18徽波工程（第三版）于是，由式(1.67)得11=ko，而且是传输方问上的单位失量。我们还定义位置矢量为F=++(1.70)然后，式（1.68）可以写为Ex(x, y, z) = Ae-ki(1.71)当然，式(1.63)对E，和E，的解，类似于E的式（1.71)的形式，但具有不同的振幅常数：E,(x, y, 2) = Be-jkF(1.72)E;(x, y,z) = Ce-jk.F(1.73)的三个分量[式（1.71）～式（1.73)]对，r，2的依赖关系必须是相同的（相同的k，ky，k,）,因为散度条件aEx+ay+ =0V.E=ax+ay+az必须成立以满足麦克斯韦方程，这意味着Ex，E,和E必须在x，y，方向有相同的变化（注意，L一节的解已自动满足了散度条件，因为E只是E的惟一分量，而E，又不随x变化）。这个条件对振幅A、B和C也施加了一个限制，因为若Eo=A&+By+C2则我们有E-Boe-ik.和V.E-V.(Eoe-jr)-Eo.Ve-Jk=-jk.Ege-kr=0其中用到了失量恒等式（B.7）。因此，我们必须有k.Eo=0(1.74)这表明电场振幅矢量E。必须垂直于传输方向无。这个条件是平面波的普通结果，意味着三个振幅常量A、B和C中只有两个可以独立地选择。磁场可以由麦克斯韦方程V×E=-jwuoH(1.75)求出，具体为V×E=1Vx(E0e-k)月三wuowuoE0× Ve-iruo二i E ×(- jk)e- kwuo(1.76)ko n × Eoc-ikouo1-n×Eoe-ik-no1nxEno
第1章电磁理论19其中，在得到第二行时，用到了矢量恒等式（B.9)。这个结果表明，磁场强度矢量H位于垂直于传播方向k的平面内，而且H也垂直于E。图1.8表明了这些矢量的关系，式（1.76）中的量o=o/<o=3770是真空的本征阻抗。电场的时域表达式可以求出为E(x. y, z, t) = Re[E(x, y, z)eju" Re(Eoe- jffe jcon(1.77)=Eo cos(k.F-(ot)假定E，中包含的振幅A、B和C为实数。若这些常量不是实数，则其相位应包含在式（1.77)的余弦项中。很容易证明，这个解的波长和相速与1.4中得到的相同。2ALE+图1.8普遍的平面波的三个矢量E，和=ku的方向例题1.3作为平面波源的片电流一个无穷大的表面电流片可以认为是平面波的源。若真空中之=0处存在一个面电流密度J，=J，求它产生的电场，假定电流片的两边都产生平面波，并施加边界条件，解：因为源不随x和变化，所以它产生的场也不随和变化，但将离开源分别沿±方向传播，在z二0处需要满足的边界条件为R×(E2-E))2×(E2-E))=0Ax(H2-H)=2×(H2-H)=Jax其中，E,H，为z<0时的场，E2,H2为z>0的场。为满足第二个条件，H必须只有了分量。然后，因为E垂直于H和2，所以E必定只有分量。因此，场将具有如下形式：Ei=tAnoejkn:对于Z≤0,H, = -gAeJkosE2 = RBnoe-1k02对于>0，H2=Be-jkoc其中，A和B为任意振幅常数。由第一个边界条件，即E在2=0处连续，得到A=B,而对于H的边界条件，得到方程-B-A=J求解 A 和B,得A=B=-Jo/2由此得到完整的解
20微波工程（第三版）1.5.1圆极化平面波以上所讨论的平面波H其电场矢量均指向·-个固定的方向，因此称为线极化（linearlypolar-izxd)波。一-般股而言，平面波的极化方向是指其电场失量的方间，它可能在一个固定的方向上，也叫能随时间变化。考患一个振幅为E，的方向的线极化波与振幅为E的方向的线极化波的叠加，这两个波都沿方向传播。总电场可以写为E =(Et +Ey)e-jko(1.78)现在，产生了多种可能性。若E手0而E2=0,则我们有一个极化方向在方向的平而波。类似地，若E，=0而E2=0，则我们有一个极化方向在方向的平面波。若E，和E，同为实数而非零，则我们有一个极化方向在角度为E2由= arctan 旨的平面波。例如，若E，=E2=Eo,则我们有E = Eo(t + )e- jkoz它代表了与x轴成45°角的电场矢量。现在，考虑F，=jE2=E的情况，其中E为实数，于是有E= Eo( j)e- jkoz(1.79)这个场的时域形式为(z)=Eo(cos(wt-koz)+cos(ot-koz-元/2))(1.80)该表达式表明，电场失量随时间，或者等效地，随沿2轴的距离变化。为了解这一点，取一个周定点，如z=0。式（1.80)简化为E(o,t)=Eo(coswt+ysinwt)(1.81)因为wt从零开始增加，所以电场失量从x轴开始逆时针旋转：结果是，2=0处的电场矢量在时刻1与x轴的夹角为sintΦ=arctar=wtcost它表明，极化方向以勾角速度の旋转。因此按右手定则，当大姆指指向波传播方向时，右手其他手指指向旋转方向，所以这种类型的波称为右旋圆极化（RHCP，righthandcircularlypolarized）波。类似地，形式为E Eo(+ jg)e-Jkoz(1.82)的场构成了一个左旋圆极化（LHCP，lefthandcincularlypolarized）波，此处，电场矢量反方向旋转。从图1.9可以看到RHCP和LHCP平面波的极化矢量。与圆极化波相关的磁场可以由麦克斯韦方程或者把波阻抗应用于电场的各个分量来得到。例如，把式(1.76)应用于由式(1.79)给出的右旋圆极化波的电场，得到jEa( - j5)e-1ozEo2 × (t - j9)e-Jkot =mE0(y + jx)e-jor =H=nonono可以看出，它也代表一个右旋圆极化型的矢量旋转
第 1章 21电磁理论sto.t.(O.1传播传播(b)ta)图1.9（）右旋圆极化和（b）左旋圆极化平面波的电场极化方向1.6能量和功率般地，电磁能量源建立了电磁场，它存储广电能和磁能，而且携带的功率可以传输出去或作为损耗消耗掉。在正弦稳态情况下，体积V中的时间平均的存储电能由下式给出：E.D'dvWe=-Re(1.83)1在无耗、各向同性，均勾和线性介质的简单情形下，是常数实标量.因此上式可简化为E.E*duWa=(1.84)类似地，存储在体积V中的时间平均磁能为H.B*duW.mRe(1.85)对于常数实标量从，它变为uWm=H.H*du(1.86)a现在我们可以推导坡印亭定理，该定理导出了电磁场和源的能量守恒。若我们有电流源了，和出式（1.19)定义的传导电流E，则总电流密度为J=J，+呢。然后，用H*乘以式（1.27a）,用E乘以式(1.27b)的共轭钜，可得H*.(V× E)=-jOuHI?-H*.ME.(VxH*)=E.J+-jweIEP=E.Jt+IEP-jWe'E其中，M。是磁流源。把这两式用于矢量恒等式（B.8），可得V.(E×H*)=F*.(V×E)-E.(V×H)-GIE?+ j(e*E|?-μIHP)-(E.J*+H*.M,)现在，在整个体积V内积分，并且利用散度定理，可得V(E×H)du=ΦE×A*-dsIs(1.87)(E.J'+H*.M)dPd+j(ed1
22微波工程（第三版）其中，S是包围体积V的封闭曲面，如图1.10所示。允许用=-j"和=μ-ju"为复数以包含损耗，重写式（1.87）给出15ExH.ds+号EP(E.J+H.M）du=252(1.88)(e"E+u"HP)du+j/(uIH)2 -eIEI)du在物理学家J.H.坡印亭（1852～1914)之后，这个结果称为玻印亭定理，从根本上说，它是一个功率平衡方程。因此，左边的积分表示在封闭面S内，由源J，和M，所携带的复功率P，为1(E.J*+R".Ms)duP,=(1,89)21式（1.88)右边的第一个积分表示由封闭曲面S流出的复功率流。若我们将称为坡印廷矢量的量S定义为S=EXH*(1.90)则这个功率可以表示为Es-s.d3P。 =(1.91)2Js2式(1.91)中的曲面S必须是封闭的，以保证这种解释是成立的。式(1.89)和式(1.91)中的P，和P。的实部表示时间平均功率。J,ME.HV,e,s图1.10由封闭曲面S包围的体积V，包含了电磁场E，H和电磁流源】.，M式（1.88）中的第二个积分和第三个积分是实数量，代表了体积V内由于电导率、电介质和磁损耗面消耗掉的时间平均功率。若把这个功率定义为P，则我们有Ed+(e"E+"dPe =(1.92)它有时称为焦耳定律。式(1.88)中的最后一项积分可以看成是与定义为式（1.84)和式(1.86)的电和磁的储能有关的项。有了上述定义，坡印亭定理就可以重新写为(1.93)P=P,+Pe+2ja(Wm-W,)换言之，这个复功率守恒方程是说，由源携带的功率（P）等于通过表面传输的功率（P。），体积内损耗为热的功率（P）及体积内存储的净电抗性能量的2α倍之和。1.6.1良导体吸收的功率为了计算由于导电性不好引起的衰减和损耗，就必须求出导体中的功率消耗。我们将证明，只要利用导体表面的场就能做到这一点，这是计算衰减时的一个非常有用的简化