第四章模态逻辑 第一节模态命题 什么是模态命题 所谓模态命题,广义上是指包括一切模态词的命题。也就是说,它包括模态命题和规范命 题。狭义上指包括“必然”和“可能”这类模态词的命题。我们通常意义上讲的模态命题是指 狭义上的理解。所以,模态命题可以这样定义:模态命题就是陈述事物情况的必然性或可能性 的命题 [例1]凶手必然有作案时间。 [例2]合法行为必然不会受到法律制裁 [例3]某甲的代理行为可能是无权代理。 例4]某甲可能不是原告的法定代理人。 [例5]他的行为可能是无因管理,也可能是不当得利。 例6]故意杀人或故意伤害致人毙命必然会受到法律的严惩。 表达模态命题必须有模态词,模态命题都含有“必然”或“可能”等模态词。模态词有时 在命题联结项之前,有时在主项之前,有时在谓项之后。这主要是根据所表达的内容和表达习 惯来定。如[例1还可以表述为:“必然凶手有作案时间”,或者“凶手有作案时间,这是必然 的”。又如[例4还可以表述为:“可能某甲不是原告的法定代理人”,或者“某甲不是原告的法 定代理人是可能的。一般来说,在分析模态命题的形式时,将模态词放在命题变项p、q… 的前面。在模态逻辑中,用符号“口”或“L”表示“必然”,用符号“◇”或“M”表示“可 能”。本人采用“口”表示“必然”,“◇”表示“可能”。 模态命题可以是简单命题,也可以是复合命题。上面[例5]、[例6]就是两个复合的模态 命题。复合模态命题是以简单的模态命题为基础的,所以本人将主要讨论简单的模态命题及其 推理 二、模态命题种类 根据命题所陈述的是事物的可能性还是必然性,我们可以把模态命题分为可能命题、必然 命题。 1、可能命题 可能命题就是陈述事物情况的可能性的命题。可能命题又分为可能肯定命题和可能否定命 题 [例1]某甲可能是精神病人 [例2]或许某甲是无辜的。 [例3]某甲可能不是案犯 [例4]被告人的辫解可能不是对的。 [例1、[例2]是可能肯定命题,它是反映事物情况可能存在的命题。可能肯定命题可用 公式表示为“S可能是P”或“S是P是可能的”,用符号表示为“◇P”。 「例3]、[例匀]是可能否定命题,它是反映事物情况可能不存在的命题。可能否定命题可
67 第四章 模态逻辑 第一节 模态命题 一、什么是模态命题 所谓模态命题，广义上是指包括一切模态词的命题。也就是说，它包括模态命题和规范命 题。狭义上指包括“必然”和“可能”这类模态词的命题。我们通常意义上讲的模态命题是指 狭义上的理解。所以，模态命题可以这样定义：模态命题就是陈述事物情况的必然性或可能性 的命题。 [例 1] 凶手必然有作案时间。 [例 2] 合法行为必然不会受到法律制裁。 [例 3] 某甲的代理行为可能是无权代理。 [例 4] 某甲可能不是原告的法定代理人。 [例 5] 他的行为可能是无因管理，也可能是不当得利。 [例 6] 故意杀人或故意伤害致人毙命必然会受到法律的严惩。 表达模态命题必须有模态词，模态命题都含有“必然”或“可能”等模态词。模态词有时 在命题联结项之前，有时在主项之前，有时在谓项之后。这主要是根据所表达的内容和表达习 惯来定。如[例 1]还可以表述为：“必然凶手有作案时间”，或者“凶手有作案时间，这是必然 的”。又如[例 4]还可以表述为：“可能某甲不是原告的法定代理人”，或者“某甲不是原告的法 定代理人是可能的”。一般来说，在分析模态命题的形式时，将模态词放在命题变项 p、q…… 的前面。在模态逻辑中，用符号“□”或“L”表示“必然”，用符号“◇”或“M”表示“可 能”。本人采用“□”表示“必然”，“◇”表示“可能”。 模态命题可以是简单命题，也可以是复合命题。上面[例 5]、[例 6]就是两个复合的模态 命题。复合模态命题是以简单的模态命题为基础的，所以本人将主要讨论简单的模态命题及其 推理。 二、模态命题种类 根据命题所陈述的是事物的可能性还是必然性，我们可以把模态命题分为可能命题、必然 命题。 1、可能命题 可能命题就是陈述事物情况的可能性的命题。可能命题又分为可能肯定命题和可能否定命 题。 [例 1] 某甲可能是精神病人。 [例 2] 或许某甲是无辜的。 [例 3] 某甲可能不是案犯。 [例 4] 被告人的辩解可能不是对的。 [例 1]、[例 2]是可能肯定命题，它是反映事物情况可能存在的命题。可能肯定命题可用 公式表示为“S 可能是 P”或“S 是 P 是可能的”，用符号表示为“◇P”。 [例 3]、[例 4]是可能否定命题，它是反映事物情况可能不存在的命题。可能否定命题可
用公式表示为“S可能不是P”或“S不是P是可能的”,用符号表示为“◇P 2、必然命题 必然命题就是陈述事物情况的必然性的命题。必然命题又可分为必然肯定命题和必然否定 命题。 [例5]客观事物必然发展变化 [例6]法律必然有阶级性 [例7社会主义革命的胜利必然不以人的意志为转移。 [例8]无效合同必然不受法律保护 [例5]、[例6是必然肯定命题。必然肯定命题是反映事物情况必然存在的命题。它可以 用公式表示为“S必然是P”或“S是P是必然的”,用符号表示为“口P 例7、[例8是必然否定命题。必然否定命题是反映事物情况必然不存在的命题。它可 以用公式表示为“口-P 模态命题的真假 模态命题也有真假,不过它跟命题逻辑中讲的命题的真假是不同的。在命题逻辑中,命题 的真假可以用真值表来刻画,而模态命题由于有模态词,所以不能用真值表来表示其真假。在 模态命题中引进了“可能世界”来确定其真假。所谓“可能世界”是指能够为人们合乎逻辑地 设想出来的各种场合。现实世界只是许许多多可能世界中的一个可能世界 可能世界”是由莱布尼茨首先提出的。按照莱布尼茨的观点,根据命题P在每个可能世 界中的真假就可以确定模态命题“必然P”和“可能P”的真假: 当P在所有可能世界里都真时,“必然P”就是真的,否则就是假的 当P在所有可能世界里都假时,“必然P”就是真的,否则就是假的。 当P至少在一个可能世界里为真时,“可能P”就是真的,否则就是假的。 当P至少在一个可能世界里为假时,“可能P”就是真的,否则就是假的 各种模态命题的真假情况可列表如下: A P在所有可能 P在所有可能 P在所有可能 世界里为真 世界里可真可假 世界里为假 口P ◇-P (注A:P在可能世界里的真假B:模态命题的真假C:模态命题的种类 例如,命题“事物是发展变化的”在所有可能世界里为真,所以“事物必然是发展变化的 和“事物可能是发展变化的”为真,而“事物必然不是发展变化的”和“事物可能不是发展变 化的”为假。 又如,命题“张三和王五签订合同是有效的”在所有可能世界里可真可假,所以“张三和 王五签订的合同必然是有效的”和“张三和王五签订的合同必然不是有效的”为假,而“张三 和王五签订的合同可能是有效的”和“张三和王五签订的合同可能不是有效的”是真的 再如,命题“资产阶级的法是永存的”在所有可能世界里为假,所以“资产阶级的法必然
68 用公式表示为“S 可能不是 P”或“S 不是 P 是可能的”，用符号表示为“◇P”。 2、必然命题 必然命题就是陈述事物情况的必然性的命题。必然命题又可分为必然肯定命题和必然否定 命题。 [例 5] 客观事物必然发展变化。 [例 6] 法律必然有阶级性。 [例 7] 社会主义革命的胜利必然不以人的意志为转移。 [例 8] 无效合同必然不受法律保护。 [例 5]、[例 6] 是必然肯定命题。必然肯定命题是反映事物情况必然存在的命题。它可以 用公式表示为“S 必然是 P”或“S 是 P 是必然的”，用符号表示为“□P”。 [例 7]、[例 8] 是必然否定命题。必然否定命题是反映事物情况必然不存在的命题。它可 以用公式表示为“□P”。 三、模态命题的真假 模态命题也有真假，不过它跟命题逻辑中讲的命题的真假是不同的。在命题逻辑中，命题 的真假可以用真值表来刻画，而模态命题由于有模态词，所以不能用真值表来表示其真假。在 模态命题中引进了“可能世界”来确定其真假。所谓“可能世界”是指能够为人们合乎逻辑地 设想出来的各种场合。现实世界只是许许多多可能世界中的一个可能世界。 “可能世界”是由莱布尼茨首先提出的。按照莱布尼茨的观点，根据命题 P 在每个可能世 界中的真假就可以确定模态命题“必然 P”和“可能 P”的真假： 当 P 在所有可能世界里都真时，“必然 P”就是真的，否则就是假的。 当 P 在所有可能世界里都假时，“必然P”就是真的，否则就是假的。 当 P 至少在一个可能世界里为真时，“可能 P”就是真的，否则就是假的。 当 P 至少在一个可能世界里为假时，“可能P”就是真的，否则就是假的。 各种模态命题的真假情况可列表如下： B A C P 在所有可能 世界里为真 P 在所有可能 世界里可真可假 P 在所有可能 世界里为假 □P + － － □P － － + ◇P + + － ◇P － + + （注 A：P 在可能世界里的真假 B：模态命题的真假 C：模态命题的种类） 例如，命题“事物是发展变化的”在所有可能世界里为真，所以“事物必然是发展变化的” 和“事物可能是发展变化的”为真，而“事物必然不是发展变化的”和“事物可能不是发展变 化的”为假。 又如，命题“张三和王五签订合同是有效的”在所有可能世界里可真可假，所以“张三和 王五签订的合同必然是有效的”和“张三和王五签订的合同必然不是有效的”为假，而“张三 和王五签订的合同可能是有效的”和“张三和王五签订的合同可能不是有效的”是真的。 再如，命题“资产阶级的法是永存的”在所有可能世界里为假，所以“资产阶级的法必然
不是永存的”和“资产阶级的法可能不是永存的”为真,而“资产阶级的法必然是永存的”和 资产阶级的法可能是永存的”为假。 第二节模态推理 模态推理就是前提或结论中有模态命题的推理。模态推理主要有以下三种。 模态对当推理 模态对当推理就是根据模态对当关系进行的推理。模态对当关系就是同素材的口P、口-P、 ◇P、◇-P四种模态命题之间的真假关系。 模态对当关系可用逻辑方阵图表示如下。 口P反对口-P 差 差 等 ◇P下反对◇-P 从这一方阵图可以看出,四种模态命题之间共有四种关系,因此也就有四种模态对当推理。 下面分别说明 1、矛盾关系对当推理 矛盾关系对当推理是指利用模态命题间的矛盾关系进行的推理。矛盾关系是指口P和◇-P、 1-P和◇P之间的真假关系。 ①口P和◇P之间的真假关系 当口P为真时,P在所有可能世界里为真,所以,◇-P为假。 当◇-P为假时,P在所有可能世界里为真,所以,口P为真。 当口P为假时,P至少在一个可能世界里为假,所以,◇P为真。 当◇P为真时,P至少在一个可能世界里为假,所以,口P为假。 可见,口P和◇-P之间,既不可同真,也不可同假。所以,它们之间是矛盾关系 口P和◇P之间的真假关系可用等值式表示为 口P4-◇-P 口P4◇-P 根据这种真假关系进行的推理就是矛盾关系对当推理。 例1]客观事物必然发展变化, 所以,客观事物不可能不发展变化。 [例2]某甲的代理权不必然有效 所以,某甲的代理权可能不有效 ②口-P和◇P之间的真假关系 当口一P为真时,P在所有可能世界里为假,所以,◇P为假 当◇P为假时,P在所有可能世界里为假,所以,口-P为真 当口-P为假时,P至少在一个可能世界里为真,所以,◇P为真。 当◇p为真时,p至少在一个可能世界里为真,所以,口-P为假
69 矛 矛 盾 盾 不是永存的”和“资产阶级的法可能不是永存的”为真，而“资产阶级的法必然是永存的”和 “资产阶级的法可能是永存的”为假。 第二节 模态推理 模态推理就是前提或结论中有模态命题的推理。模态推理主要有以下三种。 一、模态对当推理 模态对当推理就是根据模态对当关系进行的推理。模态对当关系就是同素材的□P、□P、 ◇P、◇P 四种模态命题之间的真假关系。 模态对当关系可用逻辑方阵图表示如下。 □P 反对 □P 差 差 等 等 ◇P 下反对 ◇P 从这一方阵图可以看出，四种模态命题之间共有四种关系，因此也就有四种模态对当推理。 下面分别说明。 1、矛盾关系对当推理 矛盾关系对当推理是指利用模态命题间的矛盾关系进行的推理。矛盾关系是指□P 和◇P、 □P 和◇P 之间的真假关系。 ①□P 和◇P 之间的真假关系 当□P 为真时，P 在所有可能世界里为真，所以，◇P 为假。 当◇P 为假时，P 在所有可能世界里为真，所以，□P 为真。 当□P 为假时，P 至少在一个可能世界里为假，所以，◇P 为真。 当◇P 为真时，P 至少在一个可能世界里为假，所以，□P 为假。 可见，□P 和◇P 之间，既不可同真，也不可同假。所以，它们之间是矛盾关系。 □P 和◇P 之间的真假关系可用等值式表示为： □P◇P □P◇P 根据这种真假关系进行的推理就是矛盾关系对当推理。 [例 1] 客观事物必然发展变化， 所以，客观事物不可能不发展变化。 [例 2] 某甲的代理权不必然有效， 所以，某甲的代理权可能不有效。 ②□P 和◇P 之间的真假关系 当□P 为真时，P 在所有可能世界里为假，所以，◇P 为假。 当◇P 为假时，P 在所有可能世界里为假，所以，□P 为真。 当□P 为假时，P 至少在一个可能世界里为真，所以，◇P 为真。 当◇p 为真时，p 至少在一个可能世界里为真，所以，□P 为假
可见,口-P和◇P之间也既不同真,又不同假,具有矛盾关系。 口-P和◇P之间的真假关系可用等值式表示为: 口=P◇P 口-P4◇P 可见,根据这种真假关系也可进行矛盾关系对当推理 [例3]某甲必然不是诉讼当事人 所以,某甲不可能是诉讼当事人 [例4]某甲可能是这个案件的作案人, 所以,某甲不必然不是这个案件的作案人。 总之,根据模态命题的矛盾关系,可以由其中一个命题为真推知另一命题为假,也可由其 中一个命题为假,推知另一命题为真。 2、差等关系对当推理 差等关系对当推理是指利用模态命题间的差等关系进行的推理。差等关系是指口p和◇p、 口-p和◇一之间的真假关系。 ①口p与◇p之间的真假关系 当口p为真时,p在所有可能世界里为真,所以,◇p为真。 当◇p为假时,p在所有可能世界里为假,所以,口p为假。 当口p为假时,p至少在一个可能世界里为假,所以,◇p可真可假 当◇p为真时,p至少在一个可能世界里为真,所以,口p可真可假。 可见,口p同◇p之间所具有的真假关系是:口p为真,◇p必真;◇p为假,□p必假; 口p为假;◇p可真可假;◇p为真,口p可真可假。所以,它们之间是差等关系 口p和◇p之间的真假关系可用蕴涵式表示为 口p→◇ ◇p口 根据这种真假关系进行的推理就是差等关系对当推理。 [例5]法必然反映统治阶级的意志 所以,法可能反映统治阶级的意志 例6]某甲不可能有作案时间, 所以,某甲不必然有作案时间 ②口-→p和◇p之间的真假关系 当口→p为真时,p在所有可能世界里为假,所以,◇一为真。 当◇-p为假时,p在所有可能世界里为真,所以,口→p为假 当口p为假时,p至少在一个可能世界里为真,所以,◇一p可真可假 当◇→p为真时,p至少在一个可能世界为假,所以,口p可真可假。 可见,口→p和◇一之间也存在着差等关系。 口-p和◇一p之间的真假关系可用蕴涵式表示为: 日→p→◇-p
70 可见，□P 和 ◇P 之间也既不同真，又不同假，具有矛盾关系。 □P 和◇P 之间的真假关系可用等值式表示为： □P◇P □P◇P 可见，根据这种真假关系也可进行矛盾关系对当推理。 [例 3]某甲必然不是诉讼当事人， 所以，某甲不可能是诉讼当事人。 [例 4]某甲可能是这个案件的作案人， 所以，某甲不必然不是这个案件的作案人。 总之，根据模态命题的矛盾关系，可以由其中一个命题为真推知另一命题为假，也可由其 中一个命题为假，推知另一命题为真。 2、差等关系对当推理 差等关系对当推理是指利用模态命题间的差等关系进行的推理。差等关系是指□p 和◇p、 □p 和◇p 之间的真假关系。 ①□p 与◇p 之间的真假关系 当□p 为真时，p 在所有可能世界里为真，所以，◇p 为真。 当◇p 为假时，p 在所有可能世界里为假，所以，□p 为假。 当□p 为假时，p 至少在一个可能世界里为假，所以，◇p 可真可假。 当◇p 为真时，p 至少在一个可能世界里为真，所以，□p 可真可假。 可见，□p 同◇p 之间所具有的真假关系是：□p 为真，◇p 必真；◇p 为假，□p 必假； □p 为假；◇p 可真可假；◇p 为真，□p 可真可假。所以，它们之间是差等关系。 □p 和◇p 之间的真假关系可用蕴涵式表示为： □p→◇p ◇p→□p 根据这种真假关系进行的推理就是差等关系对当推理。 [例 5]法必然反映统治阶级的意志， 所以，法可能反映统治阶级的意志。 [例 6]某甲不可能有作案时间， 所以，某甲不必然有作案时间。 ②□p 和◇p 之间的真假关系 当□p 为真时，p 在所有可能世界里为假，所以，◇p 为真。 当◇p 为假时，p 在所有可能世界里为真，所以，□p 为假。 当□p 为假时，p 至少在一个可能世界里为真，所以，◇p 可真可假。 当◇p 为真时，p 至少在一个可能世界为假，所以，□p 可真可假。 可见，□p 和◇p 之间也存在着差等关系。 □p 和◇p 之间的真假关系可用蕴涵式表示为： □p→◇p ◇p→□p
根据这种真假关系也可以进行差等关系对当推理。 [例7]奴隶制法必然不会维护劳动人民的利益, 所以,奴隶制法可能不会维护劳动人民的利益 [例8]在大量的事实面前,原告不可能不胜诉, 所以,原告不必然不胜诉 总之,根据模态命题间的差等关系,可以由必然命题为真,推知可能命题为真;由可能命 题为假推知必然命题为假。但是,不能由必然命题为假推知可能命题的真假,也不能由可能命 题为真推知必然命题的真假。 3、反对关系对当推理 反对关系对当推理就是根据模态命题之间的反对关系进行的推理。反对关系就是指口P和 口-P之间真假关系。这种真假关系为: 当口P为真时,P在所有可能世界里为假,所以,口P为假 当口-P为真时,P在所有可能世界里为假,所以口P为假 当口P为假时,P至少在一个可能世界里为假,所以,口一P可真可假。 当口P为假时,P至少在一个可能世界里为真,所以,口P可真可假 可见,口P同口-P之间不可同真,但可同假。因此,它们之间是反对关系。 口P和囗P之间的真假关系可用蕴涵式表示为: □P→-囗-P 口-P→口P 根据这种真假关系进行的推理就是反对关系对当推理。 [例9]某甲必然是这个案件的作案人, 所以,并非某甲必然不是这个案件的作案人 [例10]公正的法官必然不会徇私枉法 所以,并非公正的法官必然会徇私枉法。 根据模态命题间的反对关系,可以由其中一个命题为真推知另一个命题为假,但不能由其 中一个命题为假推知另一个命题的真假。 4、下反对关系对当推理 下反对关系对当推理就是根据模态命题的下反对关系进行的推理。下反对关系是指◇P和 ◇-P之间的真假关系 当◇P为假时,P在所有可能世界里为假,所以,◇-P为真。 当◇-P为假时,P在所有可能世界里为真,所以,◇P为真 当◇P为真时,P至少在一个可能世界里为真,所以,◇P可真可假 当◇-P为真时,P至少在一个可能世界里为假,所以,◇P可真可假。 可见,◇P同◇P之间不可同假,但可同真。所以,它们之间是下反对关系。 ◇P和◇P之间的真假关系可用蕴涵式表示为: ◇P→◇-P ◇-P→◇P 根据这种真假关系进行的推理就是下反对关系对当推理
71 根据这种真假关系也可以进行差等关系对当推理。 [例 7] 奴隶制法必然不会维护劳动人民的利益， 所以，奴隶制法可能不会维护劳动人民的利益。 [例 8] 在大量的事实面前，原告不可能不胜诉， 所以，原告不必然不胜诉。 总之，根据模态命题间的差等关系，可以由必然命题为真，推知可能命题为真；由可能命 题为假推知必然命题为假。但是，不能由必然命题为假推知可能命题的真假，也不能由可能命 题为真推知必然命题的真假。 3、反对关系对当推理 反对关系对当推理就是根据模态命题之间的反对关系进行的推理。反对关系就是指□P 和 □P 之间真假关系。这种真假关系为： 当□P 为真时，P 在所有可能世界里为假，所以，□P 为假。 当□P 为真时，P 在所有可能世界里为假，所以，□P 为假。 当□P 为假时，P 至少在一个可能世界里为假，所以，□P 可真可假。 当□P 为假时，P 至少在一个可能世界里为真，所以，□P 可真可假。 可见，□P 同□P 之间不可同真，但可同假。因此，它们之间是反对关系。 □P 和□P 之间的真假关系可用蕴涵式表示为： □P→□P □P→□P 根据这种真假关系进行的推理就是反对关系对当推理。 [例 9] 某甲必然是这个案件的作案人， 所以，并非某甲必然不是这个案件的作案人。 [例 10] 公正的法官必然不会徇私枉法， 所以，并非公正的法官必然会徇私枉法。 根据模态命题间的反对关系，可以由其中一个命题为真推知另一个命题为假，但不能由其 中一个命题为假推知另一个命题的真假。 4、下反对关系对当推理 下反对关系对当推理就是根据模态命题的下反对关系进行的推理。下反对关系是指◇P 和 ◇P 之间的真假关系。 当◇P 为假时，P 在所有可能世界里为假，所以，◇P 为真。 当◇P 为假时，P 在所有可能世界里为真，所以，◇P 为真。 当◇P 为真时，P 至少在一个可能世界里为真，所以，◇P 可真可假。 当◇P 为真时，P 至少在一个可能世界里为假，所以，◇P 可真可假。 可见，◇P 同◇P 之间不可同假，但可同真。所以，它们之间是下反对关系。 ◇P 和◇P 之间的真假关系可用蕴涵式表示为： ◇P→◇P ◇P→◇P 根据这种真假关系进行的推理就是下反对关系对当推理