5.转轴公式 设y为任一对坐标轴,将 其绕O点逆时针旋转a角, C A 得到新坐标轴y,z,则有: Ⅰ+1.-1 cos 20- sin 2a 2 Ⅰ+1I、-1cos2a+lSn2a →1y+1=1,+1 2 2 sin 2a+ cos 2a
5. 转轴公式 O y z A y’ z’ 设y,z为任一对坐标轴，将 其绕O点逆时针旋转 角， 得到新坐标轴y’, z’，则有： y z y z yz y z y z z yz y z y z y I I I I I I I I I I I I I I I I + = + + − − + = − − + + = cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 yz y z y z I I I I + − =
6.主惯性轴、主惯性矩 (1)主惯性轴:若图形对某一对坐标轴的惯性积 等于零,这一对坐标轴就称为主惯性轴。 (2)主惯性矩:图形对主惯性轴的惯性矩。 注意:图形对过某点的所有轴的惯性矩中,两个 主惯性矩中的一个是最大值,另一个是最小值。 比较:应力的主方向,主应力 (3)形心主惯性轴:通过形心C的主惯性轴。 注意:对称轴一定是形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩:图形对形心主惯性轴的惯性矩
6．主惯性轴、主惯性矩 （1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积 等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。 （2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。 注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个 主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。 （3）形心主惯性轴：通过形心C的主惯性轴。 注意：对称轴一定是形心主惯性轴。 （4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。 比较：应力的主方向，主应力
⑩例题 例题I-3 §Ⅲl平面图形的几何性质 R 求图示截面对z轴的惯性矩 、1丌(2R)4 × 264 8 R I TR TR 2816 C C (3) 12(2 v9x (4) a4m4(1xn4负面 316316积法
求图示截面对z轴的惯性矩。 R (1) z R (2) z a a z (3) 64 8 (2 ) 2 1 4 4 R R I z = = 2 8 16 1 4 4 R R I z = = 2 4 2 4 3 1 12 2 a a a a I z = = + 4 4 4 3 16 1 3 16 a a a Iz = − = − 例 题 II-3 §II 平面图形的几何性质 例题 z a a (4) 负面 积法
⑩例题 例题I-3 §Ⅲl平面图形的几何性质 正方形对y和z轴的惯性矩均为a。 (5) 而y与z轴是形心主惯性轴, 都是形心主惯性矩。对所有的形心 轴来说,及中的一个是最大值, 另一个是最小值。而=1 所以正方形对任一形心轴的惯性 矩也等于,则.112 12 实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴, 对其任意形心轴的惯性矩为一常数
a a (5) z z' y' 例 题 II-3 §II 平面图形的几何性质 例题 正方形对 和 轴的惯性矩均为 。 而 与 轴是形心主惯性轴， ， 都是形心主惯性矩。对所有的形心 轴来说， 及 中的一个是最大值， 另一个是最小值。 y' z' 12 4 a y' z' y' I z' I y' I z' I 实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴， 对其任意形心轴的惯性矩为一常数。 所以正方形对任一形心轴的惯性 12 4 ' ' a I I y = z = 12 4 a 12 4 a I 矩也等于 ，即： z = 而
此结论可推广到任意正多边形,即任意正多边形对 其任意一形心轴的惯性矩为常量 2a 例如,求图 示图形对z 轴的惯性矩 2a +(√2a) 2花 12 64 717x)4 364
此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对 其任意一形心轴的惯性矩为常量。 z a 2a 2a ( ) 2 2 2 4 4 4 ( 2 ) 12 64 2 a a a a a I z + − = − 4 64 17 3 7 a = − 例如，求图 示图形对z 轴的惯性矩