3.14 NURBS曲线与曲面 B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力,然而在表示与设计初等曲线曲面时时 却遇到了麻烦。因为B样条曲线包括其特例的 Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线,B样条曲 面包括其特例的 Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面,而只能给出近似表示。提出 NURBS方法, 即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次 曲线弧与二次曲面的数学方法。 NURBS方法的主要优点 (1)既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面),又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了 个公共的数学形式。 (2)修改控制顶点和权因子,为各种形状设计提供了充分的灵活性 (3)具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术(包括节点插入、细分、升阶等)。 (4)对几何变换和投影变换具有不变性 (5)非有理B样条、有理与非有理 Bezier方法是其特例 不过,目前应用 NURBS中还有一些难以解决的问题: (1)比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间,如空间圆需7个参数(圆心、半径、法矢),而NRBS 定义空间圆需38个参数 (2)权因子选择不当会引起畸变 (3)对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 (4)反求曲线曲面上点的参数值的算法,存在数值不稳定问题 3.1.4.1 NURBS曲线的定义 NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的 O,PN(t) P(t) =∑22(t) o),Nk(t) O, Nk(t) 其中,Rk(t)(i=0,1,…,n)称为k阶有理基函数,Nk(t)是k阶B样条基函数,P1(i=0,1,,n)是特 征多边形控制顶点位置矢量;wi是与P对应的权因子,首末权因子wo,wx>0,其余w0,以防止分母为 零及保留凸包性质、曲线不因权因子而退化为一点:节点矢量为T=[t,t, t,…,tmk],节点个数 是m=n+k+1(n为控制项的点数,k为B样条基函数的阶数)。 T=[a,…;a,t+,…,tn,B,;,/ 对于非周期 NURBS曲线,常取两端节点的重复度为k,即有 在大多数实际应用中,a=0,b=1。P(1)在k1m+1区间上是一个k-1次有理多项式,P()在整条曲线 上具有k-2阶连续性,对于三次B样条基函数,具有C连续性。当n=k-1时,k阶NRBS曲线变成k-1次有 理 Bezier曲线,k阶 NURBS曲线的节点矢量中两端节点的节点重复度取成k+1就使得曲线具有同次有理 Bezier 曲线的端点几何性质 Rk(t)具有k阶B样条基函数类似的性质: (1)局部支承性:R(t)=0,t[t,ti] ∑Rk(u)=1 (2)权性 (3)可微性:如果分母不为零,在节点区间内是无限次连续可微的,在节点处(k-1-r)次连续可导,r 是该节点的重复度 (4)若w=0,则Rk(t)=0: 5)若W=+￥,则Rk(t)=1 (6)若w产+￥,且ji,则R.k(t)=0 计算机图形学第三章(2)第47页共26页
计算机图形学 第三章(2) 第 47 页 共 26 页 3.1.4 NURBS 曲线与曲面 B 样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力，然而在表示与设计初等曲线曲面时时 却遇到了麻烦。因为 B 样条曲线包括其特例的 Bezier 曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B 样条曲 面包括其特例的 Bezier 曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。提出 NURBS 方法， 即非均匀有理 B 样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的 B 样条方法既相统一、又能精确表示二次 曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS 方法的主要优点： （1）既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一 个公共的数学形式。 （2）修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。 （3）具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术(包括节点插入、细分、升阶等)。 （4）对几何变换和投影变换具有不变性。 （5）非有理 B 样条、有理与非有理 Bezier 方法是其特例。 不过，目前应用 NURBS 中还有一些难以解决的问题： （1）比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间，如空间圆需 7 个参数(圆心、半径、法矢)，而 NURBS 定义空间圆需 38 个参数。 （2）权因子选择不当会引起畸变。 （3）对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 （4）反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题。 3.1.4.1 NURBS 曲线的定义 NURBS 曲线是由分段有理 B 样条多项式基函数定义的： 其中，Ri,k(t)（i=0,1,…,n）称为 k 阶有理基函数，Ni,k(t)是 k 阶 B 样条基函数，Pi（i=0,1,…,n）是特 征多边形控制顶点位置矢量；w i是与 Pi对应的权因子，首末权因子 w 0，w n>0，其余 w i³0，以防止分母为 零及保留凸包性质、曲线不因权因子而退化为一点；节点矢量为 T＝[t0, t1, … , ti, …, tn+k]，节点个数 是 m=n+k+1（n 为控制项的点数，k 为 B 样条基函数的阶数）。 对于非周期 NURBS 曲线，常取两端节点的重复度为 k，即有： ， 在大多数实际应用中，a =0, b =1。P(t)在 区间上是一个 k-1 次有理多项式，P(t)在整条曲线 上具有 k-2 阶连续性，对于三次 B 样条基函数，具有 C 2连续性。当 n=k-1 时，k 阶 NURBS 曲线变成 k-1 次有 理Bezier曲线，k阶NURBS曲线的节点矢量中两端节点的节点重复度取成k+1就使得曲线具有同次有理Bezier 曲线的端点几何性质。 Ri,k(t)具有 k 阶 B 样条基函数类似的性质： （1）局部支承性：Ri,k(t)=0，tÏ[ti, ti+k]； （2）权性： ； （3）可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在节点处 (k-1-r)次连续可导，r 是该节点的重复度。 （4）若 w i=0，则 Ri,k(t)=0； （5）若 w i=+¥ ，则 Ri,k(t)=1； （6）若 w j=+¥ ，且 j¹i，则 Ri,k(t)=0；
(7)若w产1,j=0,1,…,n,则 k(t)=N(t) 是B样条基函数:若w1,j=0,1,…,n,且 7={0 k+1 01,:3)RA()=BA() Bk(t)是 Bernstein基函数。 Rk(t)与Nk(t)具有类似的性质,导致NRBS曲线与B样条曲线也具有类似的几何性质 (1)局部性质。k阶NUBS曲线上参数为 ∈[t,t +/c k-1n+1 P( 点()至多与k个控制顶 点P及权因子 O,(=-k+1,…,) 有关,与其它顶点和权因子无关;另一方面,若移动k次 NURBS 曲线的一个拉制顶点或改变所联系的权因子仅仅影响定义在区同,4+=[t4,m]上那部分曲线 (2)变差减小性质。 3)凸包性,定义在非零节点区间∈[,+]<[1n]上曲线段位于定义它的k1个控制顶点 的凸包内。整条NRBS曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子 的非负性,保证了凸包性质的成立。 (4)在仿射与透射变换下的不变性。 (5)在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性 (6)如果某个权因子2为零,那么相应控制顶点2对曲线没有影响。 D.→)∞ (7)若 则当 t∈[t1,t1 P(t)=P (8)非有理与有理 Bezier曲线和非有理B样条曲线是 NURBS曲线的特殊情况 3.1.4.2齐次坐标表示 为了便于讨论,我们考虑平面NRBS曲线的情况。如图3.1.34所示,如果给定一组控制顶点 弓=(x1,y)=0,…,n) 及对应的权因子O(=01,…,n) ,则在齐次坐标系xyw中的控制顶 点为F=(x,0,y,)=01…,n) 齐次坐标下的k阶非有理B样条曲线可表示为: P (t)=P Nk(t) 若以坐标原点为投影中心,则得到平面曲线 @,PNk(t, (t) 计算机图形学第三章(2)第48页共26页
计算机图形学 第三章(2) 第 48 页 共 26 页 （7）若 w j=1，j=0,1,…,n, 则 是 B 样条基函数；若 w j=1，j=0,1,…,n，且 则 ，Bi,k(t)是 Bernstein 基函数。 Ri,k(t)与 Ni,k(t)具有类似的性质，导致 NURBS 曲线与 B 样条曲线也具有类似的几何性质： （1）局部性质。k 阶 NURBS 曲线上参数为 的一点 至多与 k 个控制顶 点 Pi及权因子 有关，与其它顶点和权因子无关；另一方面，若移动 k 次 NURBS 曲线的一个控制顶点 Pi或改变所联系的权因子仅仅影响定义在区间 上那部分曲线 的形状。 （2）变差减小性质。 （3）凸包性。定义在非零节点区间 上曲线段位于定义它的 k+1 个控制顶点 的凸包内。整条 NURBS 曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子 的非负性，保证了凸包性质的成立。 （4）在仿射与透射变换下的不变性。 （5）在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。 （6）如果某个权因子 为零，那么相应控制顶点 对曲线没有影响。 （7）若 ，则当 时， 。 （8）非有理与有理 Bezier 曲线和非有理 B 样条曲线是 NURBS 曲线的特殊情况。 3.1.4.2 齐次坐标表示 为了便于讨论，我们考虑平面 NURBS 曲线的情况。如图 3.1.34 所示，如果给定一组控制顶点 及对应的权因子 ，则在齐次坐标系 xyw 中的控制顶 点为 。齐次坐标下的 k 阶非有理 B 样条曲线可表示为： 若以坐标原点为投影中心，则得到平面曲线：
P(t) X 图3.1.34平面 NURBS曲线齐次 坐标表示 三维空间的NRS曲线可以类似地定义。即对于给定的一组控制项点1x,y2,z)(=01…,n) 及对应的权因子 (=0,1,…,),则有相应的带权控制点 P=(ox1,C3y,O2,)(=0,…,n) ,定义了一条四维的k阶非有理B样条曲线 () 然后,取它在第四坐标 的超平面上的中心投影,即得三维空间里定义的一条k阶MRs曲线F(t) 这不仅包含了明确的几何意义,也说明,非有理B样条的算法可以推广到NURS曲线,只不过是在齐次坐标 下进行 3.1.4.3权因子的几何意义 由于NRBS曲线权因子w只影响参数区间定义在区间 ]∈lk-1,2zn+上的那部分曲线的形状, 因此,我们只考察整条曲线的这一部分。如果固定曲线的参数t,而使变化,则 NURBS曲线方程变成以 为参数的直线方程,即 NURBS曲线上t值相同的点都位于同一直线上,如图3.1.35所示。我们把曲线与有理 基函数的记号用用如下包含其权因子2为变量的记号替代。因当 O→∞Rk(t;O2>∞)=1 故该直线通过控制顶点,B,N, B分别O1=0,0=1a1≠01 对应曲线上的点,即 B=P(t;a3=0)N=P(t;1),B1=P(t;O1≠01)B=F(t;O1→>) 令 a =Rik(t:w=1),b=Rik(u) 可表示为 M=(1-a)B+a B,=(1-B)B+ap 用a、b可得到下述比例关系: 1-a.1-_PN,BB1 B BN BB 上式是(P,B,N,B)四点的交比,由此式可知: (1)若w;增大活减小,则b也增大或减小,所以曲线被拉向或推离开P;点 (2)若w;增大或减小,曲线被推离或拉向P;(ji)。 计算机图形学第三章(2)第49页共26页
计算机图形学 第三章(2) 第 49 页 共 26 页 三维空间的 NURBS 曲线可以类似地定义。即对于给定的一组控制顶点 及对应的权因子 ，则有相应的带权控制点 ，定义了一条四维的 k 阶非有理 B 样条曲线 ， 然后，取它在第四坐标 的超平面上的中心投影，即得三维空间里定义的一条 k 阶 NURBS 曲线 。 这不仅包含了明确的几何意义，也说明，非有理 B 样条的算法可以推广到 NURBS 曲线，只不过是在齐次坐标 下进行。 3.1.4.3 权因子的几何意义 由于 NURBS 曲线权因子 w i只影响参数区间定义在区间 上的那部分曲线的形状， 因此，我们只考察整条曲线的这一部分。如果固定曲线的参数 t，而使 变化，则 NURBS 曲线方程变成以 为参数的直线方程，即 NURBS 曲线上 t 值相同的点都位于同一直线上，如图 3.1.35 所示。我们把曲线与有理 基函数的记号用用如下包含其权因子 为变量的记号替代。因当 时， 的，故该直线通过控制顶点 ， 分别是 对应曲线上的点，即 ， ， 。 令 a =Ri,k(t; w i=1 )，b = Ri,k(u) N，Bi可表示为： 用 a 、b 可得到下述比例关系： 上式是(Pi，Bi，N，B)四点的交比，由此式可知： （1）若 w i增大活减小，则 b 也增大或减小，所以曲线被拉向或推离开 Pi点； （2）若 w j增大或减小，曲线被推离或拉向 Pj（j¹i）
图3.1.35 NURBS曲线中的权因子的作用 3.1.4.4圆锥曲线的 NURBS表示 若取节点向量为7=[0.0011,则R曲线退化为二次 B曲线,且 (t) (1-t2)o0B+2(1-t)a1+t2B2 (1-t)ao+2(1-t)a1+to2 可以证明,这是圆锥曲线弧方程 002称为形状因子,的值确定了圆锥曲线的类型 时,上式是抛物线弧,∈(1,+∞) 时,上式是双曲线弧 C∈(0,1) 时,上式是椭圆弧。 时,上式退化为一对直线段分 22 ∞ 时,上式退化为连接 2 两点的 直线段,如图3.1.36所示。 双曲线 抛物线 椭圆 B P 图3.1.36圆锥曲线的 NURBS表示 3.1.45 NURBS曲线的修改 NURBS曲线的修改有多种方式,常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点 1.修改权因子 权因子的作用是:当保持控制顶点和其它权因子不变,减少或增加某权因子时,曲线被推离或拉向相应顶 点。假定已给k阶(k-1)次NRBS曲线上参数为t的一点S,欲将曲线在该点拉向或推离控制顶点一个 距离d,以得到新点S,可由重新确定相应的权因子O使之改变为O来达到,如图3.137所示 d 1+ ()(Ps 计算机图形学第三章(2)第50页共26页
计算机图形学 第三章(2) 第 50 页 共 26 页 3.1.4.4 圆锥曲线的 NURBS 表示 若取节点向量为 ，则 NURBS 曲线退化为二次 Bezier 曲线，且： 可以证明，这是圆锥曲线弧方程， 称为形状因子， 的值确定了圆锥曲线的类型。 时，上式是抛物线弧， 时，上式是双曲线弧， 时，上式是椭圆弧。 且 时，上式退化为一对直线段 和 ， 时，上式退化为连接 两点的 直线段，如图 3.1.36 所示。 3.1.4.5 NURBS 曲线的修改 NURBS 曲线的修改有多种方式，常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。 1．修改权因子 权因子的作用是：当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶 点。假定已给 k 阶（k-1）次 NURBS 曲线上参数为 t 的一点 S，欲将曲线在该点拉向或推离控制顶点 一个 距离 d，以得到新点 ，可由重新确定相应的权因子 使之改变为 来达到，如图 3.1.37 所示
图3.1.37修改权因子 其,2S=B和S两点间的距离,d有正负之分,若S在和之间,即曲线被拉向顶点和, 为正,反之为负 修改过程是拾取曲线上一点S,并确定该点的参数 t∈[,+] 再拾取控制多边形的一个顶点 它是k+1个控制顶点2-+1,中的一个,即-k+1≤t≤ 便可算出两点间的距离d。若在 直线段S上拾取一个点S”,就能确定替代老权因子O)的新权因子O2,修改后的曲线将通过S”点。 2.修改控制顶点 若给定曲线上参数为2的一点S,方向矢量V和距离d,计算控制顶点2的新位置2,以使曲线上S 点沿V移动距离d到新位置 可表示为 ∑P;(t)+(B+az)k() 于是 F-s=d=p1k()→a= VR.k(t) 由此可得新控制顶点: P +av 3.反插节点 给定制多边形顶点与权因子(=01,…,n)及节点矢量了=[t,,…,m*],就定义了 一条k阶NR曲线,现欲在该多边形的的边上选取一点F,使得F点成为一个新的制项点,这 就是所谓反插节点。P点可按有理线性插值给出: p=(1-)+0+性 于是 +12i+ 所以 计算机图形学第三章(2)第51页共26页
计算机图形学 第三章(2) 第 51 页 共 26 页 其中， 表示 和 两点间的距离，d 有正负之分，若 在 和 之间，即曲线被拉向顶点 和， d 为正，反之为负。 修改过程是拾取曲线上一点 ，并确定该点的参数 ，再拾取控制多边形的一个顶点 ， 它是 k+1 个控制顶点 中的一个，即 ，便可算出两点间的距离 d。若在 直线段 上拾取一个点 ，就能确定替代老权因子 的新权因子 ，修改后的曲线将通过 点。 2．修改控制顶点 若给定曲线上参数为 的一点 S，方向矢量 V 和距离 d，计算控制顶点 的新位置 ，以使曲线上 S 点沿 V 移动距离 d 到新位置 。 可表示为： 于是： 由此可得新控制顶点： 3．反插节点 给定控制多边形顶点 与权因子 及节点矢量 ，就定义了 一条 k 阶 NURBS 曲线。现欲在该多边形的 的边上选取一点 ，使得 点成为一个新的控制顶点，这 就是所谓反插节点。 点可按有理线性插值给出： 于是： 所以