第3章小波与小波变换 w f √f ss2s (a)STFT (b)CWT 图3-05离散小波变换分析图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是Malt在1988年开发的,叫做 Mallat算法[],这种方法实际上是一种信号的分解方法,在数字信号处理中称为双通道子带 编码。 用滤波器执行离散小波变换的概念如图3-06所示。图中,S表示原始的输入信号,通 过两个互补的滤波器产生A和D两个信号,A表示信号的近似值( approximations),D表示 信号的细节值( detail)。在许多应用中,信号的低频部分是最重要的,而高频部分起一个“添 加剂”的作用。犹如声音那样,把高频分量去掉之后,听起来声音确实是变了,但还能够听 清楚说的是什么内容。相反,如果把低频部分去掉,听起来就莫名其妙。在小波分析中,近 似值是大的缩放因子产生的系数,表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系 数,表示信号的高频分量 滤波器 图3-06双通道滤波过程 由此可见,离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始 信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以叠代,也就是说 可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解,而对低频分量连续进行分解,就得到许 多分辨率较低的低频分量,形成如图3-07所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树 ( wavelet decomposition tree)分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要
第 3 章 小波与小波变换 6 图 3-05 离散小波变换分析图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是 Mallat 在 1988 年开发的，叫做 Mallat 算法[1]，这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带 编码。 用滤波器执行离散小波变换的概念如图 3-06 所示。图中，S 表示原始的输入信号，通 过两个互补的滤波器产生 A 和 D 两个信号，A 表示信号的近似值(approximations)，D 表示 信号的细节值(detail)。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添 加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听 清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在小波分析中，近 似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系 数，表示信号的高频分量。 图 3-06 双通道滤波过程 由此可见，离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始 信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以叠代，也就是说 可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许 多分辨率较低的低频分量，形成如图 3-07 所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树 (wavelet decomposition tree)。分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要
第3章小波与小波变换 LDF: low pass filter 图3-07小波分解树 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进 行分解,而且对高频分量也进行连续分解,这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量,而 且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树( wavelet packet decomposition tree),这种树是一个完整的二进制树。图3-08表示的是一棵三级小波 包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化,可为信号分析提供更丰富和更详细的信息 例如,小波包分解树允许信号S表示为 S=Al+AAD3+DAD3 +DD2 ADA3DDA3 DAD3ADI 图3-08三级小波包分解树 随便要提及的是,在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时,得到的数据将是原始数 据的两倍。例如,如果原始信号的数据样本为1000个,通过滤波之后每一个通道的数据均 为1000个,总共为2000个。于是,根据尼奎斯特( Nyquist)采样定理就提出了降采样 ( downsampling)的方法,即在每个通道中每两个样本数据取一个,得到的离散小波变换的系 数( coefficient)分别用cD和cA表示,如图3-09所示。图中的符号①表示降采样
第 3 章 小波与小波变换 7 图 3-07 小波分解树 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进 行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而 且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进制树。图 3-08 表示的是一棵三级小波 包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。 例如，小波包分解树允许信号 S 表示为 S=A1 + AAD3 + DAD3 + DD2。 图 3-08 三级小波包分解树 随便要提及的是，在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数 据的两倍。例如，如果原始信号的数据样本为 1000 个，通过滤波之后每一个通道的数据均 为 1000 个，总共为 2000 个。于是,根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样 (downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系 数(coefficient)分别用 cD 和 cA 表示，如图 3-09 所示。图中的符号 表示降采样
第3章小波与小波变换 → 个样本 个样本 H:高通滤波器L:低通滤波器 图3-09降采样过程 3.小波重构 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号,这个过程叫做分解或者叫做分析。把分 解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构( wavelet reconstruction)或者叫做合成 ( synthesis),数学上叫做逆离散小波变换( inverse discrete wavelet transform,IDwT)。 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程,在小波重构时要包含升采样 upsampling和滤波过程。小波重构的方法如图3-10所示,图中的符号①表示升样 H:高通滤波器L:低通滤波器 图3-10小波重构方法 升采样是在两个样本数据之间插入“0”,目的是把信号的分量加长。升采样的过程如 所示 (a)降采样信 2345678910 (b)升采样信号 图3-11升采样的方法 重构过程中滤波器的选择也是一个重要的研究问题,这是关系到能否重构出满意的原始 信号的问题。在信号的分解期间,降采样会引进畸变,这种畸变叫做混叠( aliasing)。这就需 要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。低通 分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H以及重构滤波器L和H)构成一个系统,这个系统叫做 正交镜像滤波器( quadrature mirror filters,QMF)系统,如图3-12所示
第 3 章 小波与小波变换 8 图 3-09 降采样过程 3. 小波重构 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫做分解或者叫做分析。把分 解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或者叫做合成 (synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform，IDWT)。 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包含升采样 (upsampling)和滤波过程。小波重构的方法如图 3-10 所示，图中的符号 表示升采样。 图 3-10 小波重构方法 升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。升采样的过程如 图 3-11 所示。 图 3-11 升采样的方法 重构过程中滤波器的选择也是一个重要的研究问题，这是关系到能否重构出满意的原始 信号的问题。在信号的分解期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠(aliasing)。这就需 要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。低通 分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H)以及重构滤波器(L'和 H')构成一个系统，这个系统叫做 正交镜像滤波器(quadrature mirror filters，QMF)系统，如图 3-12 所示
第3章小波与小波变换 L 分解 重构 图3-12正交镜像滤波器系统 314小波定义 在数学上,小波定义为对给定函数局部化的函数。小波可由一个定义在有限区间的函数 v(x)来构造,v(x)称为母小波( mother wavelet或者叫做基本小波。一组小波基函数, {va2(x)},可通过缩放和平移基本小波v(x)来生成, 其中,a为进行缩放的缩放参数,反映特定基函数的宽度(或者叫做尺度):b为进行平移的 平移参数,指定沿x轴平移的位置。 当a=21和b=la的情况下,一维小波基函数序列定义为 v,(x)=2v(2x-1),或者v,(x)=2"v(2x 本教材将采用下面的表示法, v(x)=2"v(2x-1) 其中,i为平移参数,j为缩放因子。 函数∫(x)以小波v(x)为基的连续小波变换定义为函数f(x)和va(x)的内积, (ab)=(,v)=厂f 在1984年, A Grossman和 J Morlet指出,连续小波的逆变换为 f(r) a,b/Va.(rla- dadb ,y 其中,Cv为母小波v(x)的允许条件 admissible condition v()
第 3 章 小波与小波变换 9 图 3-12 正交镜像滤波器系统 3.1.4 小波定义 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的函数。小波可由一个定义在有限区间的函数 y ( ) x 来构造，y ( ) x 称为母小波(mother wavelet)或者叫做基本小波。一组小波基函数， {ya b, ( )x } ，可通过缩放和平移基本小波y ( ) x 来生成， , ( ) a b x b x a a y y æ ö - = ç ÷ è ø 1 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度(或者叫做尺度)；b 为进行平移的 平移参数，指定沿 x 轴平移的位置。 当 j a = 2 和b = ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为 / 2 , ( ) 2 (2 ) j j i j y y x x i - - = - ，或者 / 2 , ( ) 2 (2 ) j j i j y y x = -x i 本教材将采用下面的表示法， / 2 ( ) 2 (2 ) i j j j y y x = -x i 其中，i 为平移参数， j 为缩放因子。 函数 f x( ) 以小波y ( ) x 为基的连续小波变换定义为函数 f x( ) 和 , ( ) a b y x 的内积， , ( , ) , ( ) f a b x b W a b f f x dx a a y y +¥ -¥ æ ö - = = ç ÷ è ø ò 1 在 1984 年，A.Grossman 和 J.Morlet 指出，连续小波的逆变换为， , , ( ) , ( ) a b a b f x f x a dadb Cy y y +¥ +¥ - -¥ -¥ = ò ò 2 2 其中，Cy 为母小波y ( ) x 的允许条件(admissible condition)， ˆ( ) C d y y w w w +¥ -¥ = < ¥ ò
第3章小波与小波变换 其中,v(o)为v(x)的傅立叶变换,而v(x)是在平方可积的实数空间L(R)。 32一维哈尔小波变换 哈尔小波是小波系列中最简单的小波。因此本节将从哈尔小波入手,首先介绍如何使用 哈尔小波分解一维函数,然后描述实际的基函数,最后介绍使用哈尔小波分解来压缩数据的 技术 321哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数,可以用来构造任意给定的信号,例如用基函数的加权和 表示。最简单的基函数是哈尔基函数( Haar basis function)。哈尔基函数在1909年提出,它是 由一组分段常值函数( piecewise-constant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区间 [0,1)上,每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1”,其他地方为“0”,现以图 像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。 如果一幅图像仅由20=1个像素组成,这幅图像在整个[0,1)区间中就是一个常值函数 用8(x)表示这个常值函数,用V°表示由这个常值函数生成的矢量空间,即 0≤x<1 :g(x)= 0其他 它的波形如图3-13所示 波形 4(x) 图3-13p(x)的波形 这个常值函数也叫做框函数( box function,它是构成矢量空间°的基 如果一幅图像由2=2个像素组成,这幅图像在,1)区间中有两个等间隔的子区间: [0,1/2)和[12,1),每一个区间中各有1个常值函数,分别用p(x)和(x)表示。用V表 示由2个子区间中的常值函数生成的矢量空间,即 0≤x<0.5 10.5≤x<1 p(3)=10其他(=10“其他 它们的波形如图3-14所示
第 3 章 小波与小波变换 10 其中，y wˆ( ) 为y ( ) x 的傅立叶变换，而y ( ) x 是在平方可积的实数空间 2 L (R)。 3.2 一维哈尔小波变换 哈尔小波是小波系列中最简单的小波。因此本节将从哈尔小波入手，首先介绍如何使用 哈尔小波分解一维函数，然后描述实际的基函数，最后介绍使用哈尔小波分解来压缩数据的 技术。 3.2.1 哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，例如用基函数的加权和 表示。最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函数在 1909 年提出，它是 由一组分段常值函数(piecewise-constant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区间 [0,1) 上，每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1”，其他地方为“0”，现以图 像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。 如果一幅图像仅由 0 2 =1 个像素组成，这幅图像在整个[0,1) 区间中就是一个常值函数。 用 0 0 f ( ) x 表示这个常值函数，用 0 V 表示由这个常值函数生成的矢量空间，即 0 V ： 0 0 1 0 1 ( ) 0 x f x ì £ < = í î 其他 它的波形如图 3-13 所示。 图 3-13 0 0 f ( ) x 的波形 这个常值函数也叫做框函数(box function),它是构成矢量空间 0 V 的基。 如果一幅图像由 1 2 =2 个像素组成，这幅图像在[0,1) 区间中有两个等间隔的子区间： [0,1/2) 和[1/2,1) ，每一个区间中各有 1 个常值函数，分别用 1 1 0 1 f f (x x )和 ( ) 表示。用 1 V 表 示由 2 个子区间中的常值函数生成的矢量空间，即 1 V ： 1 0 1 0 0.5 ( ) 0 x f x ì £ < = í î 其他 ， 1 1 1 0.5 1 ( ) 0 x f x ì £ < = í î 其他 它们的波形如图 3-14 所示