材料力学 第五章弯曲应力 Stresses in Bending
材 料 力 学 第五章 弯曲应力 Stresses in Bending
§5-1引言 Introduction 由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内 力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两 种分布内力的集度—剪应力τ(面内应力)和正应 力σ(法向应力)。由理力知识我们知: 西F=AnQ,故正应力的合力不可能产生Q向 分量。(即σ不能在面内合成Q)。同理,因为τ在截 面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生 绕此面内水平轴的合力矩M。因此,aM:a4g。 若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为 常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲 Pure bending) 平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况
，故正应力的合力不可能产生Q向 分量。(即σ不能在面内合成Q)。同理,因为τ在截 面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生 绕此面内水平轴的合力矩M。 §5-1 引言 Introduction dF dA n Q = ⊥ 由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内 力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两 种分布内力的集度——剪应力τ(面内应力)和正应 力σ(法向应力)。由理力知识我们知: 因此, dA M; dA Q 。 若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为 常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Pure Bending)。 平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 和c2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样,分析了杆弯曲变形的内力 Q,M后,还需进一步分析梁的应力分布和计算,才能解决工程中 的强度计算等实际问题。 和前面一样,由内力→应力需通过对梁的变形几何,物理关系, 静力平衡三方面综合研究。由于:a→M,故我们先研究以M为主的 简单梁纯弯曲梁( Pure Bending Beam)Q=0的梁(或梁段)。例如 另对应有:横力弯曲( (shear bending transverse bending mAr P Pr B 梁内(或梁段内)Q均0 平面纯弯曲=平面弯曲+纯弯曲 纯弯曲的M作用在梁的纵向对称 N O VaD 平面内Oxy平面),对应: 平面横力弯曲一平面弯曲+横力弯曲 现以平面纯弯曲梁(梁的平面假设成立的前提)为条件推导梁 的正应力公式:
和ch2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样，分析了杆弯曲变形的内力— Q，M后，还需进一步分析梁的应力分布和计算，才能解决工程中 的强度计算等实际问题。 和前面一样，由内力→应力需通过对梁的变形几何，物理关系， 静力平衡三方面综合研究。由于: , dA M §5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam m A B + D P P Pa M 故我们先研究以M为主的 简单梁—纯弯曲梁(Pure Bending Beam):Q≡0的梁(或梁段)。例如: 另对应有:横力弯曲(shear bending , transverse bending): 梁内(或梁段内)Ｑ≠0 平面纯弯曲 == 平面弯曲 + 纯弯曲 纯弯曲的M作用在梁的纵向对称 平面内(Oxy平面)，对应: 平面横力弯曲== 平面弯曲 +横力弯曲 现以平面纯弯曲梁（梁的平面假设成立的前提）为条件推导梁 的正应力公式:
S5-2轴奢曲时梁横截面上的正应力 必 Stress of Beam 中性层区下 验研究 后的轴线垂直。只是相对 d 原来位置转动了一个角度 ②纵向直线(ab)和(cd)m 弯成圆弧线(曲线)。故凹 中性轴 d 面纤维(如弧ab)缩短而凸 面纤维(如弧cd)伸长。 因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维 为中性层( neutral surface)。中性层⊥纵向对称面(外力的作用面),故纤维 的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为中性 轴( neutral axis) ③梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑 比有关的(横向)拉伸与压缩的现象
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam ③梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑 比有关的(横向)拉伸与压缩的现象。 A B 1 2 1 2 a b c d dx me me 中性轴 1 2 a b dx c d 1 2 5-2-1,平面纯弯曲的实验研究 变形特点: ①１－１与２－２变 形后仍为直线,仍与变形 后的轴线垂直。只是相对 原来位置转动了一个角度。 ②纵向直线(ab)和(cd) 弯成圆弧线(曲线)。故凹 面纤维(如弧ab)缩短而凸 面纤维(如弧cd)伸长。 因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维 为中性层(neutral surface)。中性层⊥纵向对称面(外力的作用面),故纤维 的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为中性 轴(neutral axis)
§5-2纯弯曲时梁横面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-1,平面纯弯曲的实验研究 由以上的特点可抽象如下的假设: ①平面假设( Plane section assumption) 在纯弯曲时,变形前为平面的横截面。变形后仍为平面 ②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。 o;σ依横截面的高度y改变) ③各纵向纤维间 没有挤压。 梁弯曲的平面假设 z(中性轴) 梁在受力弯曲后 其原来的横截面仍为m 平面它绕其上的中性 轴旋转了一个角度,且 仍垂直于梁变形后的 轴线
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam y x z(中性轴） m m 5-2-1,平面纯弯曲的实验研究 由以上的特点可抽象如下的假设: ①平面假设(Plane section assumption): 在纯弯曲时，变形前为平面的横截面。变形后仍为平面。 ②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。 = 0 z (即: ;依横截面的高度y改变） ③各纵向纤维间 没有挤压。 梁弯曲的平面假设: 梁在受力弯曲后, 其原来的横截面仍为 平面,它绕其上的中性 轴旋转了一个角度,且 仍垂直于梁变形后的 轴线