材料力学 第五章弯曲应力 Stresses in Bending
材 料 力 学 第五章 弯曲应力 Stresses in Bending
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 我们知道横截面上的τQ;但用材料力学的方法不易直接推出τ 的分布规律。我们注意到dM/dx=Q;当(5-2)式推广应用于横力弯曲时, 我们有可能由梁段的部分微元x方向的平衡求出τ;再由剪应力互等 定理换成τ。(如下图) da a b ∵M1;<M M Gd4=T∵σ, (M+dmy 元平衡,由 (M+dM)y-M小 dM △dM ∴T=(2-01dA= Ys*NdA- S*
1 2 §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam T a b dA y 我们知道横截面上的Q;但用材料力学的方法不易直接推出 的分布规律。我们注意到dM/dx=Q;当(5-2)式推广应用于横力弯曲时, 我们有可能由梁段的部分微元x方向的平衡求出’;再由剪应力互等 定理换成。(如下图): ∵M1-1<M2-2 ∴1<2 故微元(mnab)上ab面必须有剪力T 使微 元平衡,由mnab微元的∑x=0 得: * ( ) ( ) ( ) ; * * * 2 1 1 2 * 1 * 2 S I dM ydA I dM dA I M dM y My T dA I M dM y I My dA dA T A A A A A = = + − = − = + − = = =
741梁横截面上的剪应力 S*(S*=Lyd r Stress of Beam T为长为dx,宽为b的微元底面ab上的纵向剪应力τ的合力。若假 设τ在bdx面内均匀分布,且方向平行于x轴(等价于: ①矩形横截面上的剪应力τ与对应的Q平行且同向 ②沿梁的宽度(即离中性轴等距离的各点,τ的值不变。) r=rhk故r=My.S*=S由剪应力互等定理r=得: axbb横截面上的剪应力QS* 式中 (5-8) b τ:横截面上距中性轴为y的宽度上任何一点的剪应力 Q此横截面上的剪力。 s*所需求的纤维以上部分面圈 积对中性轴z的的静矩 Ⅰ:此横截面整个面积对中性 轴z的轴惯矩 b-所需求τ处的横截面宽度
Ib QS bI S dx dM T bdx * * = ' 故 ' = = (5 8) * = − Ib QS §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam * ( * ) * = = A S S ydA I dM T T为长为dx,宽为b的微元底面ab上的纵向剪应力’的合力。若假 设’在 bdx 面内均匀分布, 且方向平行于x轴(等价于: ①矩形横截面上的剪应力与对应的Q平行且同向。 ②沿梁的宽度(即离中性轴等距离的各点),的值不变。) 则: 由剪应力互等定理’=得: 横截面上的剪应力 式中: τ:横截面上距中性轴为y的宽度上任何一点的剪应力。 Q:此横截面上的剪力。 S*:所需求的纤维以上部分面 积对中性轴z的的静矩。 I :此横截面整个面积对中性 轴z的轴惯矩。 b:所需求处的横截面宽度。 T
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 讨论 矩形截面 F 缓 1,上下边沿处 τ=0(∵S*=0) Fh rZ plax 2,离中性轴为y处的τ (高为h宽炒)(m)M(x) (5-2) h S*=b( 2)y+的2 2 OS* 120 b h 60h y2) 16 bhb 2 4 bh' 4 3,中性轴上的τ最大 60 为平均剪应力 1.5 max 46h 2cn615倍 4综合(5-2)式,有:矩形截面上的上、下边沿处σmax,τ=0 中性轴处σ=0,τma
1.5 4 6 | max = =0 = = bh Q y ) 4 ( 6 ) 4 ( 2 * 12 ) 4 ( 2 ) 2 2 )( 2 * ( 2 2 3 2 2 3 2 2 y h bh Q y b h bh b Q Ib QS y h y b h y y h S b = = − = − = − − = − + ....(5 2') ( ) ( ) − = M x y x §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 讨论 一 矩形截面: 1,上下边沿处 τ =0（∵S*=0） 2,离中性轴为y处的 (高为h,宽为b): 3,中性轴上的最大: 为平均剪应力 m的1.5倍 4,综合(5-2)式,有:矩形截面上的上、下边沿处 max , τ=0 中性轴处 =0 , max
§5-4(1)梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 工字型截面 1,冀缘ange)上τ分量很小,τ2分量成线性变化。 2,冀缘与腹板(web)交界处τ分布很复杂,材力方法无法求解 3,腹板上与矩形截面一样成抛物线分布(τ=QS*/b),τ CT 且有:Q≈Q,τeb≈QAb 4,对轧制工字钢 翼 截面J/S*=ISx 可查型钢表 此时,有 TIti OS* 腹 max Q 1n x
( ) * max x x d I S Q Ib QS = = §5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam 二 工字型截面 1, 冀缘(flange)上y分量很小, z分量成线性变化。 2,冀缘与腹板（web）交界处τ分布很复杂，材力方法无法求解。 3, 腹板上,与矩形截面一样成抛物线分布(=QS*/Ib), max ≈min 且有:Qw ≈Q , web ≈Q/Aweb 4,对轧制工字钢 截面,Iz /S*=Ix /Sx 可查型钢表。 此时,有: