第六章附录—图形变换 6.1数学基础 1.矢量运算 矢量是一有向线段,具有方向和大小两个参数。设有两个矢量V1(x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2)。 1)矢量的长度 =(x1*x1,y1*,21*2y2 2)数乘矢量 av=(ax,,ay,az,) 3)两个矢量之和 +v2=(x1,y1,z1)+(x2,y22)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 2 V: 4)两个矢量的点积 72=V‖ c0s=x1*x211米y2+21米22,6为两向量之间的夹 点积满足交换律和分配律 1V2=v2V1(2+v3)=吃1+ 5)两个矢量的叉积 ×2=1y121|=(n2-2,2一2,y2-2n) y2 Z2 叉积满足反交换律和分配律 Ⅵ×V2=-V2××(2+73)=×2+ V,xV2 2.矩阵运算 设有一个m行n列矩阵A 计算机图形学第六章第177页共14页
计算机图形学 第六章 第 177 页 共 14 页 第 第六章 附录——图形变换 6.1 数学基础 1. 矢量运算 矢量是一有向线段，具有方向和大小两个参数。设有两个矢量 V1（x1，y1，z1），V2（x2，y2，z2）。 1) 矢量的长度 2) 数乘矢量 3) 两个矢量之和 4) 两个矢量的点积 ， 为两向量之间的夹 角。 点积满足交换律和分配律 5) 两个矢量的叉积 叉积满足反交换律和分配律 2. 矩阵运算 设有一个 m 行 n 列矩阵 A
其中(a1,a12,03,i)被称为第i个行向量,142,3” 被称为第j个列向量 1)矩阵的加法运算 设两个矩阵A和B都是mxn的,把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A、B的和 记为A+B 1+h1 12 a.+b. Atb= a,+b, al m2+b 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。 2)数乘矩阵 用数k乘矩阵A的每一个元素而得的矩阵叫做k与A之积,记为kA k kA 3)矩阵的乘法运算 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 Cmom=Ar,Bpxn 矩阵C中的每一个元素 下面让我们用一个简单的例子来说明,设A为2x3的矩阵,B为3x2的矩阵,则两者的乘积 bu b C=A·B a1h1+a121+a12a142+a12+a122 at am a 4)单位矩阵 对于一个nxn的矩阵,如果它的对角线上的各个元素均为1,其余元素都为0,则该矩阵称 为单位阵,记为In。对于任意mxn的矩阵恒有 5)矩阵的转置 交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素,那么所得到的nxm的矩阵被称为原有矩阵的转 记为A 计算机图形学第六章第178页共14页
计算机图形学 第六章 第 178 页 共 14 页 其中 被称为第 i 个行向量， 被称为第 j 个列向量。 1) 矩阵的加法运算 设两个矩阵 A 和 B 都是 mxn 的，把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做 A、B 的和， 记为 A＋B 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。 2) 数乘矩阵 用数 k 乘矩阵 A 的每一个元素而得的矩阵叫做 k 与 A 之积，记为 kA 3) 矩阵的乘法运算 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 ，矩阵 C 中的每一个元素 。 下面让我们用一个简单的例子来说明，设 A 为 2x3 的矩阵，B 为 3x2 的矩阵，则两者的乘积 为： 4) 单位矩阵 对于一个 nxn 的矩阵，如果它的对角线上的各个元素均为 1，其余元素都为 0，则该矩阵称 为单位阵，记为 In。对于任意 mxn 的矩阵恒有 5) 矩阵的转置 交换一个矩阵 Amxn 的所有的行列元素，那么所得到的 nxm 的矩阵被称为原有矩阵的转置， 记为 A T：
是然(4)=A(A+B)=(A+B)(=k 但是对于矩阵的积:(A:B)=B7A 6)矩阵的逆 对于一个nxn的方阵A,果存在一个nxn的方阵B,使得AB=BA=In,则称B是A的逆,记为 B=a. A则被称为非奇异矩阵 矩阵的逆是相互的,A同样也可记为 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。 A=B_,B也是一个非奇异矩阵。 7)矩阵运算的基本性质 A.矩阵加法适合交换律与结合律 A+b=bta A+(B+C)=(A+B)+C B.数乘矩阵适合分配律与结合律 a(A+B)=CA+aB a(A·B)=(a·A)·B=A·aB 矩阵的乘法适合结合律 A(B·C)=(A·B)C D.矩阵的乘法对加法适合分配律 (A+ B)C=AC BC C(A+B)=CA+CB E.矩阵的乘法不适合交换率 A·B≠B·A 3.齐次坐标 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n1维向量来表示。如向量(x2,x2,,xn)的 齐次坐标表示为7x2,…,hx m”,其中h是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯 一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点,比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1表示的都是 二维点[2,1]。 那么引进齐次坐标有什么必要,它有什么优点呢? 它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法 A.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0,实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次 坐标[a.b,保持a.b不变,”时轴的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线ax+y=0 逐渐走向无穷远处的过程。 4线性方程组的求解 对于 个有n个变量的方程组: a11+a12x2+…+ a21+a22x2+…+a b2 x1+ 计算机图形学第六章第179页共14页
计算机图形学 第六章 第 179 页 共 14 页 显然 但是对于矩阵的积： 6) 矩阵的逆 对于一个 nxn 的方阵 A，果存在一个 nxn 的方阵 B，使得 AB=BA=In，则称 B 是 A 的逆，记为 ，A 则被称为非奇异矩阵。 矩阵的逆是相互的，A 同样也可记为 ，B 也是一个非奇异矩阵。 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。 7) 矩阵运算的基本性质 A.矩阵加法适合交换律与结合律 B.数乘矩阵适合分配律与结合律 C.矩阵的乘法适合结合律 D.矩阵的乘法对加法适合分配律 E.矩阵的乘法不适合交换率 3. 齐次坐标 所谓齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示。如向量 的 齐次坐标表示为 ，其中 h 是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯 一的，齐次坐标的 h 取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是 二维点[2,1]。 那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？ .它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 A.它可以表示无穷远的点。n+1 维的齐次坐标中如果 h=0，实际上就表示了 n 维空间的一个无穷远点。对于齐次 坐标[a,b,h]，保持 a,b 不变， 的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。 4. 线性方程组的求解 对于一个一个有 n 个变量的方程组：
可将其表示为矩阵形式:AX=B,A为系数矩阵。该方程有唯一解的条件是A是非奇异矩阵, 则方程的解为 X=AB 2几何变换 1.窗口区到视图区的坐标变换 实际的窗口区与视图区往往不一样大小,要在视图区正确地显示形体的,必须将其从窗口区变换到视图区 Y个 yt yb vtb K WXr 窗口区 视图区 由比例关系,两者的变换公式为 Rv-vxls vxr-vx/ wxr-wxl vyt-vyb y b wyb t- wyb 可以简单地将两者的关系表示为 x=a·xm+b y =Cyw+ 其中 uxr-vxl 1了-1 uxr-vxl b=vxl wixr-wxi t- vtb wyt -wy d= vyb-vyt-vyb b t-wyb 计算机图形学第六章第180页共14页
计算机图形学 第六章 第 180 页 共 14 页 可将其表示为矩阵形式：AX=B，A 为系数矩阵。该方程有唯一解的条件是 A 是非奇异矩阵， 则方程的解为： 6.2 几何变换 1. 窗口区到视图区的坐标变换 实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。 由比例关系，两者的变换公式为： 可以简单地将两者的关系表示为： 其中：
用矩阵表示为 2.二维图形的几何变换 正如我们在附录中提到的那样,用齐次坐标表示点的变换将非常方便,因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐 标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是: C g h: i 这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。 a b 可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换 是对图形进行平移变换 图形作投影变换 则是对图形整体进行缩放变换 1)平移变换 0 tr x +t 01 y+t,=T(t,, t 1|001 2)缩放变换 001x S(x,3,)y 3)旋转变换 在直角坐标平面中,将二维图形绕原点旋转b角的变换形式如下: cose sIn x cos 6-ysin sing cosg oy=xsing+y cos 0=R(ely 0 0 逆时针旋转口取正值,顺时针旋转如负值。 计算机图形学第六章第181页共14页
计算机图形学 第六章 第 181 页 共 14 页 用矩阵表示为： 2. 二维图形的几何变换 正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐 标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是： 这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。 其中 可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换； 是对图形进行平移变换； 是对 图形作投影变换； 则是对图形整体进行缩放变换。 1）平移变换 2）缩放变换 3）旋转变换 在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转 角的变换形式如下： 逆时针旋转 取正值，顺时针旋转 负值