《有限单元法》课程教学资源（PPT课件讲稿）Finite Element Method（共六章，编著：丁科）

式中:8°=[可]为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。 由材料力学可知,截面扭矩为 de M=GI d r GiBe 式中 dN B 我们利用极小势能原理来进行单元分析,杆单元的势能 用泛函表示为: H,=2(M)k-m()=F5° 1 seT[B GIBdxr8e-r m(x)Ndx-Fer)8e 宥限单元法

式中： 为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。 由材料力学可知，截面扭矩为： 式中： 我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能 用泛函表示为： T i  j      δ ⓔ d M GI GI dx    Bδ ⓔ d 1 1 dx l l         N B 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 1 ( ( ) ) 2 l l T T p d l l T T T d d M dx m x dx dx GI dx m x dx              F δ δ B B δ N F δ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ

这里F0=[M,M局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩 阵。由极小势能原理,取上述泛函的变分81=0,可得: 或者写为: SerB'GIBdx= m(x)Ndx-Faer B GIBdx)o m(ndx 设: B GIBdx m(x)n dx 可得扭转杆单元的单元刚度方程为: F+F=kδ e 可以看到,其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同 样,由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为 GI1 宥限单元法

这里 为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩 阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分 ，可得： 或者写为： 设： 可得扭转杆单元的单元刚度方程为： 可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同 样，由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为 ： T d Mi M j      F ⓔ 0 p   0 0 ( ) l l T T T G d I dx  m x dx    δ B B N F ⓔ ⓔ 0 0 ( ) ( ) l l T T G d I dx  m x dx    B B δ N F ⓔ ⓔ 0 l T  GI dx  k B B ⓔ 0 ( ) l T E  m x dx  F N ⓔ Fd  FE  k δ ⓔ ⓔ ⓔ ⓔ 1 1 1 1 GI l         k ⓔ

223只计弯曲的杆单元 g(x) ( Vi F 设杄单元的长度为Ⅰ,截面惯性矩为Ⅰ,弹性模量为E,杆 端剪力为F、F,杆端弯矩分别为M、M,杆端横向位移 为可、可,杆端扭转角分别为、b,在单元上分布有荷载集 度为q(x)的竖向分布荷载和集度为m(x)的分布力偶。则结点位 移矩阵和结点荷载矩阵分别为: 宥限单元法

2.2.3 只计弯曲的杆单元 q (x) M i M j F yi v F yj i vj y x m (x) i j   j i 设杆单元的长度为 ，截面惯性矩为 ，弹性模量为 ，杆 端剪力为 、 ，杆端弯矩分别为 、 ，杆端横向位移 为 、 ，杆端扭转角分别为 、 ，在单元上分布有荷载集 度为 的竖向分布荷载和集度为 的分布力偶。则结点位 移矩阵和结点荷载矩阵分别为： l I E Fyi Fyj Mi M j i v j v i  j q(x) m(x)

F0=「FMFM 取挠曲线方程为的三次多项式,即单元上任意一点的挠 度为: v=a+bx+cx+dx 根据单元的位移边界条件: x=0 dx x=l时:v dv dx 6=y 可以得到式中的待定系数: C 22D、3 +--v 2 2 d=-n可+n日-n可 宥限单元法

取挠曲线方程为 的三次多项式，即单元上任意一点的挠 度为： 根据单元的位移边界条件： 时： ， 时： ， T i i j j  v  v     δ ⓔ T d Fyi Mi Fyj M j      F ⓔ x 2 3 v  a  bx  cx  dx x  0 i v  v i dv dx   x  l j v  v j dv dx   2 2 2 3 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 1 i j i i j j i i j j a v b v c v v l l l l d v v l l l l                       可以得到式中的待定系数：

将系数a、b、c、d代入式,并将挠曲线方程用矩阵形式 表示为: 1000 0100 3 X X Ne 式中N=[M1N2N3M]为形函数矩阵,其中: 3x22 2x x(1 为平面弯曲单元的形函数。 3x22 宥限单元法

将系数a、b、c、d代入式，并将挠曲线方程用矩阵形式 表示为： 式中 为形函数矩阵，其中： 为平面弯曲单元的形函数。 2 3 2 2 3 2 3 2 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 3 1 1 2 1 2 1 i i j j v v x x x v l l l l l l l l                               Nδ ⓔ N  N1 N2 N3 N4  2 3 1 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 4 2 3 2 1 2 (1 ) 3 2 x x N l l x x N x l l x x N l l x x N l l                