第一章生物体运动系 B=otea(u-I 实验表明,多数生物材料的本构关系往往由几段组成,其中有 些段是按指数规律变化的。对许多软组织来说,即使是单向拉伸 的应力-应变关系也不易得到,或是形式分复杂,所以常常采用 些经验公式。 此外,由于每次软组织加载和卸载的应力-应变曲线不同,其 应力与应变历史有关,但在全部卸除载荷并经过一段时间后,基本 上不保留残余变形,所以生物软组织材料既不同于传统的弹性材 料,也不同于金属塑性材料,它们属于粘弹性材料。健康动物的软 组织在体或新鲜离体的情况下多属于粘弹性固体,其本构关系常 常可用沃伊特( Voigt)或凯尔文( Kelvin)两种粘弹性固体模型来描 述。对于较复杂的情况,则往往用上述两种模型与麦克斯韦 M axel)粘弹性流体模型的组合,或是其他更复杂的模型来描 述。这三种模型的组成和本构关系如图1-9所示。上述模型均 为线性模型,即在同一时间点上,外力和变形时间是线性关系。这 对于解决小变形问题如在平衡基础上的小振幅振动是有效的,但 对于生物组织在其功能范围内的大变形情况则不能适用。为此, 冯元桢提出了解决生物组织大变形的软组织粘弹性准线性理论。 对于一个非线性粘弹性软组织,当试件承受阶跃伸长时,λ 由1突然增加到大于1,此应力既随时间t而变化又是伸长比λ 的函数,因此可用函数K(λ,t)来表示,在粘弹性理论中它亦称为 松弛函数。准线性理论假定此函数可以表示为两部分的乘积: K(λ,t)=G(t)T(e)(入) 式中的G(t)可反映历史影响,它具有性质 G(0)=1 即t=0时它不起作用,故称为归一松弛函数。T(m)(A)是λ的函 数,称为弹性响应。由(1-8)可以看到,尽管应力一应变关系是非
现代机器人学 在 基本模型 (…to 松图绒 变形 变形 变 时间 时间 变形 变形 变形 孀变曲线 时间 时间 时间 麦克斯韦型 沃伊特模型 宄尔文模型 图1-9三种基本的粘弹性模型 线性的,但是应力与弹性反应T(A)之间的关系是线性的,而规 化函数G(t)又不随变形而变化,所以这个系统可认为是准线 性的 在非阶跃的连续变形情况下,伸长比为t的连续函数,若在 r(τ<t)时刻使试件伸长比突然增加一个微量λ(x),则相应的 应力改变是 G(t-r 3T°A(x)4x 根据迭加原理将上式积分得到 o(ilJ-4G( areX(r) ax(dr dr (1-10)
第一章生物体运动系 它所表示的是时刻t的应力,而这个应力不仅取决于t时刻的环 境,而且受到了t时刻以前各个时期环境的影响,因此积分下限 取 上式也可写成 T aT 式中T。)(r)是T(·(x)对时间的变化率。这也可以看出,应力能 够用一个与弹性响应T有关的线性定律来描述。函数T(A) 的作用类似于应变在线性粘弹性理论中的作用。这样就可以将粘 弹性理论和方法用于此种假想材料。 如果运动是从:=0开始,当【<0时,λ=1,c(t)=0,则有 a(t)=r()(0+)G(t)+G(t-z) dx (1-12) 如果2T(t;G/at在0≤t<∞上连续可微,则上面方程经分 部积分得到 a(t)=C(0)(°[(t)]+T°A(t-r)aG(dr z 因为G(0)=1,所以任何时刻t的应力等于瞬时应力响应T)[A (t)]和一个与应力变化历史过程有关的量的和。因此需要求出弹 性响应T()与历史效应G(t)。 弹性响应被定义为试件作阶跃伸长时组织中产生的瞬间应 力。可以想到,要在实验室中测出完全符合上述定义的弹性响应 ()[A(t)]是很困难的,因为当加载速度很大时,瞬间应力波会在 试件中来回反射,使应力记录发生混乱。但是对大多数软组织材 料而言,在相当大的应变率变化范围内,加载时的应力响应对加载 速度并不太敏感,所以,只要具有一定高的加载速度的应力响应, 就可以作为T([A(t)]的近似值。这也可以用数学来证明。设 在时问间隔[0,c]内物体伸长比由1变为λ,按(1-14)可得到
14 现代机器人学 (e)=T(e)() [入( a G( dz 1-14) 因为G(t)是单减函数,故在[0,e]区间内被积函数的符号不会改 变。应用积分中值定理可得 aG(t) 0≤c≤ (1-15) 只要时间间隔足够短,便可认为→0,即 limo(e)=T (e) 为了得到归一化松弛函数(历史效应)G(t),方法之一是将它表示 成指数函数之和 G (t) 式中的v;和c;均为常数,通过一系列的实验可以确定。不过由于 松弛的时间不易确定,因此结果的分散度往往较大。又不同材料 做出的曲线差别就可能更大。实际表明:指数和幅值对实验数据 的微小变化可能十分敏感,并且往往难以用最小二乘法或其它统 计方法来消除。对于一些活组织,甚至有t→如而G(t)→0的趋 势。因此即便是较长一段时间的测量也很难看出G(t)趋向于某 定值。在许多情况下,要通过综合分析静态持续载荷下的蠕变 和松弛以及振动载荷下的频率和阻尼特性来确定松弛函数。 日前也往往将软组织材料化为粘弹性模型来研究。应该注意 的是,许多软组织的应力-应变关系曲线对加载速度并不敏感,所 以较多的是取凯尔文模型或其他更复杂的模型。 14骨连结及其力学性能 骨与骨之间的连结装置叫骨连结。按照人体各部连结的构造 和机能,可分为直接连结和间接连结(图1-10)
第一章生物体运动系 15 起器 吗{ 缝 软愕结 滑膜尽}关节 纤维层 关节软骨 关节席 关节 图1-10骨连结的分类和构造 1.4.1直接连结 两骨间借纤维结蒂组织或软骨相连,其间无间隙,不活动或仅 有少许活动。根据骨间连结组织的不同,直接连结分为纤维连结 和软骨连结。 1.4.2间接连结 间接连结又称关节,其特点是两骨之间借膜性袭互相连结,其 间具有腔隙,有较大的活动性。 1.4.2.1关节的结构 关节的结构分为主要结构和辅助结构两部分。关节的主要结 构包括关节面、关节囊和关节腔(图1-10)。关节面是两骨相互 接触的光滑面,通常一骨形成凸面,称关节头;另一骨形成凹面,称 关节窝。关节面覆盖一层关节软骨,关节软骨很光滑,可以减少运 动时的摩擦,同时软骨富有弹性,可以减缓运动时的冲击。关节囊 有结蒂组织构成,在结构上可分为内外两层。纤维层为外层,有致