信号与系统电索 3.1信号的正交分解 三、信号的正交分解 设有n个函数p1(,2(0,…9(在区间 构成一个正交函数空间。将任一函数f用这n个 交函数的线性组合来近似,可表示为 f(≈C1q1+C22+…+Cnpn 问题:如何选择各系数C使貿t与近似函数之间误差 在区间(t1,t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 e=.,∫[/(-2 C (t)dt 第46页「MAp c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--66页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.1 信号的正交分解 三、信号的正交分解 设有n个函数ϕ 1(t)， ϕ 2(t)，…， ϕ n(t)在区间(t1， t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正 交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1ϕ1+ C2ϕ2+…+ Cnϕn 问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 f t C t t t t t t n j j j [ ( ) ( )] d 1 2 1 2 2 1 1 2 ∫ ∑ = − − ε = ϕ
信号与系统电索 3.1信号的正交分解 为使上式最小(系数C变化时),有 de dc. dC f()-∑C9()2dt=0 展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不 为0,写为ar2 「"-2C/O)9()+cC:gi()d/=0 aCJ t 即-2()0)d1+2CJ9()d=0 t1 所以系数J/(0(d f(to (t)dt o (t)d 第414L4LL■ c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--77页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.1 信号的正交分解 为使上式最小（系数Cj变化时），有 [ ( ) ( )] d 0 2 1 1 2 2 ∫ ∑ = − = ∂ ∂ = ∂ ∂ t t n j j j i i f t C t t C C ϕ ε 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 ∫ − + = ∂∂ 21 [ 2 ( ) ( ) ( )]d 0 2 2 tt i i i i i C f t t C t t C ϕ ϕ 即 ∫ ∫ − + = 21 21 2 ( ) ( ) d 2 ( ) d 0 2 tt i i tt i f t ϕ t t C ϕ t t 所以系数 ∫ ∫ ∫ = = 21 21 21 ( ) ( )d 1 ( )d ( ) ( )d 2 tt i i tt i tt i i f t t t t t K f t t t C ϕ ϕϕ
信号与系统电来索 3.1信号的正交分解 代入,得最小均方误差 f()dt-∑C/K]≥0 在用正交函数去近似ft)时,所取得项数越多,即n越 大,则均方误差越小。当n→∞时(为完备正交函数 集),均方误差为零。此时有 「f2(0dt=∑CK 上式称为( Parseval巴塞瓦尔定理(公式),表明:在 区间(t1t2)ft所含能量恒等于t)在完备正交函数集中 分解的各正交分量能量的总和。 函数(可分解为无穷多项正交函数之和f()=∑C() 第4页14L4LL■ c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--88 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.1 信号的正交分解 代入，得最小均方误差 [ ( ) d ] 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 − ≥ − = ∫ ∑= n j j j t t f t t C K t t ε 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即 n 越 大，则均方误差越小。当 n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有 ∫ ∑ ∞ = = 1 2 2 2 1 ( ) d j j j t t f t t C K 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明：在 区间(t 1,t 2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中 分解的各正交分量能量的总和。 ∑ ∞ = = 1 ( ) ( ) j j j 函数 f t C ϕ t f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
信号与系统电索 3.2傅里叶级数 4.2周期信号的傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t),其周期为T,角频率g=m,当满足 狄里赫利 Dirichlet条件时,它可分解为如下三角级 数—称为的傅里叶级数 f(t)=0+ 2 ∑ a cOS(nt)+∑ 〃=/Sin(n2t 系数an,b称为傅里叶系数 2 2 f(tcos(n@2t)dt f(tsin(ns2t)dt 可见,a是n的偶函数,b是n的奇函数。 第4页14L4LpL■L c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--99页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 4.2 周期信号的傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率Ω=2π/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + Ω + Ω 1 1 0 cos( ) sin( ) 2 ( ) n n n n a n t b n t a f t 系数an , bn称为傅里叶系数 ∫− = 2 Ω 2 ( ) cos( ) d 2 T n T f t n t t T a ∫− = 2 Ω 2 ( )sin( ) d 2 T n T f t n t t T b 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数
信号与系统电来索 3.2傅里叶级数 上式同频率项合并,可写为 f(t)=4+2An cos(nS2t+n,) 式中,A A =√a2+b29n=- arctan 可见A是n的偶函数,q是n的奇函数 an=A, coS(, b,=-An sin pn n=1, 2, 上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中,A0/2为直流分量; A;cos(g2t1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原 周期信号相同; A2C0s(22tq2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍; 般而言, A cos(n9tq称为m次谐波。 页LLDL口西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1010 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 3.2 傅里叶级数 ∑ ∞ = = + Ω + 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t ϕ 式中， A 0 = a 0 2 2 n n n A = a + b n n n a b ϕ = − arctan 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A 0/2 为直流分量； A 1cos( Ωt+ ϕ 1 )称为基波或一次谐波，它的角频率与原 周期信号相同； A 2cos(2 Ωt+ ϕ 2 )称为二次谐波，它的频率是基波的 2倍； 一般而言， A ncos(n Ωt+ ϕ n )称为 n次谐波 。 可见 A n 是 n的偶函数， ϕ n 是 n的奇函数。 a n = A ncos ϕ n， b n = –A nsin ϕ n，n=1,2,… 将上式同频率项合并，可写为