信号与系统2.1LT连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统,则确定待定系数C; 时用t=0时刻的初始值,即y(0+)(j=0,1,2.,n-1)。 而y(+)包含了输入信号的作用,不便于描述系统 的历史信息。 在七=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态 y④(0-)设法求得y(0+)。下列举例说明 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci 时用t = 0+时刻的初始值，即y (j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。 而y (j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统 的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y (j)(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y (j)(0-)设法求得y (j)(0+)。下列举例说明
信号与系统电呼 2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的徼分方程为 y"(t)+3y(t)+2y(t)=2r'(t)+6f(t) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=8(t),求y04)和y:(0+)。 解:将输入ft=e(t)代入上述微分方程得 y"(t)+3y(t)+2y(t)=2δ6(t)+6ε(t) (1) 利用系数匹配法分析:上式对于t=0-也成立,在0-<t0 区间等号两端δ(t)项的系数应相等 由于等号右端为26(t),故y应包含冲激函数,从而 y(t)在仁=0处将发生跃变,即y(0+)4y(0-)。 但y(t)不含冲激函数,否则yt将含有δ(项。由于 y(t)中不含δ(t,故y()在t=0处是连续的。 故 y(0+)=y(0-)=2 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+ )和y’(0+ )。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+) = y(0-) = 2 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统2.1LT连续系统的响应 对式(1)两端积分有 广ym+3y(0)+20)=26()m+66(Oh 由于积分在无穷小区间[0-,0进行的,且y(t)在t=0连续, 故 0+ Lo y(odt=0, -a()o 于是由上式得 Iy(04)-y(0-)+3ly(0+)-y(0-)=2 考虑y(0+)=y(0-)=2,所以 y ,y(0+)=y(0-)+2=2 由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各 阶导数)时,响应y()及其各阶导数中,有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。 第44D西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 对式(1)两端积分有 + − + − + − + − + − + + = + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt 由于积分在无穷小区间[0-，0+ ]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 + − + − = = 0 0 0 0 y(t)dt 0, (t)dt 0 于是由上式得 [y’(0+ ) – y’(0-)] + 3[y(0+ ) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+ ) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电来 2.1LT连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t)=y、(t)+y{t),也可以分别用经典法求解。 注意:对t=0时接入激励ft的系统,初始值 y3(,y;(0+)(i=0,1,2,…,n1)的计算 0(0-)=yx0(0-)+y)(0-) 0+)=y30(0+)+yP(0+) 对于零输入响应,由于激励为零,故有 y(0+)=y30(0-)=y00-) 对于零状态响应,在t0时刻激励尚未接入,故应有 y①(0-)=0 y0(0+)的求法下面举例说明。 第29贝144| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx (t) + yf (t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yx (j)(0+), yf (j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。 y (j)(0-)= yx (j)(0-)+ yf (j)(0-) y (j)(0+)= yx (j)(0+)+ yf (j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx (j)(0+)= yx (j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf (j)(0-)=0 yf (j)(0+)的求法下面举例说明
信号与系统电来2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y"(t)+3y(t)+2y(t)=2f'(t)+6ft 已知y(0-)=2,y0-)=0,f(t)=8(t)。求该系统的零输入 响应和零状态响应。 解:(1)零输入响应y(t激励为0,故y()满足 yx"(f)+3yx'(t)+2yx(t)=0 y(0+)=y(0)=y(0-)=2 y(0+)=yx30-)=y(0-)=0 该齐次方程的特征根为-1,-2,故 y(t +c 代入初始值并解得系数为Cx=4,C2=-2,代入得 yx(t=4e-t-2e-2t ,t>0 第210贝44 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入 响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应yx (t) 激励为0 ，故yx (t)满足 yx ”(t) + 3yx ’(t) + 2yx (t) = 0 yx (0+)= yx (0-)= y(0-)=2 yx ’(0+)= yx ’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故 yx (t) = Cx1e –t + Cx2e –2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得 yx (t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0