①单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的 位移。对拉压杆单元,可以取其位移为一次多项式,即 u(x)=a+ bx (2-1) 由位移的边界条件:(0)=(1)=n 可得系数a、b为: a=u b X 这样,任意截面的位移v为:a(x)=(1-7+7 用矩阵表示为: u=Nu+N,=, (2-2) 其中N=1-x 宥限单元法
① 单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的 位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即： 由位移的边界条件： 可得系数 、 为： 这样，任意截面的位移 为： 用矩阵表示为： 其中 u u(x) a bx (0) i u u ( ) j u l u a b i a u j i u u b l ( ) (1 ) i j x x u x u u l l i i i j j i j j u u N u N u N N u Nδⓔ 1 i x N l j x N l （2-1） （2-2）
②进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义 有 du dN E δ=「B.B.16°=B8 (2-3) 这里 B 为应变矩阵。由虎克定律,其应力为: a=Ee=eBo (2-4) 宥限单元法
② 进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义， 有： 这里 为应变矩阵。由虎克定律，其应力为： 1 1 i j du d B B dx dx l l N δ δ δ Bδ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ 1 1 l l B E EBδ ⓔ （2-4） （2-3）
③求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵,设杆端、j分别产生虚位秘、,则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为: Su=niSu 8 NsS 对应的虚应变为: Sa= bos 根据虚位移原理虚功方程,有: oW外=FD0+9x)ND0x=oW变 aSe Adx (2-5) δB'EABSδeax 将上式整理得: +q(x)n 88=8B EABdx88(2-6) 宥限单元法
③ 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移 、 ，则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为： 对应的虚应变为： 根据虚位移原理虚功方程，有： 将上式整理得： i u j u T i i u N u u N δ ⓔ B δ ⓔ 0 0 0 ( ) l T d l l T T W q x dx W Adx EA dx F δ N δ δ B B δ 外 变 ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ 0 0 ( ) T l l T T T d q x dx EA dx F N δ δ B B δ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ （2-5） （2-6）
式中F=[FF为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设: e=Lqxn'dx (2-7) B EABdx (2-8) 则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为: +F间 keδ (2-9) 这里k为局部坐标系下的单元刚度矩阵,F为局部坐标系下等 效结点荷载矩阵,但值得指出的是:分布荷载(x)中可以包含 集中荷载。根据定义,可以进一步求得单元刚度矩阵为: he=EA I (2-10) 宥限单元法
式中 ：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设： 则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为： 这里 为局部坐标系下的单元刚度矩阵， 为局部坐标系下等 效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载 中可以包含 集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为： T d Fi Fj F ⓔ 0 ( ) l T E q x dx F N ⓔ 0 l T EA dx k B B ⓔ Fd FE k δ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ k ⓔ FE ⓔ q(x) 1 1 1 1 EA l k ⓔ （2-10） （2-7） （2-8） （2-9）
222扭转杆单元 0, (x) 图2.4扭转杆单元示意图 设扭转杆单元的长度为l,截面惯性矩为G,剪切模量 为r,杆端扭矩分别为M、M,杆端扭转角分别为a、, 单元上的分布荷载集度为m(x),则任意截面的扭转角为: 6=(1-7)+6,=N60 宥限单元法
2.2.2 扭转杆单元 M m (x) i M j y x i j j i 图2.4 扭转杆单元示意图 设扭转杆单元的长度为 ，截面惯性矩为 ，剪切模量 为 ，杆端扭矩分别为 、 ，杆端扭转角分别为 、 ， 单元上的分布荷载集度为 ，则任意截面的扭转角为： l I G Mi M j i j m(x) (1 ) i j x x l l Nδ ⓔ