D01:10.133741.ism1001053x.2009.2.0I9 第31卷第2期 北京科技大学学报 Vol.31 No.2 2009年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Fb.2009 颗粒流本构关系的实验研究 刘传平王立岳献芳尹少武 北京科技大学机械工程学院。北京100083 摘要基于“拟流体”的思想，给出了测量颗粒流本构关系的实验方法.在颗粒斜槽流实验中，通过颗粒的抛物线运动计算 流层速度分布，根据非牛顿流体理论求得颗粒流黏性的本构关系：建立了颗粒斜槽流的数学模型，流层的速度为指数分布，流 量为斜槽倾角和流层厚度的函数.以小麦颗粒为例，实验结果与用“拟流体”方法所得的预测值进行比较，相对误差在13%以 内 关键词颗粒流：本构关系：拟流体：斜槽流 分类号TQ0223 Experimental study on the constitutive relation of granular flow LIU Chuan-ping,WANG Li.YUE Xian-fang.Y IN Shao-wu School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT An experimental method for measuring the constitutive reation of granular flow was presented.Granular chute flow w as described as a non-Newton fluid,and its constitutive relation w as computed on the base of the veocity distribution calculated by the throwing motion of granules when being out of a chute.A model of granular chute flow was employed,which indicates that the velocity obeys exponential distribution and the flow rate is a function of chute angle and flow thickness.Fom the theoretical analysis of wheat granule chute flow by using the constitutive relation from experiment.the relative error of the predicted volume flow rate is less than 13%compared with experimental data. KEY WORDS granular flow;constitutive relation:pseudo-fluid;chute 散体颗粒物质在自然界广泛存在，属于软凝聚 性是由于气体分子间动量传递，液体具有黏性是由 态物理的研究范畴.颗粒流指的就是颗粒物料在外 于液体分子间引力的作用.相应的，对于散体颗粒 力和内部应力作用下发生的类似于流体的运动状 来说，颗粒之间的内摩擦和碰撞应力则是其“黏性” 态.这里所讨论的颗粒物质一般指由尺寸心 的主要原因.对于颗粒物质流动，可以类比流体流 Im的颗粒组成的宏观体系，此时颗粒的热运动即 动，找出其本构关系，则有可能运用发展相对完善的 布朗运动完全可以忽略.颗粒物质中的相互作用不 流体力学计算方法来计算颗粒物质的流动问题（如 同于原子或分子之间的作用，颗粒之间的作用主要 流速、流量等).因此，对颗粒流动的连续介质模型， 是摩擦力以及碰撞，对其组成的单个颗粒本身的物 研究其本构关系意义重大，是将流体力学的计算方 理性质不敏感.一般地讲，颗粒的间隙充满气体或 法应用于颗粒流的关键. 液体物质，因此颗粒流是多相流.实际证明，忽略颗 根据颗粒之间的相对滑动及相互挤压作用.可 粒之间的流体作用而只考虑颗粒受力作用下的运动 以将颗粒之间的相互作用分为静态支撑、相对滑动、 情况是合理的，颗粒流通常指这种狭义的颗粒流动. 碰撞以及扩散四种.多位学者川对颗粒流的 流体的黏性实质上是流体分子微观作用的宏观 本构关系进行了研究，他们所得到的本构关系中都 表现，可以从分子运动论角度来解释.气体具有黏 存在两部分：一部分是速度梯度的函数：另外一部分 收稿日期：200803-03 基金项目：科技部农业科技成果转化重大基金资助项目(Na04EFN217100386 作者简介：刘传平(1982一)，男，博士研究生：王立(1956一），男，教授，博士生导师，E-mail:iwag@me.usth.血.cm
颗粒流本构关系的实验研究 刘传平 王 立 岳献芳 尹少武 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 基于“ 拟流体” 的思想, 给出了测量颗粒流本构关系的实验方法.在颗粒斜槽流实验中, 通过颗粒的抛物线运动计算 流层速度分布, 根据非牛顿流体理论求得颗粒流黏性的本构关系;建立了颗粒斜槽流的数学模型, 流层的速度为指数分布, 流 量为斜槽倾角和流层厚度的函数.以小麦颗粒为例, 实验结果与用“ 拟流体” 方法所得的预测值进行比较, 相对误差在 13%以 内. 关键词 颗粒流;本构关系;拟流体;斜槽流 分类号 TQ 022.3 Experimental study on the constitutive relation of granular flow LIU Chuan-ping, WANG Li , YUE Xian-fang, Y IN S hao-wu S chool of Mechanical Engineering, University of S cience and Technology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT An experimental method for measuring the constitutive relation of g ranular flow was presented .Granular chute flow w as described as a non-Newton fluid, and its constitutive relatio n w as computed on the base of the velocity distribution calculated by the throwing motion of granules when being out of a chute.A model of g ranular chute flow w as employed, which indicates that the v elo city obeys ex ponential distribution and the flow rate is a function of chute angle and flow thickness.From the theoretical analysis of w heat granule chute flow by using the co nstitutive relation from experiment, the relative error of the predicted volume flow rate is less than 13 % compared with experimental data. KEY WORDS g ranular flow ;constitutive relation;pseudo-fluid ;chute 收稿日期:2008-03-03 基金项目:科技部农业科技成果转化重大基金资助项目( No.04EFN217100386) 作者简介:刘传平( 1982—) , 男, 博士研究生;王 立( 1956—) , 男, 教授, 博士生导师, E-mail:liw ang @me .ustb.edu.cn 散体颗粒物质在自然界广泛存在, 属于软凝聚 态物理的研究范畴.颗粒流指的就是颗粒物料在外 力和内部应力作用下发生的类似于流体的运动状 态[ 1] .这里所讨论的颗粒物质一般指由尺寸 d > 1μm的颗粒组成的宏观体系, 此时颗粒的热运动即 布朗运动完全可以忽略.颗粒物质中的相互作用不 同于原子或分子之间的作用, 颗粒之间的作用主要 是摩擦力以及碰撞, 对其组成的单个颗粒本身的物 理性质不敏感.一般地讲, 颗粒的间隙充满气体或 液体物质, 因此颗粒流是多相流.实际证明, 忽略颗 粒之间的流体作用而只考虑颗粒受力作用下的运动 情况是合理的, 颗粒流通常指这种狭义的颗粒流动 . 流体的黏性实质上是流体分子微观作用的宏观 表现, 可以从分子运动论角度来解释.气体具有黏 性是由于气体分子间动量传递, 液体具有黏性是由 于液体分子间引力的作用 .相应的, 对于散体颗粒 来说, 颗粒之间的内摩擦和碰撞应力则是其“黏性” 的主要原因.对于颗粒物质流动, 可以类比流体流 动, 找出其本构关系, 则有可能运用发展相对完善的 流体力学计算方法来计算颗粒物质的流动问题(如 流速、流量等) .因此, 对颗粒流动的连续介质模型, 研究其本构关系意义重大, 是将流体力学的计算方 法应用于颗粒流的关键 . 根据颗粒之间的相对滑动及相互挤压作用, 可 以将颗粒之间的相互作用分为静态支撑、相对滑动、 碰撞以及扩散四种 [ 2-3] .多位学者 [ 3-11] 对颗粒流的 本构关系进行了研究, 他们所得到的本构关系中都 存在两部分 :一部分是速度梯度的函数;另外一部分 第 31 卷 第 2 期 2009 年 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.2 Feb.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.02.019
第2期 刘传平等：颗粒流本构关系的实验研究 257。 与速度梯度无关，是颗粒物性、颗粒密度分布和流体 供料斗 压力等的函数.采用“拟流体”方法对颗粒流进行研 插板 究，颗粒的数量必须满足一定统计数量，如果颗粒层 堆料箱 太薄或颗粒数量太少，此时连续介质假设不成立 一个力作用于颗粒物质上，当力很小时，堆积的 支撑杆 颗粒物质并不发生形变，只有当这个力大于一定值， 颗粒才开始流动.即可认为在小于休止角3以下的 颗粒并不流动，而只有当倾斜角度α大于休止角B . 时，颗粒流才在α一阝的角度下流动.颗粒物质流动 现象和现有研究成果表明，颗粒物质表现出来 图】斜槽实验装置示意图 的特性与牛顿流体有较大差别，颗粒流与牛顿流体 Fig.I Equipment of an inc lined chute for experiment 的不同，反应在它们在本构关系上的不同.颗粒物 和斜槽等组成.供料料斗用于储存物料，而堆料箱 质具有一些特有的性质，本文把这些因素都归结到 是为了消除供料料斗中料层厚度变化对供给颗粒流 颗粒流本构关系中 量的影响，斜槽倾角可通过斜槽下的支撑杆进行调 斜槽流动是最简单的流动，也最适合研究颗粒 节，插板的作用是调节颗粒的流量并保证初始颗粒 的流动规律，根据科技部农业科技成果转化重大基 流层厚度均匀.堆料箱、插板以及斜槽两侧壁均为 金项目的需要，本文以小麦作为实验颗粒，为小麦在 光滑的有机玻璃材料，可将边壁对流动的影响减小 农机设备的进出料、流动以及输运过程中流量的计 到最低.同时，斜槽的宽度大于颗粒粒径的20倍以 算提供理论依据.边琳等9测量出了小麦在慢速 上，可忽略宽度对斜槽中颗粒的流动影响.斜槽底 密集流时候的本构关系，本文在此基础上将小麦颗 面粘有随机排列的实验颗粒，以消除颗粒在壁面上 粒流的实用范围进一步推广. 的滑移 1实验部分 本文实验颗粒选用小麦，其物性参数如表1，其 中休止角为颗粒的堆积角度 如图1所示，整个实验装置由供料料斗、堆料箱 表1实验小麦颗粒的物性参数 Table I Physical parameters of w heat 颗粒 休止角，/°) 当量直径，d/mm 球形度.中 堆积密度，P/(kg"m一3) 干基含湿量，MW% 小麦 31 5.3 078 6965 14 将斜槽倾斜角置于一略大于休止角的固定角度 2.1斜槽内颗粒流均匀流动 (α一<4°)，打开插板，小麦从堆料箱中沿斜槽流 颗粒在斜槽内做均匀稳定流动时，沿斜面方向， 下，小麦在流出的出口处没有任何阻挡.待流动稳 颗粒自身的重力与受到的黏滞力平衡.设流层厚度 定后，用数码相机对斜槽出口的物料进行拍照，连续 为h,斜槽倾角为&，沿斜面向下为x方向，垂直斜 拍摄多张照片，从中取出最具代表性的图片进行分 面向上为y方向，颗粒物料在重力作用下沿斜面向 析. 下稳定流动， 图2为小麦在斜槽内流动的受力分析示意图. 2数学模型 由x、y方向力平衡，微元体受到的切应力和正应力 在建立数学模型时做以下假设：(1)小麦颗粒 分别为： 流为连续介质，在流动过程中小麦空隙率改变很小， t=Pg(h-y)sina (1) 对堆积密度的影响可以忽略：(2)斜槽侧壁面光滑 o=eg(h-y)cosa (2) 且斜槽宽度远大于小麦颗粒直径，忽略斜槽宽度方 式中，P为颗粒的堆积密度，h为料层厚度，g为重 向的影响：(3)斜槽宽度方向流动均匀：(4)小麦颗 力加速度.根据假设(1)，堆积密度P为定值. 粒流出斜槽后，只在重力作用下做斜抛运动，忽略空 切应力采用非牛顿流体的一般表达式为： 气阻力. =to+k(du/dy)" (3)
与速度梯度无关, 是颗粒物性 、颗粒密度分布和流体 压力等的函数.采用“拟流体”方法对颗粒流进行研 究, 颗粒的数量必须满足一定统计数量, 如果颗粒层 太薄或颗粒数量太少, 此时连续介质假设不成立. 一个力作用于颗粒物质上, 当力很小时, 堆积的 颗粒物质并不发生形变, 只有当这个力大于一定值, 颗粒才开始流动 .即可认为在小于休止角 β 以下的 颗粒并不流动, 而只有当倾斜角度 α大于休止角 β 时, 颗粒流才在 α-β 的角度下流动 .颗粒物质流动 现象和现有研究成果表明[ 3-14] , 颗粒物质表现出来 的特性与牛顿流体有较大差别, 颗粒流与牛顿流体 的不同, 反应在它们在本构关系上的不同.颗粒物 质具有一些特有的性质, 本文把这些因素都归结到 颗粒流本构关系中. 斜槽流动是最简单的流动, 也最适合研究颗粒 的流动规律, 根据科技部农业科技成果转化重大基 金项目的需要, 本文以小麦作为实验颗粒, 为小麦在 农机设备的进出料 、流动以及输运过程中流量的计 算提供理论依据 .边琳等 [ 15] 测量出了小麦在慢速 密集流时候的本构关系, 本文在此基础上将小麦颗 粒流的实用范围进一步推广. 1 实验部分 如图 1 所示, 整个实验装置由供料料斗、堆料箱 图1 斜槽实验装置示意图 Fig.1 Equipment of an inclined chu te for experiment 和斜槽等组成.供料料斗用于储存物料, 而堆料箱 是为了消除供料料斗中料层厚度变化对供给颗粒流 量的影响, 斜槽倾角可通过斜槽下的支撑杆进行调 节, 插板的作用是调节颗粒的流量并保证初始颗粒 流层厚度均匀.堆料箱 、插板以及斜槽两侧壁均为 光滑的有机玻璃材料, 可将边壁对流动的影响减小 到最低 .同时, 斜槽的宽度大于颗粒粒径的 20 倍以 上,可忽略宽度对斜槽中颗粒的流动影响 .斜槽底 面粘有随机排列的实验颗粒, 以消除颗粒在壁面上 的滑移 . 本文实验颗粒选用小麦, 其物性参数如表 1, 其 中休止角为颗粒的堆积角度 . 表 1 实验小麦颗粒的物性参数 Table 1 Physical paramet ers of w heat 颗粒 休止角, β/ (°) 当量直径, d/ mm 球形度, Ф 堆积密度, ρ/ ( kg·m -3 ) 干基含湿量, M/ % 小麦 31 5.3 0.78 696.5 14 将斜槽倾斜角置于一略大于休止角的固定角度 ( α-β <4°) , 打开插板, 小麦从堆料箱中沿斜槽流 下, 小麦在流出的出口处没有任何阻挡.待流动稳 定后, 用数码相机对斜槽出口的物料进行拍照, 连续 拍摄多张照片, 从中取出最具代表性的图片进行分 析. 2 数学模型 在建立数学模型时做以下假设:( 1) 小麦颗粒 流为连续介质, 在流动过程中小麦空隙率改变很小, 对堆积密度的影响可以忽略 ;( 2) 斜槽侧壁面光滑 且斜槽宽度远大于小麦颗粒直径, 忽略斜槽宽度方 向的影响 ;( 3) 斜槽宽度方向流动均匀 ;( 4) 小麦颗 粒流出斜槽后, 只在重力作用下做斜抛运动, 忽略空 气阻力. 2.1 斜槽内颗粒流均匀流动 颗粒在斜槽内做均匀稳定流动时, 沿斜面方向, 颗粒自身的重力与受到的黏滞力平衡.设流层厚度 为 h, 斜槽倾角为 α, 沿斜面向下为 x 方向, 垂直斜 面向上为 y 方向, 颗粒物料在重力作用下沿斜面向 下稳定流动 . 图 2 为小麦在斜槽内流动的受力分析示意图. 由 x 、y 方向力平衡, 微元体受到的切应力和正应力 分别为 : τ=ρg( h -y) sin α ( 1) σ=ρg( h -y ) cosα ( 2) 式中, ρ为颗粒的堆积密度, h 为料层厚度, g 为重 力加速度.根据假设( 1), 堆积密度 ρ为定值 . 切应力采用非牛顿流体的一般表达式为: τ=τ0 +k ( du/dy ) n ( 3) 第 2 期 刘传平等:颗粒流本构关系的实验研究 · 257 ·
。258· 北京科技大学学报 第31卷 粒只在重力作用下做斜抛运动，其运动方程为： H=uad ina叶28r2 (7) L=uatcosa (8) 式中，H为小麦颗粒下落运动垂直距离，m;L为小 d 麦颗粒下落运动的水平距离，m;u4为小麦颗粒在 上A截面处沿x方向的速度，m。1 3实验结果分析 3.1小麦颗粒出口的速度分布 图3为小麦颗粒在斜槽中流动稳定后，拍摄的 图2颗粒在粗糙斜面上流动时的受力分析 一张出口图片.找出图片中流线。按式(7)和式(8) Fig 2 Force analy sis of granular flow along the rough incined chute 计算颗粒在图中A一A截面的速度分布.A一A截 面速度方向平行于斜槽，即可得到沿料层厚度B一B 颗粒流动的剪切应力由两部分组成：右边第一 方向的速度分布.本文选取了稳定流动状态时的四 项为屈服应力项，这一项正比于正应力，to=k:6k: 张照片，求出B一B截面的速度分布列于图4. 为比例系数，k,=tamB,B为休止角；右边第二项为 拟黏性项，依赖于颗粒的空隙率、压力和速度梯度. k为黏度的量度，它不仅与颗粒的物性有关，还受到 颗粒层正应力的影响，正应力越大，颗粒流黏性越 大，而颗粒之间没有作用力时（σ=0）颗粒流不存在 B 黏性(k=0).在本文中，假设黏度度量k与颗粒流 所受正应力的i次方(d)成正比例关系，k=Ad. 对式(3)积分，并代入边界条件：y=0时，u=0:y= b时，u=ub,uh,为表面流速.因此，速度和体积流 量分别为： u=-K1(h-y以2+ (4) h g=J0udw=。【-K(h-y]d= 1 (5) 式中，n=Kh:K1=[ Cesin(a-B)n 门n+1- 图3颗粒运动的实验照片（斜槽倾角34） Fig.3 Photo of gnain throwing motion with an ineination angle of K2=n土-，K4=Apg'osa. 34° n 令U=一u为相对速度，Y=h一y为相对 3.2计算小麦颗粒流本构关系 厚度，则 采用式(6)中相对速度U和相对厚度Y拟合 U=KiYk: (6) 参数，从不同照片选取实验数据点，得到速度分布图 分析式(4)或式(6)，当1时，K>1,速度分 4. 布为下凹型，与普通流体类似：当=1时，K2=L, 图4中曲线拟合公式为U=7.7559yQ652,相 速度分布为直线型：当D1,K<1时，速度分布为 关系数R2=09216.对比式(5)，有： 上凸型.由式(5)可知，对于斜槽中的颗粒流，其流 K1=7.7559 (9) 量不仅受流层厚度的影响，也是斜槽倾角的函数， K2=0.6152 (10) qsinv"(a-B)h2 假设小麦黏度量度k与正应力σ2成正比例关 2.2斜槽外小麦颗粒的斜抛运动 系(i=2),得：n=26,A=2.236×107,0= 如图2，当小麦颗粒流过一A截面时，假设颗 tan Bo,k=A02
图 2 颗粒在粗糙斜面上流动时的受力分析 Fig.2 Force analysis of granular flow along the rough inclined chute 颗粒流动的剪切应力由两部分组成:右边第一 项为屈服应力项, 这一项正比于正应力, τ0 =k r σ, k r 为比例系数, k r =tan β, β 为休止角 ;右边第二项为 拟黏性项, 依赖于颗粒的空隙率、压力和速度梯度 . k 为黏度的量度, 它不仅与颗粒的物性有关, 还受到 颗粒层正应力的影响, 正应力越大, 颗粒流黏性越 大, 而颗粒之间没有作用力时( σ=0) 颗粒流不存在 黏性( k =0) .在本文中, 假设黏度度量 k 与颗粒流 所受正应力的 i 次方( σ i ) 成正比例关系, k =Aσ i . 对式( 3)积分, 并代入边界条件:y =0 时, u =0 ;y = b 时, u =u b, ub 为表面流速.因此, 速度和体积流 量分别为 : u =-K 1( h -y) K 2 +ub ( 4) qv =∫ h 0 udy =∫ h 0 [ -K 1( h -y ) K 2 ] dy = K 1 1 - 1 1 +K 2 h 1 +K 2 ( 5) 式中, ub =K 1 h K 2 , K 1 = ρg sin( α-β) k Acosβ 1 n n n +1 -i , K 2 =n +1 -i n , K A =Aρi g i cos iα. 令 U =ub -u 为相对速度, Y =h -y 为相对 厚度, 则 U =K 1 Y K 2 ( 6) 分析式( 4) 或式( 6), 当 i <1 时, K 2 >1, 速度分 布为下凹型, 与普通流体类似;当 i =1 时, K 2 =1, 速度分布为直线型;当 i >1, K 2 <1 时, 速度分布为 上凸型 .由式( 5)可知, 对于斜槽中的颗粒流, 其流 量不仅受流层厚度的影响, 也是斜槽倾角的函数, q ∝sin 1/ n ( α-β) h 1+K 2 . 2.2 斜槽外小麦颗粒的斜抛运动 如图 2, 当小麦颗粒流过 A-A 截面时, 假设颗 粒只在重力作用下做斜抛运动, 其运动方程为: H =uAt sin α+ 1 2 gt 2 ( 7) L =uAtcosα ( 8) 式中, H 为小麦颗粒下落运动垂直距离, m ;L 为小 麦颗粒下落运动的水平距离, m ;uA 为小麦颗粒在 A-A截面处沿 x 方向的速度, m·s -1 . 3 实验结果分析 3.1 小麦颗粒出口的速度分布 图 3 为小麦颗粒在斜槽中流动稳定后, 拍摄的 一张出口图片.找出图片中流线, 按式( 7)和式( 8) 计算颗粒在图中 A-A 截面的速度分布.A-A 截 面速度方向平行于斜槽, 即可得到沿料层厚度 B-B 方向的速度分布.本文选取了稳定流动状态时的四 张照片, 求出 B-B 截面的速度分布列于图 4 . 图 3 颗粒运动的实验照片( 斜槽倾角 34°) Fig.3 Photo of grain throwing motion with an inclination angle of 34° 3.2 计算小麦颗粒流本构关系 采用式( 6) 中相对速度 U 和相对厚度 Y 拟合 参数, 从不同照片选取实验数据点, 得到速度分布图 4 . 图 4 中曲线拟合公式为 U =7.755 9 Y 0.615 2 , 相 关系数 R 2 =0.9216 .对比式( 5) , 有: K 1 =7.755 9 ( 9) K 2 =0.615 2 ( 10) 假设小麦黏度量度 k 与正应力 σ 2 成正比例关 系( i =2) , 得:n =2.6, A =2.236 ×10 -7 , τ0 = tan βσ, k =Aσ 2 . · 258 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷
第2期 刘传平等：颗粒流本构关系的实验研究 ·259。 1.2r 0.6o+5.41X107.2(0/a)26 (11) 斜面倾斜角 1.0 。32.5° ·0s ◇33.7° 4 结果验证与分析 0.8 △34.0° 734.4° 0.6 将已知的小麦颗粒流本构关系系数B、A和n 多 0.4 代入单位宽度体积流量公式(5)，得出的解析计算值 0.2F 与相应流量实验数据进行比较，结果见表2.对于流 0之 速在05~1.5ms1之间的小麦流动，采用本构关 0 0.01 0.020.03 0.04 相对厚度，Ym 系(11)计算，计算结果与实验的误差在13%以内. 引起误差的原因有：(1)随着斜槽倾角的变化，颗粒 图4小麦速度分布曲线 Fig 4 Velocity distribution of wheat 流速发生改变颗粒之间的相互作用机理略有不同： (2)斜槽壁面对流动会有一定影响，颗粒流在宽度 小麦颗粒流的本构关系为： 方向上速度不均匀：(3)在颗粒流动过程中，流层空 T=tan Bo+Ao2(du/dy)"= 隙率会产生变化而造成颗粒堆积密度变化. 表2体积流量模型预测值与相应实验值比较 Table 2 Comparison of volume rates calculated by the mathematical mocel with experimental data 实验表面速度值， 计算表面速度值 实验流量值， 计算流量值， 相对 a/) b/m u/(m's-1) ud(m"s) q/(m3s-1…m- 9/(m3s1m-l 误差/% 35 0033 1.00 1.07 00128 0.0135 5.2 35 0020 0.71 0.78 000553 0.00600 8.4 31 Q022 0.85 0.99 000743 0.00833 121 对文献[12]的实验数据进行验证（实验数据见 许多学者对颗粒斜槽流动进行了实 文献12中图18)，取K2=0.8时，倾角较小的两组 验610,1和模拟1，所得结果差别较大，速度 实验点吻合很好（实线），当α一>7°以上时，实验 分布曲线既有类似普通流体的下凹型，也有普通流 点与计算值相差很远（虚线），如图5所示.在不同 体不能解释的直线型和上凸型，但是流量都类似 流速的情况下，颗粒之间的作用力不同.在低流速 gh+K:关系，K2的数值从0到15不等.斜面颗 时，以静态支撑和持续碰撞为主：在中速时，以半持 粒流介于准静态颗粒流和快速颗粒流之间，其运动 续碰撞为主：而在高速时，颗粒之间的作用主要为碰 规律极为复杂，现有的研究均将本构关系中的n值 撞和扩散.因此采用实验拟合的本构关系在具有相 视为定值8,1☒，因此得到的本构关系总存在实用范 似碰撞的流动区域内能够很好的吻合.可以看出： 围.严格地说，本构关系中的k和n与颗粒的球形 流速越小时，颗粒的速度分布曲线越趋近于直线：而 度、粒径、粒径分布、密度以及颗粒表面粗糙度、硬 流速越大，速度分布越弯曲 度、刚度等都有关系.但是当颗粒流动倾角α一B在 玻璃珠： 一定范围内时，可以通过实验拟合颗粒流本构关系 2.0r d-1 mm,p=2 460 kg.m3. 系数，表征颗粒流的流动特性.对颗粒流的进一步 a=26.5; 拟合参数 研究需要考虑值的变化规律，扩大本构关系的使 1.5 H=5.1=2. A=2.3×101B,K2-0.8: 用范围.值得一提的是，在文献1中，得出的斜槽 △：a=27°，h=15mm; 1.0 0 V:a=33,e14mm; 平均流速仅与流层厚度和颗粒滞止层厚度有关.滞 ◇：a=37°，h-8.1mme 止层厚度是颗粒休止角的函数因此影响颗粒流本 构关系的众多因素都可以综合体现在颗粒的休止角 3中，颗粒的本构关系系数只是休止角B的函数 0.004 0.008 0.012 5结论 相对厚度，Ym (1)针对颗粒流流动现象与颗粒之间作用力机 图5玻璃珠的速度分布曲线！！ 理，将颗粒流采用拟非牛顿流体的方法进行研究，所 Fig.5 Velocity distribution of glass beads! 得本构关系适用于作用力机理相同或相似的颗粒
图 4 小麦速度分布曲线 Fig.4 Velocity distribution of w heat 小麦颗粒流的本构关系为 : τ=tan βσ+Aσ 2 ( u/ y) n = 0.6σ+5.41 ×10 -7 σ 2 ( u/ y ) 2.6 ( 11) 4 结果验证与分析 将已知的小麦颗粒流本构关系系数 β 、A 和 n 代入单位宽度体积流量公式( 5) , 得出的解析计算值 与相应流量实验数据进行比较, 结果见表 2 .对于流 速在 0.5 ～ 1.5 m·s -1之间的小麦流动, 采用本构关 系( 11)计算, 计算结果与实验的误差在 13 %以内. 引起误差的原因有 :( 1) 随着斜槽倾角的变化, 颗粒 流速发生改变, 颗粒之间的相互作用机理略有不同; ( 2) 斜槽壁面对流动会有一定影响, 颗粒流在宽度 方向上速度不均匀 ;( 3) 在颗粒流动过程中, 流层空 隙率会产生变化而造成颗粒堆积密度变化 . 表 2 体积流量模型预测值与相应实验值比较 Table 2 Comparison of volume rat es calculated by the mathematical model w ith experiment al data α/ (°) b/ m 实验表面速度值, u b / ( m·s -1 ) 计算表面速度值, u b / ( m·s -1 ) 实验流量值, qv e / ( m 3·s -1·m -1 ) 计算流量值, qvc / (m 3·s -1·m -1 ) 相对 误差/ % 35 0.033 1.00 1.07 0.012 8 0.013 5 5.2 35 0.020 0.71 0.78 0.005 53 0.006 00 8.4 37 0.022 0.85 0.99 0.007 43 0.008 33 12.1 图 5 玻璃珠的速度分布曲线[ 12] Fig.5 Velocity distribution of glass beads [ 12] 对文献[ 12] 的实验数据进行验证(实验数据见 文献 12 中图 18), 取 K 2 =0.8 时, 倾角较小的两组 实验点吻合很好( 实线), 当 α-β >7°以上时, 实验 点与计算值相差很远( 虚线), 如图 5 所示.在不同 流速的情况下, 颗粒之间的作用力不同.在低流速 时, 以静态支撑和持续碰撞为主;在中速时, 以半持 续碰撞为主;而在高速时, 颗粒之间的作用主要为碰 撞和扩散 .因此采用实验拟合的本构关系在具有相 似碰撞的流动区域内能够很好的吻合.可以看出 : 流速越小时, 颗粒的速度分布曲线越趋近于直线;而 流速越大, 速度分布越弯曲. 许 多 学 者 对 颗 粒 斜 槽 流 动 进 行 了 实 验[ 6, 10, 12-13] 和模拟[ 13-14] , 所得结果差别较大, 速度 分布曲线既有类似普通流体的下凹型, 也有普通流 体不能解释的直线型和上凸型, 但是流量都类似 q ∝h 1 +K 2关系, K 2 的数值从 0 到 1.5 不等 .斜面颗 粒流介于准静态颗粒流和快速颗粒流之间, 其运动 规律极为复杂, 现有的研究均将本构关系中的 n 值 视为定值[ 8, 12] , 因此得到的本构关系总存在实用范 围 .严格地说, 本构关系中的 k 和 n 与颗粒的球形 度 、粒径、粒径分布、密度以及颗粒表面粗糙度、硬 度 、刚度等都有关系.但是当颗粒流动倾角 α-β 在 一定范围内时, 可以通过实验拟合颗粒流本构关系 系数, 表征颗粒流的流动特性.对颗粒流的进一步 研究需要考虑 n 值的变化规律, 扩大本构关系的使 用范围 .值得一提的是, 在文献[ 12] 中, 得出的斜槽 平均流速仅与流层厚度和颗粒滞止层厚度有关.滞 止层厚度是颗粒休止角的函数, 因此影响颗粒流本 构关系的众多因素都可以综合体现在颗粒的休止角 β 中, 颗粒的本构关系系数只是休止角 β 的函数. 5 结论 ( 1) 针对颗粒流流动现象与颗粒之间作用力机 理, 将颗粒流采用拟非牛顿流体的方法进行研究, 所 得本构关系适用于作用力机理相同或相似的颗粒 第 2 期 刘传平等:颗粒流本构关系的实验研究 · 259 ·
。260· 北京科技大学学报 第31卷 流. [5 Elaskar S A,Godoy L A.Constitutive relations for compressible (2)建立了斜槽流的二维实验模型，颗粒流流 granular materials using non-New tonian fhid mechanics.Int 动的本构关系为t=tan3o十Ad(au/i)”,其流量 Mech Sci,1998.40(10):1001 [6 Silbert L E.Landry J W,Grest G S.Granular flow dow n a gsnV"(a一B)h+与；在接近颗粒休止角流动时， rough indlined plane:transition between thin and thick piles. 流量和速度分布都与流层厚度成指数关系，且颗粒 Phys Fluids,2003.15(1):1 流速越快，速度分布越弯曲. [7 Massoud M.Phuoc T X.Numerical soution to the shearing flow of granulr materials betw een two pates.Int J Non Linear (3)以小麦为例流动倾角α一B在2°一6°，流 4Meh,2005,401):1 速在0.5~1.5m/s之间的本构关系为t=0.6o+ [8 Jop P,Forterre Y,Pouliqen 0.A constitutive lw for dense 5.41×107o2(u/)26,其速度分布曲线为上凸 granular flow s.Nature,441:2006,727 形u906152,流量g1652.采用以上本构关系 [9Jop P,Forterre Y,Poulquen O.Crucial mole of sidew als in gran- 所得的预测值与实验结果进行比较相对误差在 ulr sface flows:conseqences for the rheology.Fhid Mech. 2005.541:167 13%以内，表明采用基于连续介质假设的“拟流体” [10 Pouliquen O.Scaling law s in gramlar fbws down rough incined 方法对颗粒流进行研究是可行的. planes.Phys Fluids,1999.11(3):542 11]Forterre Y,Pouliquen 0.Flow s of dense granular media.Annu 参考文献 Rev Fluid Mech.2008.40:1 [12 Ancey C.Dry granular flows dow n an inclired channel experi- [1]Midi G DR.On dense granular flows.Eur Phys/E,2004.14: mental investigations on the frictional-collisional regime.Phys 341 RewE,2002.65(1):1 [2]Sun Q C.Wang G Q.Review on granulr flow dynamics and its [13]Hanes D M,Walton O R.Simulations and physical measure discrete element method.Ady Mech,2008,38(1):87 ments of glass spheres flowing dow n a lumpy incine.Powder (孙其诚，王光谦.颗粒流动力学及其离散模型评述.力学进 Technol,.2000.109(/3):133 展，2008.38(1)：87 [14 Zheng X M.Hill J M.Molecular dynamics modeling of g rarular [3]Wang G Q,Xiong G,Fang H W.General constitutive relation of chute flow:density and velocity profiles.Powder Technol, granular fbw.Sci China Ser E.1998.28(3):282 1996.86(2):219 (王光谦，熊刚，方红卫.颗粒流动的一般本构关系。中国科 [15]Bian L Warg L,Liu C P.Constitutive weation of pscudo-fluid 学：E辑.1998.28(3)：282) granular flow.Chin J Process Eng.2007.7(3):467 [4]Tardos G I.A fluid mechanistic approach to slow,frictional flow (边琳，王立，刘传平.颗粒流拟流体的本构关系。过程工程 of pow ders.Powder Tedi nol,1997,92(1):61 学报，2007,7(3)：467)
流. (2) 建立了斜槽流的二维实验模型, 颗粒流流 动的本构关系为 τ=tanβσ+Aσ i ( u/ t ) n , 其流量 q ∝sin 1/ n ( α-β) h 1 +k 2 ;在接近颗粒休止角流动时, 流量和速度分布都与流层厚度成指数关系, 且颗粒 流速越快, 速度分布越弯曲. ( 3) 以小麦为例, 流动倾角 α-β 在 2°～ 6°, 流 速在 0.5 ～ 1.5 m/ s 之间的本构关系为 τ=0.6 σ+ 5.41 ×10 -7 σ 2 ( u/ y ) 2.6 , 其速度分布曲线为上凸 形 u ∝h 0.6152 , 流量 q ∝h 1.615 2 .采用以上本构关系 所得的预测值与实验结果进行比较, 相对误差在 13 %以内, 表明采用基于连续介质假设的“拟流体” 方法对颗粒流进行研究是可行的. 参 考 文 献 [ 1] Midi G D R .On dense granular flow s.Eur Phys J E , 2004, 14: 341 [ 2] Sun Q C, Wang G Q .Review on granular flow dynamics and its discrete element method.Ad v Mech , 2008, 38( 1) :87 ( 孙其诚, 王光谦.颗粒流动力学及其离散模型评述.力学进 展, 2008, 38( 1) :87) [ 3] Wang G Q, Xiong G, Fang H W .General constitutive relation of granular flow .Sci Ch ina S er E, 1998, 28(3) :282 ( 王光谦, 熊刚, 方红卫.颗粒流动的一般本构关系.中国科 学:E 辑, 1998, 28( 3) :282) [ 4] Tardos G I .A fluid mechanistic approach t o slow, frictional flow of pow ders.Powder Tech nol, 1997, 92( 1) :61 [ 5] Elaskar S A, Godoy L A.Constitutive relations for com pressible granular materials using non-New tonian fluid mechanics.Int J Mech Sci, 1998, 40( 10) :1001 [ 6] Silbert L E, Landry J W, Grest G S .Granular flow dow n a rough inclined plane :transition betw een thin and thick piles. Phys Fluids, 2003, 15( 1) :1 [ 7] Massoudi M, Phuoc T X.Numerical solution to the shearing flow of granular materials betw een two plates.Int J Non Linear Mech , 2005, 40( 1) :1 [ 8] Jop P, Forterre Y, Pouliquen O .A constitu tive law f or dense granular flow s.Nature, 441:2006, 727 [ 9] Jop P, Forterre Y, Pouliquen O .Crucial role of sidew alls in granular su rf ace flow s:consequences f or the rheology .J F luid Mech , 2005, 541:167 [ 10] Pouliquen O .Scaling law s in g ranular flow s down rough inclined planes.Phys Fluids, 1999, 11( 3) :542 [ 11] Fort erre Y, Pouliquen O .Flow s of dense granular media .An nu Rev Fluid Mech , 2008, 40:1 [ 12] Ancey C .Dry granular flow s dow n an inclined channel:experiment al investi gations on the fri ctional-collisional regime.Phys Rev E , 2002, 65( 1) :1 [ 13] Hanes D M, Walt on O R.Simulations and physical measurements of glass spheres flowing dow n a bumpy incline .Powder Technol, 2000, 109( 1/ 3) :133 [ 14] Zheng X M , Hill J M .Molecular dynami cs modeling of g ranular chut e flow :density and velocity profiles.Powder Technol, 1996, 86( 2) :219 [ 15] Bian L, Wang L, Liu C P .Constitutive relation of pseudo-fluid granular flow .Ch in J Process Eng , 2007, 7( 3) :467 ( 边琳, 王立, 刘传平.颗粒流拟流体的本构关系.过程工程 学报, 2007, 7( 3) :467) · 260 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷