04 380 4(0 2.5 x=B1x0)+f= 0+3 3 =[25,3,31|x 4.924 3 8 4(2.5(2.5 4 x2)=Bx+f=-10 3+3 3 0 2 4 =[2875236361]y|x(2)-x(=2.1320
− − − − = 0 4 1 2 1 11 1 0 11 4 4 1 8 3 0 x B x f = J + (1) (0) + 3 3 2.5 0 0 0 T = [2.5, 3, 3] 4.924 (1) (0) x − x = − − − − = 0 4 1 2 1 11 1 0 11 4 4 1 8 3 0 x B x f = J + (2) (1) + 3 3 2.5 3 3 2.5 T = [2.875, 2.3636,1] 2.1320 (2) (1) x − x =
041 380 4 2.875 2.5 1 x(3)=Bx(2)+f 23636+3 11 0 3 4 =[3.1364,2.0455,0.9716] 3)-x =0.4127 依此类推得方程组满足精度的解为x12 Jacobi.m X4=3.02411.94780.9205d=0.1573 X5=3.00031.98401.0010d=0.0914 迭代次数 X6=299382.00001.0038d=0.0175 x7=2.99902.00261.0031d=0.0059 为12次 89 3.00022.00060.9998d=0.0040 3.0000 3.00031.99990.9997d=7.3612e-004 x2|=20000 X10=3.0000199990.9999d=2.8918e-004 x11=3.0000200001.0000d=1.7669c-004(x3 1.0000 x12=3.00002.00001.0000d=3.0647e-005
− − − − = 0 4 1 2 1 11 1 0 11 4 4 1 8 3 0 x B x f = J + (3) (2) + 3 3 2.5 1 2.3636 2.875 T = [3.1364,2.0455, 0.9716] 0.4127 (3) (2) x − x = 依此类推,得方程组满足精度的解为x12 迭代次数 为12次 x4 = 3.0241 1.9478 0.9205 d = 0.1573 x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914 x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175 x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059 x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040 x9 = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 7.3612e-004 x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004 x11 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 1.7669e-004 x12 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 3.0647e-005 Jacobi.m = 1.0000 2.0000 3.0000 3 2 1 x x x
分析 Jacobi迭代法(5)的迭代过程,将(5)式细化 (k+1) (k) x1)+ (k+1) (k) 2 +(b2∑ 22 发现在x+)之前,x+1),x4+1…,x+已经求出 但当求x+时,仍用x),x26)…,x(进行迭代 能否求x+时,利用x+),x2+1)…,x(1)进行迭代呢?
分析Jacobi迭代法(5)的迭代过程,将(5)式细化 ( ) 1 1 ( ) 1 1 11 ( ) 1 ( 1) 1 = + = + − n j k j j k k b a x a x x ( ) 1 1 ( ) 2 2 22 ( ) 2 ( 1) 2 = + = + − n j k j j k k b a x a x x 发现在xi (k+1) 之前, x1 (k+1) , x2 (k+1) , , xi ( − k 1 +1) 已经求出 但当求xi (k +1) 时,仍用x1 (k ) , x2 (k ) , , xi ( − k 1 ) 进行迭代 , , , , ? ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 1 能否求xi (k +1) 时 利用x k + x k + xi− k + 进行迭代呢
考虑迭代式7 (k+1)=B1x (k) +f(k=012) 即x(k+1)=D1(L+U/)x(4)+D1b Dx(k+1)=Lx(k)+Ux(k)tb 注意到L的形式(下三角,不含对角线) 将上式改为 Dx(k+1)=Lx(k+1) Ur(k) tb -(8)
考虑迭代式(7) x B x f k J k = + ( +1) ( ) (k = 0,1,2, ) x D L U x D b (k 1) 1 (k ) 1 ( ) + − − 即 = + + Dx Lx Ux b k k k = + + ( +1) ( ) ( ) 注意到L的形式(下三角,不含对角线) 将上式改为 Dx Lx Ux b k k k = + + ( +1) ( +1) ( ) --------(8)
(D-L)x+1)=b (k) +b D一L即为A的下三角 当D一L可逆时 (包括对角线)部分 x(+1)=(D-)1Ux+(D-L)b 设B=(D-L)U,fG=(D-L)b,得 x(+1=Bx()+f (9) k=0,1,2 上式称为 Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法 利用(8)式展开 Gauss-Seidel代法也可表示成
D L x Ux b k k − = + ( +1) ( ) ( ) 当D − L可逆时 包括对角线 部分 即为 的下三角 ( ) D − L A x D L U x D L b (k 1) 1 (k ) 1 ( ) ( ) + − − = − + − 设BG = (D − L) −1 U , f G = (D − L) −1 b,得 G k G k x = B x + f ( +1) ( ) --------(9) 上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法 利用(8)式展开Gauss-Seidel迭代法也可表示成 (k = 0,1,2, )