对于单次测量,有时会因待测量的不同,其不确定度的计算也有所不同。例如用温度计测量温 度时,温度的不确定度合成公式为上述的(7)式;而在长度测量中,长度值是两个位置读数x1和 x2之差,其不确定度合成公式为(x)=Vln2(x1)+l21(x2)+2(x)。这是因为x1和x在读数时都 有测量不确定度,因此在计算合成不确定度时都要算入。 2、传递 在间接测量时,待测量(即复合量)是由直接测量的量通过计算而得的。若y=x1,x2,x3,…x 且各x相互独立,则测量结果y的标准不确定度u)的传递公式为: 2(y)= af ∑|x|n2(x,) 式中(x)是直接测量量x的不确定度,偏导数表示x的不确定度对结果不确定度的影响系 数,由式(8)可以得到一些常用的不确定度传递公式如下 对加减法:y=x1±x2,则 l!(x,)+t(X 对乘除法:y=x·x2,或y 则 a(y)「2((x)(a(x) (10) 对乘方(或开方):y=x",则 (11) 五、不确定度的表示 由于不确定度u(x)表示的是待测量x的真值在一定的置信概率下可能存在的范围,因而,测量 结果常表示为x±(x),如:所测长度为(1.05±0.02)cm。这是不确定度的一般表示法。 有时,以不确定度对于待测量的百分比来表示更能看出不确定度的相对大小,即把测量结果的 不确定度表示为×100%,如:所测长度为1.05cm,相对不确定度2%。这是不确定度的百分 比表示法。 除了以上两种常用的不确定度表示法外,还有一种更为简略的表示法,叫做不确定度的有效数 字表示法。所谓有效数字,是指一个数值中,从第一个非0数字算起的所有数字。例如,x=00035 中的3是第一个非0数字,因此x有两位有效数字:3和5,小数点前后的三个0都是表示数量级的, 不是有效数字。又如,x3.500有四位有效数字3,5,0,0都是有效数字,其中的两个0虽然对该 数的大小并无意义,但它却表示这个数的准确程度可达小数点后的第三位,即x的值约在3495和 3.504之间,它与x=3.5是显然不同的,后者表示小数点后的第一位数(即5)就是可疑的,不确定 的。测量最后结果的不确定度,一般只取一位有效数字,而测量结果的末位有效数字应与不确定度 的有效数字对齐,即测量结果的末位有效数字是不确定的。(特殊情况下,不确定度的有效数字可取 两位,即测量值的末两位有效数字都是不确定的。)这样,根据测量值的不确定度,可以决定测量值 的有效数字。 在计算数据时,当有效数字位数确定后,须将多余的数字舍去,被舍去的数字基本上按照四舍 五入规则,但遇到被舍数字恰为“50或只有“5”一位数字时,则“5”有时入,有时不入,应使有效数字 末位保持为偶数。这样可使舍和入的机会均等,从而避免在处理较多数据时因入比舍多而带来的问 题
10 对于单次测量，有时会因待测量的不同，其不确定度的计算也有所不同。例如用温度计测量温 度时，温度的不确定度合成公式为上述的（7）式；而在长度测量中，长度值是两个位置读数 x1 和 x2 之差，其不确定度合成公式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 u x u x u x u x B B B 。这是因为 x1 和 x2在读数时都 有测量不确定度，因此在计算合成不确定度时都要算入。 2、传递 在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过计算而得的。若 y=f(x1, x2, x3, … xN)， 且各 xi相互独立，则测量结果 y 的标准不确定度 u(y)的传递公式为： N i i i u x x f u y 1 2 2 2 ( ) ( ) （8） 式中 u(xi)是直接测量量 xi的不确定度，偏导数 i f x 表示 xi的不确定度对结果不确定度的影响系 数，由式（8）可以得到一些常用的不确定度传递公式如下： 对加减法： 1 2 y x x ，则 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 u y u x u x （9） 对乘除法： 1 2 y x x ，或 2 1 x x y ，则 2 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) x u x x u x y u y （10） 对乘方（或开方）： n y x ，则 2 2 ( ) ( ) x u x n y u y （11） 五、不确定度的表示 由于不确定度 u(x)表示的是待测量 x 的真值在一定的置信概率下可能存在的范围，因而，测量 结果常表示为 x u(x) ，如：所测长度为（ 1.05 0.02 ）cm。这是不确定度的一般表示法。 有时，以不确定度对于待测量的百分比来表示更能看出不确定度的相对大小，即把测量结果的 不确定度表示为 100% ( ) x u x ，如：所测长度为 1.05cm，相对不确定度 2％。这是不确定度的百分 比表示法。 除了以上两种常用的不确定度表示法外，还有一种更为简略的表示法，叫做不确定度的有效数 字表示法。所谓有效数字，是指一个数值中，从第一个非 0 数字算起的所有数字。例如，x=0.0035 中的 3 是第一个非 0 数字，因此 x 有两位有效数字：3 和 5，小数点前后的三个 0 都是表示数量级的， 不是有效数字。又如，x=3.500 有四位有效数字 3，5，0，0 都是有效数字，其中的两个 0 虽然对该 数的大小并无意义，但它却表示这个数的准确程度可达小数点后的第三位，即 x 的值约在 3.495 和 3.504 之间，它与 x=3.5 是显然不同的，后者表示小数点后的第一位数（即 5）就是可疑的，不确定 的。测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，而测量结果的末位有效数字应与不确定度 的有效数字对齐，即测量结果的末位有效数字是不确定的。（特殊情况下，不确定度的有效数字可取 两位，即测量值的末两位有效数字都是不确定的。）这样，根据测量值的不确定度，可以决定测量值 的有效数字。 在计算数据时，当有效数字位数确定后，须将多余的数字舍去，被舍去的数字基本上按照四舍 五入规则，但遇到被舍数字恰为“50”或只有“5”一位数字时，则“5”有时入，有时不入，应使有效数字 末位保持为偶数。这样可使舍和入的机会均等，从而避免在处理较多数据时因入比舍多而带来的问 题
例如:经计算所得的长度值为x=354825m,若不确定度为00003m,则应取测量值的结果为 x=3.5482m:若不确定度为0002m,则应取测量值的结果为x=3.548m:;若不确定度为0.05m,则 应取测量值的结果为x=3.55m;若不确定度为0.1m,则应取测量值的结果为x3.5m(如以亳米为 单位,则应写成3.5×103mm,绝不可写成350omm)。这样,从测量值的有效数字,就可大约知道它 的不确定度,这就是不确定度的有效数字表示法。显然,这只是一种简略的表示法,在严格的定量 实验中,应采用不确定度的一般表示法或百分比表示法 虽然测量最后结果的不确定度,一般只取一位有效数字,但在运算过程中,不确定度一般要取 两位或更多,中间过程测量值的有效数字也应适当多取一些,以免过早舍入,造成不合理的结果 有效数字的运算有一定的规则,最简单和常用的规则是: 当两个数相加减时,有效数字的位数应对齐;当两个数相乘除时,有效数字的位数应与有效数 字少的一致。 例如 x=1.832m(共有4位有效数字,末位在小数点后第3位), y=1.69m(共有3位有效数字,末位在小数点后第2位) 则:x+y=3.52m(末位取小数点后第2位);x-y=0.14m(末位取小数点后第2位) x=3.10mm2(共取3位有效数字) x=1.08(共取3位有效数字)。 六、实例 用电子天平测得一个圆柱体的质量M80.36g;电子天平的最小指示值为0.01g;不确定度限值 为002g。用钢尺测量该圆柱体的高度H=H2-H1,其中,H1=400cm,H2=19.32cm;钢尺的分度 值为0.Icm,估读1/5分度:不确定度限值为0olcm。用游标卡尺测量该圆柱体的直径D(数据如 下表所示);游标卡尺的分度值为0002cm;不确定度限值为0.002cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 D/ cm 2.018 2.020 2.022 2.016 试根据上述数据,计算该圆柱体的密度及其不确定度 解:(1)圆柱体的质量M=8036g (MD)=ua(M)2+(u2(M2=101)2+0025)g=0015g (2)圆柱体的高H=H2-H1=(19.32-400cm=1532cm 2(a(H) +(u2(H)=12·(02)2+00 cm=0.029cm (3)圆柱体的直径的平均值D=D,=20184cm ∑(D,-D) 0×(10-1) =0.00078cm D)=0Dy+(2D=10803)-0m (4)根据上述数据计算材料的密度 M 4M 4×80.36 zDH3.1416×(20184)×1532/cm31639
11 例如：经计算所得的长度值为 x=3.54825m， 若不确定度为 0.0003m， 则应取测量值的结果为 x=3.5482m；若不确定度为 0.002m， 则应取测量值的结果为 x=3.548m；若不确定度为 0.05m， 则 应取测量值的结果为 x=3.55m；若不确定度为 0.1m， 则应取测量值的结果为 x=3.5m（如以毫米为 单位，则应写成 3.5×103mm，绝不可写成 3500mm）。这样，从测量值的有效数字，就可大约知道它 的不确定度，这就是不确定度的有效数字表示法。显然，这只是一种简略的表示法，在严格的定量 实验中，应采用不确定度的一般表示法或百分比表示法。 虽然测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，但在运算过程中，不确定度一般要取 两位或更多，中间过程测量值的有效数字也应适当多取一些，以免过早舍入，造成不合理的结果。 有效数字的运算有一定的规则，最简单和常用的规则是： 当两个数相加减时，有效数字的位数应对齐；当两个数相乘除时，有效数字的位数应与有效数 字少的一致。 例如: x=1.832m（共有 4 位有效数字，末位在小数点后第 3 位）， y=1.69m（共有 3 位有效数字，末位在小数点后第 2 位）， 则：x+y=3.52m （末位取小数点后第 2 位）； x-y=0.14m （末位取小数点后第 2 位）； xy=3.10mm2（共取 3 位有效数字）； x/y=1.08（共取 3 位有效数字）。 六、实例 用电子天平测得一个圆柱体的质量 M=80.36g；电子天平的最小指示值为 0.01g；不确定度限值 为 0.02g。用钢尺测量该圆柱体的高度 H＝H2－H1，其中，H1＝4.00cm，H2＝19.32cm；钢尺的分度 值为 0.1cm，估读 1/5 分度；不确定度限值为 0.01cm。用游标卡尺测量该圆柱体的直径 D（数据如 下表所示）；游标卡尺的分度值为 0.002cm；不确定度限值为 0.002cm。 D / cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 2.018 2.020 2.022 2.016 2.020 试根据上述数据，计算该圆柱体的密度及其不确定度。 解：（1）圆柱体的质量 M 80.36g g 0.015g 3 0.02 ( ) ( ( )) ( ( )) 0.01 2 2 2 2 2 1 u M uB M uB M （2）圆柱体的高 H H2 H1 (19.32 4.00)cm 15.32cm cm 0.029cm 3 0.01 ( ) 2 ( ) ( ) 2 0.02 2 2 2 2 2 1 u H uB H uB H （3）圆柱体的直径的平均值 2.0184cm 10 1 10 1 i D Di 0.00078cm 10 (10 1) ( ) ( ) 1 0 1 2 i i A D D u D cm 0.0014cm 3 0.002 ( ) ( ( )) ( ( )) (0.00078) 2 2 2 2 2 u D u A D uB D （4）根据上述数据计算材料的密度 。 2 2 4 4 80.36 1.6394 3.1416 (2.0184) 15.32 3 3 g g cm cm M M V D H
u(p)/o(M)-(2.D)(a(H M D H 0.015 0.0014 0.029 0.24% 20184)(153 Ox0=0.24%×163948=00/cm3 cm p±p)=(1639±009%y=(1639±009×103k 第三节制表、作图与拟合 、制表 在物理实验的测量和计算中,常要将数据记录在表格中,便于整理、计算、作图或拟合。 制表一般应注意如下事项:(参见例表) 例表:测量一个圆柱体样品的密度 测量次数 2 3 5|平均值 直径D/cm 长度左端h/cm 长度右端h/cm 长度h=h1-hn/cm 样品的质量M TDh 室温T1= ℃:湿度 1.制表前,应先明确实验中要测哪些物理量?哪些是直接读出的、哪些是通过计算得岀的?哪些 物理量宜先测、哪些物理量宜后测?哪些物理量只要测一次、哪些物理量要多次测量求平均? (多次测量时,一般应在10次以上:但因课时有限,可取5次。) 2.制表时,应合理安排各待测物理量在表格中的位置。一般可先列直接读出量、再列计算得出量 先列先测量、后列后测量:;让自变量与因变量在表中一一对应。如果预先可以确定自变量的变 化范围和取值,则可按自变量的值由小到大或由大到小在表中预先写好 3.任一物理量都是数值与单位的合成,在表格中常用物理量与单位的比值来表示,如例表的第 列所示,其中D/cm表示物理量D的单位是cm,依此类推。注意:物理量的符号应用斜体书 写,单位的符号则用正体书写,以示区别(在用计算机打印时,更应严格遵守此规定)。 4.表中各符号所代表的意义都应有相应的说明(如例表中的直径、长度等,但不一定写在表格中)。 5.不同的物理量之间应用线条加以区分,如例表中各横线所示。物理量与数据之间也应用线条加 以区分,如例表中第1竖线所示 6.测量量与计算量应明确区分,如例表中第6、7竖线所示。计算量应注明计算公式(不一定写在 表格中)。 7.为了清楚说明表的意义,必要时还应加上一个表名
12 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) H u H D u D M u u M 0.24% 15.32 0.029 2.0184 0.0014 2 80.36 0.015 2 2 2 ( ) ( ) 0.24% 1.6394 0.004 3 3 g g cm cm u u 3 3 3 m kg (1.639 0.004) 10 cm g u() (1.639 0.004) 第三节 制表、作图与拟合 一、制表 在物理实验的测量和计算中，常要将数据记录在表格中，便于整理、计算、作图或拟合。 制表一般应注意如下事项：（参见例表） 例表：测量一个圆柱体样品的密度。 测量次数 1 2 3 4 5 平均值 直径 D / cm 长度左端 h1 / cm － 长度右端 h2 / cm － 长度 h=h1-h2 / cm 样品的质量 M =_______________g。 D h M 2 4 。 室温 Tr =__________℃；湿度 ％。 1. 制表前，应先明确实验中要测哪些物理量？哪些是直接读出的、哪些是通过计算得出的？哪些 物理量宜先测、哪些物理量宜后测？哪些物理量只要测一次、哪些物理量要多次测量求平均？ （多次测量时，一般应在 10 次以上；但因课时有限，可取 5 次。） 2. 制表时，应合理安排各待测物理量在表格中的位置。一般可先列直接读出量、再列计算得出量； 先列先测量、后列后测量；让自变量与因变量在表中一一对应。如果预先可以确定自变量的变 化范围和取值，则可按自变量的值由小到大或由大到小在表中预先写好。 3. 任一物理量都是数值与单位的合成，在表格中常用物理量与单位的比值来表示，如例表的第一 列所示，其中 D / cm 表示物理量 D 的单位是 cm，依此类推。注意：物理量的符号应用斜体书 写，单位的符号则用正体书写，以示区别（在用计算机打印时，更应严格遵守此规定）。 4. 表中各符号所代表的意义都应有相应的说明（如例表中的直径、长度等，但不一定写在表格中）。 5. 不同的物理量之间应用线条加以区分，如例表中各横线所示。物理量与数据之间也应用线条加 以区分，如例表中第 1 竖线所示。 6. 测量量与计算量应明确区分，如例表中第 6、7 竖线所示。计算量应注明计算公式（不一定写在 表格中）。 7. 为了清楚说明表的意义，必要时还应加上一个表名
、作图 在物理实验中,常为了清晰地看到物理量之间的定性关系,或方便地比较不同的物理特性,需 要用作图法来直观地显示物理量之间的关系,有时作直线图,有时还要作曲线图。作图法是研究 39 (8,39p 画A 桂显B P-33 检名种:电阻强度科的定 图卒:电阻阻值凡与區度的来 T4 kbl 实捡中:201年月5d 40 e/℃ 物理量之间变化规律的重要手段。对于作图一般应遵守如下规则: 1.作图用纸一般应采用标准坐标纸。图纸的大小应能反映物理量的有效数字;作图区域应占图纸 的一半以上 2.取自变量为横坐标(向右增大);取因变量为纵坐标(向上增大)。画出纵、横坐标轴,并与图 纸上印的线条密切重合,但坐标轴不一定取图纸所印标格的边线,坐标轴的标度值不一定从零 开始。 3.根据自变量(及因变量)的最低值与最高值,选取合适的作图比例,应取图纸上的1格所表示 的原数据的量值变化为1、2、5等数(或它们的十进倍率)。 4.每隔相同距离,沿轴画一垂直于轴的短线(称为标度线),并在其附近注以标度值。标度值的位 数不必取实验数据中的全部有效数字位数,例如250只标25即可。(一般在各坐标轴上可标5 10个标度值。) 5.对每一坐标轴,要标明物理量的名称及单位符号。(标注的方法与表格相同) 6.数据点要用端正的“+”或“⊙”等符号来表示。数据点应在符号的中心,符号的大小应相当于不 确定度的大小;但为简单起见,也可统一取2~3mm。在一张图纸上作多条曲线时,不同的数 据组应使用不同的符号来表示数据点,并在图中适当位置说明不同符号的不同意义。求斜率时 取点的符号应采用有别于这些数据点的符号,例如用正三角形“△”,并在其旁标以坐标(坐标 值应正确写出有效数字);求斜率时所取点的位置应靠近直线的两端,为计算方便起见,可选取 横坐标为整数。 7.拟合直线或曲线的线条务必匀、细、光滑。不通过图线的数据点应匀称地分布在图线的两侧, 且尽量靠近图线 8.在实验报告的图纸中,应写上实验名称、图名、姓名、日期。图纸上的中英文字及数字等均需 书写端正 以上规则是针对用手工作图的。当然也可以借助计算机作图,则有些规则(如数据点在符号的 中心,线条匀、细、光滑,书写端正等)是自动满足的。虽然计算机可以任意取比例,使曲线(或 直线)充满图纸,但实验作图时不宜采用这种方法。两标度线间的量值变化仍应取1、2、5及其十 进倍率等为佳,因为只有这样,才易于使用者读
13 二、作图 在物理实验中，常为了清晰地看到物理量之间的定性关系，或方便地比较不同的物理特性，需 要用作图法来直观地显示物理量之间的关系，有时作直线图，有时还要作曲线图。作图法是研究 物理量之间变化规律的重要手段。对于作图一般应遵守如下规则： 1. 作图用纸一般应采用标准坐标纸。图纸的大小应能反映物理量的有效数字；作图区域应占图纸 的一半以上。 2. 取自变量为横坐标（向右增大）；取因变量为纵坐标（向上增大）。画出纵、横坐标轴，并与图 纸上印的线条密切重合，但坐标轴不一定取图纸所印标格的边线，坐标轴的标度值不一定从零 开始。 3. 根据自变量（及因变量）的最低值与最高值，选取合适的作图比例，应取图纸上的 1 格所表示 的原数据的量值变化为 1、2、5 等数（或它们的十进倍率）。 4. 每隔相同距离，沿轴画一垂直于轴的短线（称为标度线），并在其附近注以标度值。标度值的位 数不必取实验数据中的全部有效数字位数，例如 2.50 只标 2.5 即可。（一般在各坐标轴上可标 5～ 10 个标度值。） 5. 对每一坐标轴，要标明物理量的名称及单位符号。（标注的方法与表格相同） 6. 数据点要用端正的“＋”或“⊙”等符号来表示。数据点应在符号的中心，符号的大小应相当于不 确定度的大小；但为简单起见，也可统一取 2～3mm。在一张图纸上作多条曲线时，不同的数 据组应使用不同的符号来表示数据点，并在图中适当位置说明不同符号的不同意义。求斜率时 取点的符号应采用有别于这些数据点的符号，例如用正三角形“△”，并在其旁标以坐标（坐标 值应正确写出有效数字）；求斜率时所取点的位置应靠近直线的两端，为计算方便起见，可选取 横坐标为整数。 7. 拟合直线或曲线的线条务必匀、细、光滑。不通过图线的数据点应匀称地分布在图线的两侧， 且尽量靠近图线。 8. 在实验报告的图纸中，应写上实验名称、图名、姓名、日期。图纸上的中英文字及数字等均需 书写端正。 以上规则是针对用手工作图的。当然也可以借助计算机作图，则有些规则（如数据点在符号的 中心，线条匀、细、光滑，书写端正等）是自动满足的。虽然计算机可以任意取比例，使曲线（或 直线）充满图纸，但实验作图时不宜采用这种方法。两标度线间的量值变化仍应取 1、2、5 及其十 进倍率等为佳，因为只有这样，才易于使用者读图。 例 图
若两物理量x、y满足线性关系,并由实验等精度地测得一组数据(x,y;i=1,2,…,n),如何 作出一条能最佳地符合所得数据的直线,以反映上述两变量间的线性关系呢?除了用作图法进行拟 合外,常用的还有最小二乘法。 最小二乘法认为:若最佳拟合的直线为y=f(x),则所测各y值与拟合直线上相应的各估计值 ,=f(x1)之间的偏差的平方和为最小,即 s=∑(1-y)→mn(极小) (1) 因为测量总是有不确定度存在,所以在x和y中都含有不确定度。为讨论简便起见,不妨假设 各x值是准确的,而所有的不确定度都只联系着y。这样,如由y=∫(x)所确定的值与实际测得 值y之间的偏差平方和最小,也就表示最小二乘法所拟合的直线是最佳的。 般,可将直线方程表示为:y=kx+b 其中k是待定直线的斜率;b是待定直线的y轴截距。如果设法确定这两个参数,该直线也就确 定了,所以解决直线拟合的问题也就变成由所给实验数据组(x,y)来确定k、b的过程。将上式 代入(1)式得: s(kb)=∑(0-kx-b)2→min (2) 所求的k和b应是下列方程组的解 2∑(0-kx-b)x=0 ∑ 其中∑表示对i从1到n求和。将上式展开,消去未知数b,可得 =2(x-xy=∑(x)-∑x∑ 式中 ∑(x ∑x2-Cx) 将求得的k值代入方程组,可得: 6=y-h 至此,所需拟合的直线方程y=kx+b就被唯一地确定了 由最终结果不难得到,最佳配置的直线必然通过(x,y)这一点。因此在作图拟合直线时,拟 合的直线必须通过该点 为了检验拟合直线是否有意义,在数学上引入相关系数r,它表示两变量之间的函数关系与线性 函数的符合程度,具体定义为 式中l的计算方法与lx类似。相关系数r有效数字一般保留到第一个不为9的数,r的值越接 近1,表示x和y的线性关系越好;若r近于0,就可以认为x和y之间不存在线性关系 在物理实验中,相当多的情况是所测的两个物理量x、y之间的关系符合某种曲线方程,而非直 线方程。这时,可对曲线方程作一些变换,引入新的变量,从而将不少曲线拟合的问题转化为直线
14 三、拟合 若两物理量 x、y 满足线性关系，并由实验等精度地测得一组数据（xi，yi；i =1,2,……,n），如何 作出一条能最佳地符合所得数据的直线，以反映上述两变量间的线性关系呢？除了用作图法进行拟 合外，常用的还有最小二乘法。 最小二乘法认为：若最佳拟合的直线为 y f (x) ，则所测各 yi 值与拟合直线上相应的各估计值 ( ) i i y f x 之间的偏差的平方和为最小，即 min 1 2 n i i i s y y （极小） （1） 因为测量总是有不确定度存在，所以在 xi 和 yi 中都含有不确定度。为讨论简便起见，不妨假设 各 xi 值是准确的，而所有的不确定度都只联系着 yi。这样，如由 ( ) ˆ i i y f x 所确定的值与实际测得 值 yi 之间的偏差平方和最小，也就表示最小二乘法所拟合的直线是最佳的。 一般，可将直线方程表示为： y kx b 其中 k 是待定直线的斜率；b 是待定直线的 y 轴截距。如果设法确定这两个参数，该直线也就确 定了，所以解决直线拟合的问题也就变成由所给实验数据组（xi，yi）来确定 k、b 的过程。将上式 代入（1）式得： ( , ) min 1 2 n i s k b yi kxi b （2） 所求的 k 和 b 应是下列方程组的解。 2 ( ) 0 2 ( ) 0 y kx b b s y kx b x k s i i i i i 其中 Σ 表示对 i 从 1 到 n 求和。将上式展开，消去未知数 b，可得： xx xy l l k （3） 式中 2 2 2 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) xx i i i xy i i i i i i x n l x x x x y n l x x y y x y （4） 将求得的 k 值代入方程组，可得： b y kx （5） 至此，所需拟合的直线方程 y kx b 就被唯一地确定了。 由最终结果不难得到，最佳配置的直线必然通过（ x，y ）这一点。因此在作图拟合直线时，拟 合的直线必须通过该点。 为了检验拟合直线是否有意义，在数学上引入相关系数 r，它表示两变量之间的函数关系与线性 函数的符合程度，具体定义为： xx yy xy l l l r （6） 式中 lyy的计算方法与 lxx类似。相关系数 r 有效数字一般保留到第一个不为 9 的数，r 的值越接 近 1，表示 x 和 y 的线性关系越好；若 r 近于 0，就可以认为 x 和 y 之间不存在线性关系。 在物理实验中，相当多的情况是所测的两个物理量 x、y 之间的关系符合某种曲线方程，而非直 线方程。这时，可对曲线方程作一些变换，引入新的变量，从而将不少曲线拟合的问题转化为直线