6.3.16.4.46.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.3例5函数组1cosc,sinc在实轴上线性相关例6函数组1,a,α，.，an在任意长度非零的区间上线性无关例7设n是自然数，则n+1个n次多项式n)a'(1-a)n-i,i= 0,1,..,n1Bn(c)/在[0,1]上线性无关证明当n=1时，B(α）=1-a,Bi(α）=α是线性无关的.假设Bn-1(α),Bn-1(α),·.·,Bn-1(αc)在[0,1] 上线性无关若存在数ao,ai,..，an使得a;B(n) = 0, α E [,1]i-0我们要证ao,a1,·an都为零返回全屏关闭退出11/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 5 ¼ê| 1, cos2 x,sin2 x 3¢¶þ5'. ~ 6 ¼ê| 1, x, x2 , · · · , xn 3?¿Ý"«mþ5Ã'. ~ 7 n ´g,ê, K n + 1 n gõª Bn i (x) = n i x i (1 − x) n−i , i = 0, 1, · · · , n 3 [0, 1] þ5Ã'. y² n = 1 , B1 0 (x) = 1 − x, B1 1 (x) = x ´5Ã'. b B n−1 0 (x), Bn−1 1 (x), · · · , Bn−1 n−1 (x) 3 [0, 1] þ5Ã'. e3ê a0, a1, · · · , an ¦ X n i=0 aiBn i (x) = 0, x ∈ [0, 1] ·y a0, a1, · · · , an Ñ". 11/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.4首先，在上式中令&=0.可得ao=0.因此nBr(α)ZZ(1 -α)n-i0=aai=12=1n-1α)n-1-iV(1-ai+1i+1i-0n-lai+1ZBn-1(a).(n=1)根据假设 Bn-l(α),Bn-l(α),.,Bn-l(c)在[0,1] 上线性无关.因此有ai+1()=0, i=0,1,...,n-1(n-1)即,ai=0,i=1,.·,n.于是 Bn,Bn,···,Bn 是线性无关的返回全屏关闭退出I12/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 Äk, 3þª¥- x = 0, a0 = 0. Ïd 0 = X n i=1 ai Bn i (x) x = X n i=1 ai n i x i−1 (1 − x) n−i = X n−1 i=0 ai+1 n i + 1 x i (1 − x) n−1−i = X n−1 i=0 ai+1 n i+1 n−1 i B n−1 i (x). âb B n−1 0 (x), Bn−1 1 (x), · · · , Bn−1 n−1 (x) 3 [0, 1] þ5Ã'. Ïdk ai+1 n i+1 n−1 i = 0, i = 0, 1, · · · , n − 1 =, ai = 0, i = 1, · · · , n. u´ Bn 0 , Bn 1 , · · · , Bn n ´5Ã'. 12/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
6.3.16.4.1刘维尔公式6.4.26.4.46.3.26.4.3由于n次多项式全体是n+1维线性空间，线性无关的函数个数至多有n+1个.因此，上个例子表明每个n次多项式都可以唯一地表示为Bn(α), Bn(c), ..,Bn(α)的线性组合，这种表示称为多项式的Bernstein表示.Bn(α),k=0,1，·，n称为 Bernstein 基函数定义 2 设 yi(α),y2(a)是区间 I上的两个可导函数.称yi(α) y2(αc)W(α) == yi(α)y2(α) - y2(α)yi(α)yi(c) y(c)为 yi(α),y2(α）的朗斯基（Wronski）行列式返回全屏关闭退出I4-13/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 du n gõª N´ n + 1 5m, 5Ã'¼êêõk n + 1 . Ïd, þ~fL²z n gõªÑ±/L« Bn 0 (x), Bn 1 (x), · · · , Bn n (x) 5|Ü, ù«L«¡õª Bernstein L«. Bn k (x), k = 0, 1, · · · , n ¡ Bernstein ļê. ½Â 2 y1(x), y2(x) ´«m I þü¼ê. ¡ W(x) = y1(x) y2(x) y 0 1 (x) y 0 2 (x) = y1(x)y 0 2 (x) − y2(x)y 0 1 (x) y1(x), y2(x) KdÄ£Wronski¤1ª. 13/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ