省领精品课程—材料力学 尝品 6-8) 由(b)式又有 (5-9) (5-8)就是变形（转角）公式，(5-9)就是应力公式。 二、公式的讨论 1、极惯性矩Ip Ir是一个仅与圆截尺寸有关的几何量，设圆的直径为D,利用图5-8，作积分(5-7)得 到 I,=f pida=p.2xpdp 所以 ,受 (5-10) 2、剪应力分布 对于一个指定的横截面来说，(59)式中的Mr和都是常量，因而t,与成正比， 即沿着横截面的半径，剪应力按线性分布。又由于剪应变是在垂直干半径的平面内发生的， 故剪应力的方向也垂直于半径，见图5-9。 图5) 图58 图10 最大剪应力发生在横截面的周边上，即发生在=D/2处。由(5-9)式得 令 ”上兴 (5-11) 称为截面的抗扭模量，则 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 一材料力学 (6-12) 3、空心圆截面村 对于空心圆截面杆，其变形和应力公式的推导过程与实心圆截面杆完全相同，故实心杆 的变形和应力公式(5-8)、(5-9)、(5-12)等同样可应用于空心杆。唯一不同的是上述公式 中的几何量，见图5-10，p的范围，因而剪应力分布的范围从d2到D/2:空心截面的极惯 性矩 I=S pidd=p2d 所以 ,--分】 (5-13) 空心截面的抗扭模量 (5-14) 4、薄壁圆筒 作为空心圆截面杆的特殊情况，利用公式(5-9)，计算图54(a)薄壁圆筒的剪应力 令p可，并注意到6<<ro,有 式中1，受D-2+6-(2-子r64+2知，6 或者直接由定义得到 1,=pdh=2.=心西=6-2m 这正是(5-4)式. 比较实心圆截面杆和空心圆截面杆的剪应力分布知，对于实心杆，当p很小时剪应力很 小，该处材料强度没有得到充分利用：而空心杆特别是薄壁筒能充分发挥材料的作用，因而 是合理的截面 5、相对扭转角与单位长的扭转角 由于圆杆在扭转时，其横截面都绕杆轴转动，因此我们计算出的扭转角中是杆的一个 截面相对于另一个藏面的扭转角。按(5-8)式所得到的是单位长度杆的（相对）扭转角。 长度为1杆的两端被面的相对扭转角是： -o-0 (5-15) 65 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 特别地，当M是常量时 (6-16) G1. 式(5-8)入、(5-15)和(5-16)中，G称为杆的抗扭刚度，它反映了杆抵抗扭转变形 的能力。 三、圆截面杆与非圆截面杆的纯扭转 所谓纯扭转，又称为自由扭转，是指杆在扭转时端部的变形没 有被约束的情况，圆截面杆和非圆截面杆纯扭转时的根本区别在于 非圆截面杆在纯扭转时横截面将发生翘曲，图5-1就是矩形截面 扭转时的翘曲情况，而圆截面杆在纯扭转时横截面将保持为平面， 即平面假定仅适用于圆截面杆的扭转。因而，确切地说，材料力学 的平面假定的方法只能研究圆截面杆的扭转问题，这就是本章54 图5-1 及其以后的研究内容，由此得到的结论只适用于圆截面杆而不适用 于非圆截面杆。非圆截面杆的扭转问题可通过弹性力学的分析或实 珍研究来解决。 例5-2、图5-12(a)所示为一外径D=100 mm,内径d=80mm的空心圆轴与一直 径为d=80mm的实心圆轴在C截面处用 健联结，已知外力偶矩T,=3510Nm, T-7020Nm,Tc-3510Nm,轴材料的剪 切弹性模量G=80GPa,不计健槽的影响 计算轴的最大剪应力tms 、每单位杆长度 扭转角的最大值0mx以及A、D两端截面 ⑧ 的相对扭转角中如 (bo 解：画轴的知矩图.见图5-12(b). 3510Nm 计算几何量 空心轴： 图52 =5.796x10°mm 斯g1-0]-0159x10wm 所，=&80=0.1005x10m 因为轴的各截面的扭矩绝对值都相等，故W,最小也就是实心轴的表面有最大剪应力 66 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程—材料力学 M. 3510 ts-70105×10 =34.9MPa 1,最小，即实心轴上出现每单位杆长扭转角的最大值 3510 D3010x40210=109x10'ad/m=06251m 计算相对扭转角ΦD时，应按三段来考虑，即AB、BC和CD段。取相对扭转角的符号与 扭矩的符号相同，计算各段相对扭转角并求其代数和，得 3510×2 3510×1 3510×1 =80x10x5796x10 +80×10×5.796x1080×10×4.021x10 =(-1.514+0.757+1.0910×102 =+0.334×102rad =+0.1910 §5.5圆杆扭转时的强度和刚度计算 一、强府计算 受扭圆秆的强度条件是：由公式(5-12)求出的最大剪应力（工作应力）不得超过 材料的剪切容许应力[],即 (5-17) 式中[τ]由材料在扭转时的力学性能来确定」】 与轴向拉压杆的强度计算类似，应用圆杆扭转时的强度条件(5-17)式也可解决三类问 超： 1、强度校核 计算最大剪应力T与容许剪切应力[τ]比较，验算(517)式是否满足。 2、截面洗择 此时应将(5-17)式写成 尚 3、确定容许扭矩 此时应将( -17)式写成 M,≤W] 在应用(5-17)式时要注意，当Mr为变化时应采用Mm 二、刚度计算 受扭圆杆的刚度条件的通常表示方法是：由公式(5-8)求出的每单位杆长扭转角，用 /m表示，记为0，不得超过容许的单位杆长扭转角[0：即 67 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)