=0 k=0 4-14
4-14 ◼ 贝努里试验 与二项分布 ◼ 有时我们只对试验中某事件A是否出现感兴趣，如 果A发生，我们称“成功”，否则称“失败”。像 这样只有两种结果的试验称为贝努里试验。设A出 现的概率为p，我们独立地重复进行n次贝努里试验， 称为n重贝努里试验.以Bk表示n重贝努里试验中事件 A正好出现k次这一事件，则 (k=0,1,2,…，n) ◼ 该分布称为二项分布( q= 1- p ). ◼ NOTE: ( ) k k n k k n p B C p q − = ( ) ( ) 1 0 0 0 = = + = = − = = n k n k n n k k k n n k k P B C p q p q
2.连续型随机变量的概率分布 设X是RV,x是一实数.记 aF(x)=P(X<x)。该函数就是随机变量X的分布 函数。分布函数的导数称为密度函数,记作 p(x )o 性质 (1)p(x)≥0 2) p(x)dx=1 3) p(a<x<b)=p(x)dx 4-15
4-15 ◼ 2. 连续型随机变量的概率分布 ◼ 设X是R.V., x 是一实数. 记 ◼ F(x)=P(X<x)。该函数就是随机变量X的分布 函数。分布函数的导数称为密度函数，记作 p(x )。 ◼ 性质 ◼ (1) p(x)≥0 ◼ (2) ◼ (3) ( ) = − p x d x 1 = b a p(a X b) p(x) d x a b x P(a≤x<b)