(3)算符之和 若两个算符O、0 对体系的任何波函数ψ有: H=T+ 表明 (O+UY=Oy+ Uy Ey Hmin带月等于则0+6=称为算符之和 体系动能算和 势能算之和。 例如:体系 Hamilton算符 注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。 O-U=0+(-U)。 很易证明线性算符之和仍为线性算符
（3）算符之和 若两个算符Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê称为算符之和。 显然，算符求和满足交换率和结合率。 势能算符 之和。 体系动能算符 和 算 符 等 于 表 明 V T Hamilton H H T V ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ + ˆ 例如：体系Hamilton 算符 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô－Û = Ô +（－Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符
(4)算符之积 若0(0v)=(OU)v=Ev 则00=E其中v是任意波函数 一般来说算符之积不满足 交换律,即 OU≠Uo (5)对易关系 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处 若00≠00,则称O与0不对易。 例如:算持证:(1)=x(-川=-ixy (2) ry=(ih a)xy =-ihy-ihx a y ih x≠Pxx 不对易。 xpx-prx) y 是任波巫数 显然二者结果不相等,所以 所以、-px=i 对易 关系
（4）算符之积 若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。 一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。 （5）对易关系 若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。 不对易。 例如：算符 = − x x p i x ˆ xpx x i x i x x 证： (1) ˆ = (− ) = − 显然二者结果不相等，所以: xp p x i xp p x i xp p x x x x x x x − = − = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 所 以 因 为 是任意波函数， （ ） 而 px x i x x i i x x (2) ˆ = (− ) = − − 对易 关系
同理可証其咆坐标将 Pp PBa = in8 aB 与共軛动量满异 aPB B ∫,-P,y=D与成通式>a,B=x, 乙-P2z=边 量子力学中最基本的 但是坐标算符与其非轭动量 对易关系。 对易,各动量之间相互对易。 -x=0m一=0中一2=0 若算符满足 -x=0:一=01列,-z=0 则称和 0p2p-pP2=0 注意:当0与0对易,0与E对易,不能推知O与E对易与否 例如: (D)P:与D,对易,P与x对易,但那句x不对易 (D)p句p,对易,P,与z对易,而与对易
− = − = zp p z i yp p y i z z y y ˆ ˆ ˆ ˆ 与共轭动量满足 同理可证其它坐标算符 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 − = − = − = − = − = − = − = − = − = x y y x y z z y z x x z y y x x z z x x z z y y p p p p p p p p p p p p zp p z zp p z yp p y yp p y xp p x xp p x x y z p p p p x p p x i , , , ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ = − = − = 量子力学中最基本的 对易关系。 与 对易， 与 对易，而 与 对易。 与 对易， 与 对易，但是 与 不对易； II p p p z p z I p p p x p x x y y x x y y x ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。 写成通式: 但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。 注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
(6)对易括号为了表速简洁,运算便利和研究子 对易括号:10,U=00-00 这样一来 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式: Ixa,pBl=inda 不难证明对易括号满足如下对易关系 1)|O,U=-[U,o 2)O,U+E=O, U+O, E 3)O,UE=O,UE+UIO,E 4)O, JU,EI+ U,E, Ol+E,lO,Ul=0 上面的第四式称为 Jacobi恒等式
（6）对易括号 为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ 这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式： 不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称为Jacobi 恒等式。 [x , p ˆ ] = i 返回
(7)逆算符 1定义:设Ov=q,能够唯一的解出 V,则可定义 算符0之逆O1为: 并不是所有算符都存 在逆算符例如投影 01= 算符就不存在逆 2性质上若算符O之逆O1存在,则 001=01o O1=0 证:v=Olp=O1(oy) 00 Ow 因为ψ是任意函数所以O10=成立同理,OO1=I 亦成立 3性质I若O,U均存在逆算符, 则(OU)1=01O1
（7）逆算符 1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: 并不是所有算符都存 Ô-1 φ = ψ 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆. 2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1 ] = 0 证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立. 3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1