由式（3-62）知，の,(i=1,2,,n)为体系的一个自由振动圆频率。一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态。称の，为体系第i阶自振圆频率。例3-3计算仅有两个自由度体系的自由振动频率。设[K]-[k ke]0m,[M]-[k21k220m,解：由式（3-69）[k. ki2om,I[K]-0"[M]=k21k220m2=mm,(o2)?-(k.m, +k,m,)o2+(k,k22-k,k,)=0解上方程得oi_1(+k2)于1ki + k22k.,k22 - kjzk2l202-2mm2m,m,m,m23.振型多自由度体系以某一阶圆频率の，自由振动时，将有一特定的振幅（Φ）与之相应，它们之间应满足动力特征方程([k]-0. [Mb(@]= (0](3-70)设(@,]=[0i1,9i2,*,Φin-1,in =0m[9,/pmp,2/pm,*"im-/in,1][(@n-](3-71)=di与$）相应，用分块矩阵表达[4,]n- (B,).--(K]-, [M)=[(3-72)[(B,)- C, 则式（3-70）成为[4, ]n-1 (B,)n-1 [(6 ,-1 ]/=(0)(3-73)[(B,)CI1将式（3-73）展开得
由式（3-62）知， (i 1,2, , n) i = 为体系的一个自由振动圆频率。一个 n 自由度体系， 有 n 个自振圆频率，即有 n 种自由振动方式或状态。称 i 为体系第 i 阶自振圆频率。 例 3-3 计算仅有两个自由度体系的自由振动频率。设 = 21 22 11 12 k k k k K = 2 1 0 0 m m M 解：由式（3-69） − − = 2 2 1 21 22 2 11 12 0 0 |[ ] [ ]| m m k k k k K M ( ) ( ) ( ) 11 22 12 21 2 11 2 22 1 2 2 1 2 = m m − k m + k m + k k − k k = 0 解上方程得 1 2 11 22 12 21 2 2 22 1 11 2 22 1 11 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − = + + 3. 振型 多自由度体系以某一阶圆频率 i 自由振动时，将有一特定的振幅 { } i 与之相应，它们 之间应满足动力特征方程 ( ) 0 2 K −i M i = （3-70） 设 T 1 2 1 , , , , i = i i in− in T 1 2 1 [ / , / , , / ,1] =in i in i in in− in = − 1 i n 1 in （3-71） 与 { } i 相应，用分块矩阵表达 − = − − − i n i i n i n i B C A B K M T 1 2 1 1 { } [ ] { } ( ) （3-72） 则式（3-70）成为 0 { } 1 [ ] { } 1 T 1 1 1 = − − − − i n i n i i n i n in B C A B （3-73） 将式（3-73）展开得
[4, n (6, -1 + (B, n-I = (0)(3-74)(B,IT-()-+ +C, =0(3-75)由式（3-74）可解得(6,)1 =[4,](B,3n-1(3-76)将式（3-76）代入式（3-75），可用以复验(6）求解结果的正确性。令中i=a,@n0则(0. =a, (6.)(3-77)由此得体系以の，频率自由振动的解为()= a, (6 sin(0,t + 0)(3-78)由于向量（）各元素的值是确定的，则由上式知，多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移幅值的比值是一定的，不随时间而变化，即体系在自由振动过程中的形状保持不变。因此把反映体系自由振动形状的向量(8,)=α,()称为振型，而把(师)称为规则化的振型或也简称为振型。因(Φ，）与体系第i阶自振圆频率相应，故(）也称为第i阶振型。例3-4三层剪切型结构如图3-14所示，求该结构的自振圆频率和振型。mg=1000kg4mkg = 600kN/mm2=1500kg4mk2=1200kN/mmi = 2000kg5mi = 1800 kN/m图3-14三层剪切型结构
[ ] { } 1 0 1 1 + − = Ai n− i n− Bi n （3-74） { } 0 1 T 1 + = Bi n− i n− Ci （3-75） 由式（3-74）可解得 1 1 1 1 [ ] { } − − i n− = − Ai n− Bi n （3-76） 将式（3-76）代入式（3-75），可用以复验 i n−1 求解结果的正确性。 令 in = ai = − 1 i n 1 i 则 i= aii （3-77） 由此得体系以 i 频率自由振动的解为 x= a sin( t + ) i i i （3-78） 由于向量 { } i 各元素的值是确定的，则由上式知，多自由度体系自由振动时，各质点在 任意时刻位移幅值的比值是一定的，不随时间而变化，即体系在自由振动过程中的形状保持 不变。因此把反映体系自由振动形状的向量 i= aii 称为振型，而把 { } i 称为规则化的 振型或也简称为振型。因 { } i 与体系第 i 阶自振圆频率相应，故 { } i 也称为第 i 阶振型。 例 3-4 三层剪切型结构如图 3-14 所示，求该结构的自振圆频率和振型。 图 3-14 三层剪切型结构