6.4.26.4.46.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.3例3求解定解问题1 + (y')?= 2yy"y(0) = 1, y(0) = 0解这是不显含α的二阶方程令p=y,则y"=pd方程化为dp1 + p = 2yP dy即,dy2pdp1+py积分得In(1+p2)=lnlyl +Co因为y(o)=1>0,所以y不能取负值因此1+p2= Ciy返回全屏关闭退出II6/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 3 ¦)½)¯K 1 + (y 0 ) 2 = 2yy00 y(0) = 1, y0 (0) = 0 ) ù´Øw¹ x §. - p = y 0 , K y 00 = p dp dy. §z 1 + p 2 = 2yp dp dy . =, 2p 1 + p2 dp = dy y . È© ln(1 + p 2 ) = ln |y| + C0. Ï y(0) = 1 > 0, ¤± y ØUK. Ïd 1 + p 2 y = C1 6/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.4其中Ci是正常数.根据条件y(o)=1,y(o)=0可知Ci=1.因此1 +(y)?= y,即，dr两边积分，得±2Vy-1=α+C2再根据y(0)=1，y(0)=0可知C2=0.因此±2Vy-1=c.即，+1cy4返回全屏关闭退出?7/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 Ù¥ C1 ´~ê. â^ y(0) = 1, y0 (0) = 0 C1 = 1. Ïd 1 + (y 0 ) 2 = y, =, ± dy √ y − 1 = dx. ü>È©, ±2 p y − 1 = x + C2. 2â y(0) = 1, y0 (0) = 0 C2 = 0. Ïd ±2 p y − 1 = x. =, y = 1 4 x 2 + 1. 7/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
6.3.16.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.46.3.2例4求方程y"- e2y = 0满足初始条件 y(0)= 0, y'(0) = 1 的特解解这是不显含α的二阶方程.令p=y,则y"=p.代入方程后，得dpe2y = 0.pdy分离变量，并积分，得出1.1-e2y + C1.D22由 y(0) = 0, p(0) = y'(0) = 1, 得 Ci = 0. 故 p2 = e2y, 所以dyey.dac分离变量，再积分，得出-e-y =c+C.由 y(0)= 0, 得 C = -1, 故所求特解为 1-e-y = c.I返回全屏关闭退出8/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 4 ¦§ y 00 − e 2y = 0 ÷vЩ^ y(0) = 0, y0 (0) = 1 A). ) ù´Øw¹ x §. - p = y 0 , K y 00 = p dp dy. \§, p dp dy − e 2y = 0. ©lCþ, ¿È©, Ñ 1 2 p 2 = 1 2 e 2y + C1. d y(0) = 0, p(0) = y 0 (0) = 1, C1 = 0. p 2 = e 2y , ¤± dy dx = e y . ©lCþ, 2È©, Ñ −e −y = x + C. d y(0) = 0, C = −1, ¤¦A) 1 − e −y = x. 8/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
6.3.16.4.26.4.46.3.26.4.1刘维尔公式6.4.3$6.4二阶线性微分方程的一般理论在实际问题中最常见的线性微分方程是二阶的，它的一般形式是(6.1)y" + p(α)y' + q(α)y = f(c),相应的齐次方程是(6.2)y" +p(α)y' + q(α)y = 0其中 p(c),g(α)及f(α)都是给定的函数定理1（初值问题解的存在唯一性）如果函数 p(α),g(αc)在区间I上连续CoEI，则对任何初值α,β,初值问题y" +p(αc)y' +q(αc)y = f(ac)y(co) = α, y(co) = β在 o 的邻域内存在惟一的解y(aα)I返回全屏关闭退出9/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 §6.4 5©§nØ 3¢S¯K¥~5©§´ , §/ª´ y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x), (6.1) Aàg§´ y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0, (6.2) Ù¥ p(x), q(x) 9 f(x) Ñ´½¼ê. ½n 1 (ЯK)35) XJ¼ê p(x), q(x) 3«m I þëY, x0 ∈ I, Ké?ÛÐ α, β, ЯK y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x) y(x0) = α, y0 (x0) = β 3 x0 S3) y(x). 9/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.4线性齐次方程解的结构6.4.1对于齐次方程（6.2）很容易验证下面的结论定理 2设 yi(aα),2(α)是方程(6.2)的解,C1,C2是任意常数，则 yi(α)与y2(α)的线性组合y(α) = Ciyi(α) + C2y2(α)也是方程（6.2）的解先引入函数组线性无关、线性相关以及Wronski行列式的概念定义 1 设 i(a),P2(a),,Pm(α)是区间 I 上的 m个函数.如果存在 m 个不全为零的常数 ci,C2,·,Cm 使得对于区间 I 内的一切 a,有C1Pi(c) + C2p2(c) +....+Cmm(c) = 0,则称这m个函数在区间I上是线性相关的，否则就称它们在区间I上是线性无关的返回关闭退出全屏-10/37
6.3.1 6.3.2 6.4.1 4úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.1 5àg§)( éuàg§ (6.2) éN´ye¡(Ø. ½n 2 y1(x), y2(x) ´§ (6.2) ), c1, c2 ´?¿~ê, K y1(x) y2(x) 5|Ü y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ´§ (6.2) ). kÚ\¼ê|5Ã'!5'±9 Wronski 1ªVg. ½Â 1 ϕ1(x), ϕ2(x), · · · , ϕm(x) ´«m I þ m ¼ê. XJ 3 m Ø "~ê c1, c2, · · · , cm ¦éu«m I S x, k c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + · · · + cmϕm(x) = 0, K¡ù m ¼ê3«m I þ´5', ÄKÒ¡§3«m I þ´ 5Ã'. 10/37 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ