《材料力学》第五章 弯曲应力 Stresses in Bending 5.1 引言 5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 5.3 梁的正应力强度条件

§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-22.弯曲正应力的公式推导 几何:如图取变形后的dx微段 梁来研究,中性层上的弧长 0,0,=dx=pde 2 cd段的纤维变形前长a=M 变形后长(M为正时) Z cd=(p+ y)de adA y 因此距中性层为y的 层纤维cd的线应变为 -cd (p+y)d0-dx pde+ yd0-pde y pde 式中p为中性层变形后的曲率半径( Radius of curvature),1/p为曲率( curvature) 在纯弯曲时由对称性和圣维南原理,=2一般对各向同性均匀 连续材料梁均成立。此即梁的变形几何关系。 物理:将=() AE→=A (受拉边),σ=-A (受压边) 化关系。如

cd = dx §5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam O1 O2 1 1 2 2 d d O' M M=me y z dA y 在纯弯曲时由对称性和圣维南原理, 一般对各向同性均匀 连续材料梁均成立。此即梁的变形几何关系。   y = 物理:将 关系代入(a)式,即得平面弯曲梁的正应力随y的变 化关系。如:  =  ( ) (受拉边), (受压边) n n n y A y A A − − −         = −          =  =        o1 o2 = dx = d cd = ( + y)d , ( ) ( ) a y y d d yd d dx y d dx cd cd cd               =  = + − = + − = − = 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 几何:如图取变形后的dx微段 梁来研究，中性层上的弧长 cd段的纤维变形前长 变形后长(M为正时): 因此距中性层为y的一 层纤维cd的线应变为: 式中为中性层变形后的曲率半径(Radius of curvature), 1/ 为曲率(curvature)

上的正应力 曲正应力的公式推导 设 (杆轴) E =EE=-y.…,(c) (中性轴上二 需由静力学关系求解。 y(对称轴) yod4,M,=|xσd4 注意到横截面上=0M=M.M,=9,1m4=-114=-12 E ∵二≠0:∴S=0 表示中心轴应通过横截面的形心 对指定截面 M144=1=因y为对称轴,故21=0面积分之外 E E.简记为E I M (5-1)式为研究弯 YdA==I (5-1)曲问题的一个基 P EI 本公式 代入 M (c)得:G= …(S-2)式中M是需求应力之横截面上的弯矩;是此横截面对 中性轴的轴惯矩;y是需求应力处到中性轴的垂直坐标

§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导 ; y.....(c) t c p       ① =  ②   =  =    = = = A A y A N  dA; Mz y dA; M z dA;  ,  0  =  = =   yz yz A A y M z dA zydA 因y为对称轴，故I    ....(5 1) 2 1 −    =   =  =  =  M M y dA z A     简记为 物理: 对工程中常用的材料，我们可以假设: 由(c)式知道,在横截面上成 线性分布(对线弹性材料而言) 因(c)式中的还不知道,中性轴位置(y值)也不知道,需由静力学关系求解。 静力学:(对平行力系有:) 注意到横截面上 N = 0, Mz = M , M y = 0 ， = 0,  = −  = −   z A A dA ydA S   故  对指定截面 为常数, 可提到 面积分之外。  0;  = 0  Sz   表示中心轴应通过横截面的形心。 (5-1)式为研究弯 曲问题的一个基 本公式。 ....(5 − 2)  = My  代入 (c)得: 式中M是需求应力之横截面上的弯矩;I是此横截面对 中性轴的轴惯矩; y是需求应力处到中性轴的垂直坐标