第1章电磁理论13两个方程包含两个未知量E和。因此，它们可以用来求解E和H。于是，取式（1.41a）的旋度并应用式（1.41b)可得V×V×E--jwuV×H-w'ueE这是-个关于E的方程。这个结果可以通过利用矢量恒等式（B.14）即V×V×A=V（V·A）VA得到简化，该恒等式对任意久量A的直角分量都是正确的。于是有V?E+UEE=0(1.42)因为在无源区域中有V·E=0。式（1.42)是E的波方程，或亥姆霍兹方程。对于，采用同样的方法，可得到完全相同的方程：H+uH-0(1.43)常数h=√是确定的，称为媒质的波数，或传播常数，单位为1/m。作为引入波行为的一种方法，下面我们将研究上述波方程在其最简单形式下的解，首先研究无耗媒质，然后研究有耗（导电）媒质。1.4.2无耗媒质中的平面波在无耗媒质中，和μ是实数，因此也是实数。上述波方程的一个平面波的基本解可以通过一个只有分量而且在×和方向均匀（不变）的电场而得到。因为==0，于是亥姆霍兹方程（1.42）简化为2Ex+REx=0(1.44)022通过代人法很容易得到该方程的两个独立的解，形式为Er(z) = E+e-Jkz +E-ejk(1.45)其中E+和E是任意振幅常数。述解是在频率α下的时谐形式。该结果在时域可以写为Er(z, t) = E+ cos(ot -- kz)+ E- cos(ot +kz)(1.46)其中，我们已经假定E+和E-为实常数。考虑式（1.46的第一项。这一项代表了沿+z方向传播的波。因为，为了保持波的一个固定点相位（t一=常数），当时间增加时，它必须向+2方向移动。类似地，式（1.46)中的第二项代表了沿－z方向传播的波；因此，用E*和E-来表示这两个波的振幅。按此分析，波的速度称为相速（phasevelocity），因为它是波传播过程中一个固定的相位点的运动速度，并由下式给出：01dz_d(wt-常数）(1.47)v=kyuek在真空中，我们有p=1/Vu0=c=2.998×10°m/s，这就是光速。波长入定义为波在一个确定的时刻，两个相邻的极大值（极小值或其他任意的参考点）之间的距离。因此，[f-kz]-[of-k(z+]=2元所以2元—2元=入=(1.48)kw1f
14微波工程（第三版）电磁场平面波的完整定义必须包含磁场。一般地，无论已知的是E还是H，其他场矢量都可以利用麦克斯韦旋度方程很快地我到。因此，把式（1.45）所示的电场应用于式（1.41a）可得H,=H,=0,以及[Ete-kz-E-eikz]Hy=(1.49)n其中，n=ulk=ul为平面波的波阻抗，它定义为E与H之比。对于平面波，该阻抗也是所在媒质的特征阻抗。在真空中，我们有o=μolo=3770。注意，矢量E与H互相正交，而且垂直于传播方向（±2）：这是横向电磁波（TEM）的一个特征。例题1.1平面波基本参量一个在无耗介电媒质中传播的平面波具有电场Ex=Egcos（1.51×10l0，-61.6z）。确定其波长、相速和波阻抗以及媒质的介电常数。解：与式(1.46)比较，我们确定@=1.51×10lorad/s和=61.6m-l。然后利用式(1.48)给出波长为2元2元入一= 0.102m61.6k由式(1.47)可以求出相速为_ 1.51 × 1010=2.45×108m/sUp:K61.6这比光速要慢约1.225倍。媒质的介电常量可以求出，具体为3.0×108）=1.502.45×108波阻抗为377n=no/Ve,=307.8 2福V1.31.4.3一般有耗媒质中的平面波现在，我们考虑有耗媒质的影响。若媒质是导电的，电导率为。，则式（1.41a)和式（1.20)给出的麦克斯韦旋度方程可以写为V×E=-jwμH(1.50a)(1.50b)V×H=jweE+aEE的波方程结果变为VE +wue (1-j-)E=0(1.51)-其中，我们看到与无耗情形下E的波方程（1.42)有类似性，差别在于式（1.42）中的波数2=α?被式(1.51)中的[1-j(/x)]所代替。然后，我们定义该媒质的复传播常数为/1-i9(1.52)y=α+iB=jyuewe
第1章电磁理论15若我们再次假定电场只有分量而且在x和方向是均匀不变的，则式（1.51）给出的波方程可简化为2Ex-Ex=0(1.53)az2它具有解E,(z)=Ete-+E-ert(1.54)正向传输波具有传播因数，形如e-y: =e-aze-ibz其时域形式为e-az cos(ot - βz)我们看到这代表一个沿+2方向传输的波，相速为=w1β，波长为入=2元/β，而且有指数衰减因子。随距离的衰减率由衰减常数α给出。式（1.54)中的反向行波项类似地沿一z轴衰减。若去掉损耗，即g=0,则我们得到=ik，α=0,B=h。正如我们在1.3节中所讨论的，损耗也可处理为复介电常数。由式（1.52)和式（1.20)以及=0,但（=-j"为复数，我们有y=jwvue-jk=javue'(1-jtan8)(1.55)其中，tan="是材料的损耗角正切。接着，相关的磁场可以计算为H,=-(E+e-E-er)(1.56)wuazwu在无耗情况下，波阻抗可以定义为电场与磁场的比值：jay(1.57)n=y这样，式(1.56)可以写为1(Ete-z --Eer)H, =(1.58)n注意，n一般为复数，而当=jh=j时，它简化为无耗情形下的n=ul。1.4.4良导体中的平面波很多有实际兴趣的问题包含了良导体（而非理想导体）造成的损耗或衰减。良导体是前面分析过的导电电流比位移电流大得多的一种特殊情况，即。》。绝大多数金属都可看做是良导体。宁可采用复介电常数，而不采用电导率，这个条件等效于>>。忽略位移电流项，式(1.52)的传播常数可以适当地近似为wua1o=(1 + j)(1.59)y=+ipjovue2iwe趋肤深度（或穿透的特征深度）定义为128:(1.60)Qwj
16徽波工程（第三版）这样，导体中的场，在传输一个趋肤深度的距离后，其振幅就衰减为1/e，即36.8%，因为e"：-，=e-！。在微波频率下，对于良导体，该距离是非常小的，这个结果的实际重要性在于对于低耗微波元件而详，只需要一个薄片良导体（例如银或金）就足够了例题1.2微波频率下的趋肤深度计算铝、铜、金和银在频率为10CHz时的趋肤深度解：这些金属的电导率列在附录F中，式（1.60)给出的趋肤深度为211/1S./元（1010×4元×10-7）Vwugnfuan=5.03×10-3Va1铝：8,=5.03×10=8.14×10-7mV3.816×1071铜：,=5.03×10~=6.60×10mV5.813×1071金：=7.86×10-7m8、=5.03×10V 4.098 ×1071银：= 6.40 × 10-7 m8,=5.03×10V6.173 × 107这些结果表明，良导体中的绝大部分电流都存在于接近导体表面的极涛的区域内。良导体内的波阻抗可以由式（1.57）和式（1.59）得到，结果为1oujwuα(I+j)= (1 + j)-(1.61)n=2aoy注意，这一阻抗的相位角为45°，这是良导体的特征。无耗材料的相位角为0°，而任意有耗媒质的阻抗的相位角在0°与45°之间，表1.1概括了在无耗和有耗均句媒质中平面波传输的一些结果。表1.1在各种媒质中传播的平面波的结果总结类型良导体无耗一般损耗(e"0)"》或w物理量复传播常数=(1+jouo/2y=jwVuey= jwyueO= jovμe/-LOEβ= Im(y)β = Im(y) Vwμa/2相位常数（波数）β=k=wVueα=0t= Re(y)Q = Re(y) = Vwua/2轰减常数阳抗n=Vμle=wu/kn=(1+)Vwμ/2gn= jap/y追肤深度8=2/0ugS,188, = 1/α波长入= 2元/β1=2元/8入=2元/相速Up=w/βVp=(w/β2p=W/B
第1章电磁理论171.5平面波的通解我们在1.4节中已讨论了平面波的一些特征，这，我们将从更一般的观点出发再次考察平面波，而且用分离变量法来求解波动方程。这种方法在后续儿章中还会得到应用。我们还将讨论圆极化平面波，这对于第9章中有关铁氧体的讨论是很重要的，在真空中，电场E的亥姆霍兹方程可以写为V'E+KE=++器+=0(1.62)这个矢量波方程对于E的每个直角分量都是工确的：PE.+8E +PE+RE,=0(1.63)dx+ay2+z2其中，下角标=，于或z。现在，我们用分离变量法来求解这个方程，这是处理这种类型的偏微分方程的标准方法。这一方法首先认为式（I.63)的解（例如E、）可以写成三个函数的乘积，面每个函数分别与三个坐标中的一个有关：E.(x. y, z) = f(x) g(y) h(=)(1.64)把这种形式的解代人式（1.63），并用fgh去除，可得"+"+h"+后=0(1.65)h-fg其中，双搬号表示二阶微商。现在，问题中的关键一步是认识到式（1.65)中的每一项是相万.独立的，因此它们必须等于常增。也就是说，"If仅为的函数，而且式（1.65）中余下的项与x无关因此f"If必须是常数。类似地，式(1.65)中的其他项也是如此。因此，我们定义三个分离的常数为k，h，和，使得f"lf =--k.g"/8 = -k3;h"/h=-k?或d?hd+f=0:dg + kig = 0:d+kh=0(1.66)dx2+dy2联立.式(1.65)和式(1.66)可得++=(1.67)现在，偏微分方程（1.63)已简化为三个分离的常微分方程（1.66）。这三个方程的解的形式分别为*#，e和e*。正如我们在上节中看到的那样，带"+"号的项使波沿负x，或z方向传输，而带””号的项使波沿正向传输。两个解都是可能的和合理的；这些项被激励起的量值依赖于场的源，对于目前的讨论，我们将选择沿每个坐标的正向传输的平面波，而把解E，的完整形式写为Er(x,y.2)=Aek,xikyth2)(1.68)其中，A是任意振幅带数，现在，我们定义波矢量为=k+p+=kon(1.69)